\(\small\displaystyle x=0\) において関数は定義されないが，右側極限値 \(\small\displaystyle x\rightarrow +0\) は次のように求められる （○）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x\log x\)
\(\small\displaystyle =\lim_{t\rightarrow-\infty} te^t\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-se^{-s})\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{s}{e^s})\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{1}{e^s})=0\)
（別解）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x\log x\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\log x}{\frac{1}{x}}\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +0}(-x)=0\)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -1\hspace{10px}\) ⇔ \(\small\displaystyle x=\frac{1}{e}\) で極小

変曲点はない

\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x\log x=\infty\) だから水平漸近線（横線の形の漸近線）はない
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\log x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\log x=\infty\) だから，斜め線の形の漸近線もない

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 1\hspace{10px}\) ⇔ \(\small\displaystyle x=e\)≒2.718 で極大

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle 2\log x=3\) ⇔ \(\small\displaystyle x=e^{\frac{3}{2}}\)≒4.482 で変曲点

ロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}\frac{\log x}{x}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\infty\) だから，\(\small\displaystyle x=0\) は漸近線

ロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0\) だから，\(\small\displaystyle y=0\) は漸近線

\(\small\displaystyle x\rightarrow\infty \) のとき，横線の形の漸近線があるから，斜め線の形の漸近線はない

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 1\hspace{10px}\) ⇔ \(\small\displaystyle x=e\)≒2.718 で極小

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x=2\) ⇔ \(\small\displaystyle x=e^{2}\)≒7.389 で変曲点

\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{\log x}=\pm\infty\) だから，\(\small\displaystyle x=1\) は漸近線

ロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\infty\) だから，横線の形の漸近線（水平漸近線）はない

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとすると
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\log x}=0\)
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x}{\log x}-0x)=\infty\) だから，存在しない

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle x = 1\) で極小

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle y^{''}\hspace{5px}(\gt 0)\) だから，つねに下に凸

\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}(x-\log x)=\infty\) だから，\(\small\displaystyle x=0\) は漸近線

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとすると
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-\log x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{x})=1\)
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty}(-\log x)=-\infty\) だから，存在しない

ロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-\log x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{x})=1\) だから
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}(x-\log x)=\infty\)
横線の形の漸近線（水平漸近線）はない

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle x = 0\) で極小値 \(0\)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle x=\pm 1\) で変曲点 \(\small\displaystyle (-1,\frac{\log 2}{2}),\hspace{3px} (1,\frac{\log 2}{2})\)
（\(\small\displaystyle \frac{\log 2}{2}\)≒0.3466）

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
ロピタルの定理を使うと
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log(x^2+1)}{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=0\)
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log(x^2+1)}{2}=\infty\) だから，存在しない

\(\small\displaystyle x=0\) において関数は定義されないが，右側極限値 \(\small\displaystyle x\rightarrow +0\) は次のように求められる （○）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x(\log x)^2\)
\(\small\displaystyle =\lim_{t\rightarrow-\infty} t^2e^t\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(s^2e^{-s})\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(\frac{s^2}{e^s})\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{2s}{e^s})\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いる
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{s}{e^s})=0\)
（別解）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x(\log x)^2\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{(\log x)^2}{\frac{1}{x}}\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{2\log x}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{2\log x}{-\frac{1}{x}}\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いる
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +0}2x=0\)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 1, \frac{1}{e^2}\hspace{10px}\)

\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -1\) ⇔ \(\small\displaystyle x = \frac{1}{e}\)

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2=\infty\) だから，存在しない

\(\small\displaystyle x=0\) において関数は定義されないが，右側極限値 \(\small\displaystyle x\rightarrow +0\) は次のように求められる （○）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x^2\log x\)
\(\small\displaystyle =\lim_{t\rightarrow-\infty} te^{2t}\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-se^{-2s})\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{s}{e^{2s}})\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{2s}{e^s})\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いる
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{1}{2e^{2s}})=0\)
（別解）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x^2\log x\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\log x}{\frac{1}{x^2}}\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{1}{x}}{-2x^{-3}}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{x^2}{-2}=0\)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -\frac{1}{2}\) ⇔ \(\small\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{e}}\)

\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -\frac{3}{2}\) ⇔ \(\small\displaystyle x = \frac{1}{e\sqrt{e}}\)

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\log x}{x}=\infty\) だから，存在しない

\(\small\displaystyle x=0\) において関数は定義されないが，右側極限値 \(\small\displaystyle x\rightarrow +0\) は次のように求められる （○）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x(\log x)^3\)
\(\small\displaystyle =\lim_{t\rightarrow-\infty} t^3e^{t}\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-s^3e^{-s})\)
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{s^3}{e^{s}})\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{3s^2}{e^s})\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いる
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{6s}{e^{s}})\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いる
\(\small\displaystyle =\lim_{s\rightarrow+\infty }(-\frac{6}{e^{s}})=0\)
（別解）
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}x(\log x)^3\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{(\log x)^3}{\frac{1}{x}}\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{3(\log x)^2\times\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{3(\log x)^2}{-\frac{1}{x}}\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{6\log x\times\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{6\log x}{\frac{1}{x}}\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{6}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +0}(-6x)=0\)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -3\) ⇔ \(\small\displaystyle x = -\frac{1}{e^3}\)

\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -2\) ⇔ \(\small\displaystyle x =1, \frac{1}{e^2}\)

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x(\log x)^2}{x}=\infty\) だから，存在しない

\(\small\displaystyle x=0\) において関数は定義されないが，右側極限値 \(\small\displaystyle x\rightarrow +0\) は次のように求められる （○）
\(\small\displaystyle \frac{x}{(\log x)^2}\rightarrow \frac{0}{\infty}=0 \)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 2\) ⇔ \(\small\displaystyle x = e^2\)
\(\small\displaystyle x = 1\) のとき関数は定義されないが，その前後で符号が変わる

\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 3\) ⇔ \(\small\displaystyle x =e^3\)

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{(\log x)^2}=0\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{(\log x)^2}\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2(\log x)\times \frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2(\log x)}\)
　さらに，分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{}{2\times \frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2}=\infty\) だから存在しない
《横線の形》なし（上記の\(\small k\) の計算と同じ）

\(\small\displaystyle x\rightarrow +0 \) のとき
\(\small\displaystyle \sqrt{x}\rightarrow 0 \)
\(\small\displaystyle \frac{1}{\log x}\rightarrow 0 \) だから
\(\small\displaystyle \sqrt{x}\times \frac{1}{\log x}\rightarrow 0 \)
※分母と分子は，競合していない．（いわゆる「不定形の極限」ではなく，単純に決まる）

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 2\) ⇔ \(\small\displaystyle x = e^2\)
\(\small\displaystyle x = 1\) のとき関数は定義されないが，その前後で符号は変わらない

\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = \pm\sqrt{8}\) ⇔ \(\small\displaystyle x =e^{\pm 2\sqrt{2}}\)

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(\log x)}=0\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{x}}\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2\sqrt{2}}=\infty\) だから存在しない
《横線の形》なし（上記の\(\small k\) の計算と同じ）

\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x}\log x\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\log x}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}}=\lim_{x\rightarrow +0}(-\frac{\sqrt{x}}{2})=0\)

\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = -2\) ⇔ \(\small\displaystyle x = \frac{1}{e^2}\)

\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．
\(\small\displaystyle \log x = 0\) ⇔ \(\small\displaystyle x = 1\)

\(\small\displaystyle y=mx+k\) の形の漸近線があるとする
\(\small\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{\sqrt{x}}\)
　分母分子が \(\small\displaystyle \rightarrow \infty\) のときのロピタルの定理を用いると
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} }\)
\(\small\displaystyle =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0\)
\(\small\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}(\log x-0x)=\infty\) だから，なし
《横線の形》なし（上記の\(\small k\) の計算と同じ）