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■分数関数■
増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線，グラフ

《例F1》
\(\displaystyle y=\frac{2x}{x^2+1}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=\pm 1\)で極値になる．
\(\displaystyle y^{"}=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=0,\pm\sqrt{3}\)で変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small -\sqrt{3}\)\(\small -1\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small \sqrt{3}\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\small -1\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
■漸近線
《縦線形》多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値がないから，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》分母の次数＞分子の次数の形の分数式だから，\(x\rightarrow \pm\infty\) のとき \(y\rightarrow 0\)，すなわち，\(y=0\)の形の漸近線がある．
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x^2}}=0\)
《斜め線形》（１価関数で横線の漸近線があるから，斜め線の漸近線はない）
■まとめ
\(x=1\) のとき極大値 \(y=1\)　(→ ●)
\(x=-1\) のとき極小値 \(y=-1\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2}),(0,0),(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2})\)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ −)

《例F2》
\(\displaystyle y=\frac{x^2}{x-1}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)
\(\displaystyle y^{"}=\frac{2}{(x-1)^3}\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small 2\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small 4\)
■漸近線
《縦線形》多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値があるとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}y=\pm\infty\)となるから，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線がある
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}y=\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x^2}{x-1}=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1+0}y=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{x^2}{x-1}=\infty\)
⇒ \(\displaystyle x=1\) が漸近線
《斜め線形》 \(y=mx+k\) の形の漸近線は，２段階に分けて計算する．初めに，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=m\)で傾きを決めてから，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-mx)=k\) で切片を求める．
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^2}{x^2-x}=1=m\) とおく
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-mx)=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}(\frac{x^2}{x-1}-x)\)
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^2-x^2+x}{x-1}=1\)
⇒ \(\displaystyle y=x+1\) が漸近線
《横線形》（１価関数で斜め線の漸近線があるときは，横線の漸近線はない）
■まとめ
\(x=0\) のとき極大値 \(y=0\)　(→ ●)
\(x=2\) のとき極小値 \(y=4\)　(→ ●)
変曲点 なし
漸近線の方程式 \(x=1, y=x+1\)　(→ −)

《例F3》
\(\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-x+1}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{x^2(x^2-2x+3)}{(x^2-x+1)^2}\)
\(y'\) の符号が変化する点を探す．\(x=0\)のときは，極値ではない
\(\displaystyle y^{"}=-\frac{6x(x-1)}{(x^2-x+1)^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変化する点を探す．\(x=0,1\)のとき，変曲点になる
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small 1\)
■漸近線
《縦線形》
多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値がないとき，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《斜め線形》
\(y=mx+k\) の形の漸近線は，２段階に分けて計算する．初めに，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=m\)で傾きを決めてから，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-mx)=k\) で切片を求める．
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^3}{x^3-x^2+x}=1=m\) とおく
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-mx)=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}(\frac{x^3}{x^2-x+1}-x)\)
\(\small \displaystyle =\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^3-x^3+x^2-x}{x^2-x+1}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^2-x}{x^2-x+1}=1\)
⇒ \(\displaystyle y=x+1\) が漸近線
なお，この式は，次のように割り算の商と余りを分けることによっても示せる
\(\small \displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-x+1}=x+1-\frac{1}{x^2-x+1}\)
《横線形》
（１価関数で斜め線の漸近線があるときは，横線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 なし，極小値 なし
変曲点 \((0,0),(1,1)\)(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=x+1\)　(→ ---)

《例F4》
\(\displaystyle y=\frac{x^4}{x^4+1}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{4x^3}{(x^4+1)^2}\)
\(y'\) の符号が変化する点を探す．\(x=0\)のとき，極小値になる
\(\displaystyle y^{"}=-\frac{4x^2(5x^4-3)}{(x^4+1)^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変化する点を探す．\(x=0\)のときは，変曲点ではない．\(\small\displaystyle \pm\sqrt[4]{\frac{3}{5}}\)のとき，変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle -\sqrt[4]{\frac{3}{5}}\)\(\small 0\)\(\small\displaystyle \sqrt[4]{\frac{3}{5}}\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle \frac{3}{8}\)\(\small 0\)\(\small\displaystyle \frac{3}{8}\)
■漸近線
《縦線形》
多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値がないとき，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1\)
⇒ \(\displaystyle y=1\) が漸近線
《斜め線形》
（１価関数で横線の漸近線があるときは，斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 なし
極小値 \(x=0\) のとき \(y=0\)(→ ●)
変曲点 \((-\frac{3}{8},\sqrt[4]{\frac{3}{5}}),(\frac{3}{8},\sqrt[4]{\frac{3}{5}})\)(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=1\)　(→ ---)

《例F5》
\(\displaystyle y=\frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-\frac{2(2x-1)}{(x-2)^2(x+1)^2}\)
\(y'\) の符号が変わる点を探す．\(\small\displaystyle x=\frac{1}{2}\)で極大値になる．
\(\displaystyle y^{"}=\frac{12(x^2-x+1)}{(x-2)^3(x+1)^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を探す.この問題では，\(y^{''}=0\) となる点はないが，分母の符号は，\(\small\displaystyle x=-1, 2\)で変化するから，\(\small\displaystyle x=-1, 2\)で凹凸は変化する．ただし，その点で漸近線をはさんで途切れているから，変曲点ではない．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle -1\)\(\small 0\)\(\small\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\small 1\)\(\small\displaystyle 2\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small 0\)\(\small\displaystyle \frac{1}{9}\)\(\small 0\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)
■漸近線
《縦線形》
多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値があるとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}y=\pm\infty\)となるから，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線がある
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}y=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)}=\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}y=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)}=\pm\infty\)
⇒ \(\displaystyle x=-1,2\) が漸近線
《横線形》
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)}=1\)
⇒ \(\displaystyle y=1\) が漸近線
《斜め線形》
（１価関数で横線の漸近線があるときは，斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 なし
極小値 \(x=0\) のとき \(y=0\)(→ ●)
変曲点 \((-\frac{3}{8},\sqrt[4]{\frac{3}{5}}),(\frac{3}{8},\sqrt[4]{\frac{3}{5}})\)(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=1\)　(→ ---)

《例F6》
\(\displaystyle y=\frac{(x-1)^3}{x(x-2)}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{(x-1)^2(x^2-2x-2)}{x^2(x-2)^2}\)
\(y'\) の符号が変わる点を探す．\(\small\displaystyle x=1\pm\sqrt{3}\)で極大値になる．\(x=0,2\)はつながっておらず（定義されていない），極値ではない．
\(\displaystyle y^{"}=\frac{2(x-1)(x^2-2x+4)}{x^3(x-2)^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を探す．\(x=1\)で変曲点になる.\(x=0,2\)で\(y^{''}\) の符号は変化するが，つながっておらず（定義されていない），変曲点ではない．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle 1-\sqrt{3}\)\(\small 0\)\(\small\displaystyle 1\)\(\small 2\)\(\small\displaystyle 1+\sqrt{3}\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)\(\xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
■漸近線
《縦線形》
多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値があるとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}y=\pm\infty\)となるから，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線がある
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}y=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x-1)^3}{x(x-2)}=\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}y=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-1)^3}{x(x-2)}=\pm\infty\)
⇒ \(\displaystyle x=0,2\) が漸近線
《斜め線形》
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{(x-1)^3}{x^2(x-2)}=1=m\) とする
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-mx)=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left\{\frac{(x-1)^3}{x(x-2)}-x\right\}\)
\(\small \displaystyle =\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{(x-1)^3-x^2(x-2)}{x(x-2)}\)
\(\small \displaystyle =\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{-x^2+3x-1}{x^2-2x}=-1=k\) とする
⇒ \(\displaystyle y=mx+k=x-1\) が漸近線
《横線形》
（１価関数で斜め線の漸近線があるときは，横線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 \(x=1-\sqrt{3}\) のとき \(\small\displaystyle y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)(→ ●)
極小値 \(x=1+\sqrt{3}\) のとき \(\small\displaystyle y=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)(→ ●)
変曲点 \((0,0)\)(→ ●)
漸近線の方程式 \(x=0,2,y=x-1\)　(→ ---)

参考《例F7》
\(\displaystyle y=\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{2x^3-1}{x^2}\)
\(y'\) の符号が変わる点を探す．\(\small\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)で極小値になる．
\(\displaystyle y^{"}=\frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を探す．\(x=0\)で変曲点になる.
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle -1\)\(\small 0\)\(\small\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt[3]{2}\)
■漸近線
《縦線形》
多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値があるとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}y=\pm\infty\)となるから，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線がある
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}y=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x-1)^3}{x(x-2)}=\pm\infty\)
⇒ \(\displaystyle x=0\) が漸近線
《斜め線形》
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^3+1}{x^2}=\pm\infty\)
斜めの漸近線はない
《横線形》
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x^3+1}{x}=\pm\infty\)
⇒ 横線の漸近線はない
■まとめ
極大値 なし
極小値 \(x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\) のとき \(\small\displaystyle y=\frac{3}{2}\sqrt[3]{2}\)(→ ●)
変曲点 \((-1,0)\)(→ ●)
漸近線の方程式 \(x=0\)　(→ ---)
《参考》
　高校で漸近線と言えば，直線に限る．
　この問題では，赤い破線で示した \(\small \displaystyle y=x^2\) の曲線に限りなく近づくが，このような曲線の形をしたものは，高校では漸近線に含めない．
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