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♪♬∃∀ ∅====♫♠♣♥♦
■絶対値付きの関数■
増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線，グラフ
《例 A1》
\(\displaystyle y=|x|(x-2)\) のグラフ

■グラフの描き方
\(y=x(x-2)\) のグラフを描いてから，\(\small\displaystyle x\lt 0\) の部分をx軸対称に折り返す（上下を逆にする）
■導関数，第2次導関数
以下の微分では，\(y=x(x-2)\) のグラフを調べている
\(\displaystyle y'=2x-2\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=1\)
\(\displaystyle y^{"}=2\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ 凹凸は，常に下に凸
■増減凹凸表
\(y=x(x-2)\) のグラフを描いてから，\(\small\displaystyle x\lt 0\) の部分をx軸対称に折り返す（上下を逆にする）
\(\small y=x(x-2)\)
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small -1\)
\(\Downarrow\)
\(\small y=|x|(x-2)\)
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small -1\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=1\) のとき，極小値 \(\small -1\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=0\) のとき，極大値 \(\small 0\)　(→ ●)
変曲点 なし
漸近線 なし
（※−−−で描いたものは，元の\(y=x(x-2)\) のグラフ）

《例 A2》
\(\displaystyle y=|x|e^{-x}\) のグラフ

■グラフの描き方
\(y=xe^{-x})\) のグラフを描いてから，\(\small\displaystyle x\lt 0\) の部分をx軸対称に折り返す（上下を逆にする）
■導関数，第2次導関数
以下の微分では，\(y=xe^{-x}\) のグラフを調べている
\(\displaystyle y'=e^{-x}(1-x)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=1\)
\(\displaystyle y^{"}=e^{-x}(x-2)\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=2\)
■増減凹凸表
\(y=xe^{-x})\) のグラフを描いてから，\(\small\displaystyle x\lt 0\) の部分をx軸対称に折り返す（上下を逆にする）
\(\small y=xe^{-x}\)
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small 2\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\small \frac{1}{e}1\)\(\small \frac{2}{e^2}\)
\(\Downarrow\)
\(\small y=|x|e^{-x}\)
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small 2\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small \frac{1}{e}\)\(\small \frac{2}{e^2}\)
■漸近線
\(\small\displaystyle x\rightarrow\infty\) のとき，\(\displaystyle xe^{-x}=\frac{x}{e^x}\)
分母分子とも→∞となるときのロピタルの定理により
\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{e^x}=0\)
漸近線は，\(\small\displaystyle y=0\)
■まとめ
\(\small\displaystyle x=1\) のとき，極大値 \(\small \frac{1}{e}\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=0\) のとき，極小値 \(\small 0\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (2,\frac{2}{e^2})\)
漸近線 \(\small\displaystyle y=0\)
（※−−−で描いたものは，元の\(y=xe^{-x}\) のグラフ）

《例 A3》
\(\displaystyle y=x\log|x|\) のグラフ

■対称性，グラフの描き方
\(\small x\gt 0\) のときの \(y=x\log x\) のグラフを描いてから，\(\small\displaystyle x\gt 0\) の部分を原点対称に折り返す（上下左右を逆にする）
\(\small f(x)=x\log|x|\) とおくと
(1) \(\small x\gt 0\) のとき \(y=x\log x\)
(2) \(\small x\lt 0\) のとき \(t=-x\) （\(\small t\gt 0\) ）とおくと
　　\(\small f(x)=x\log|x|=-t\log|-t|=-t\log t=-f(x)\) となるから
\(\small x\gt 0\) のとき，右に \(\small x\) だけ進んで，上に \(\small x\log x\) 進むところを
\(\small x\lt 0\) のとき，左に \(\small t\) だけ進んで，下に \(\small t\log t\) 進む
■除外点
\(\small x\rightarrow +0\) のとき，\(\small \lim_{x\rightarrow+0}x\log x=\lim_{x\rightarrow+0}\frac{\log x}{\frac{1}{x}}\)
　分母分子が→∞のときのロピタルの定理を使うと
\(\small =\lim_{x\rightarrow+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow+0}(-x)=0\)
したがって，\(\small x=0\) のとき，関数は定義されないが，\(\small x\rightarrow +0\) のとき，\(\small \lim_{x\rightarrow+0}y=0\)
■導関数，第2次導関数
以下の微分では，\(y=x\log x\hspace{5px}(x\gt 0)\) のグラフを調べている
\(\displaystyle y'=\log x+1\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{1}{e}\)
\(\displaystyle y^{"}=\frac{1}{x}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x\gt 0\) のとき，つねに正
■増減凹凸表
\(y=x\log x\hspace{5px}(x\gt 0)\) のグラフを描いてから，原点対称に折り返す（上下左右を逆にする）
\(\small y=x\log x\hspace{5px}(x\gt 0)\)
\(\small x\)\(\small -\frac{1}{e}\)\(\small 0\)\(\small \frac{1}{e}\)
\(\small y'\)\(\small \)\(\small \)\(\small \)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small \)\(\small \)\(\small \)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small \)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\frac{1}{e}\)
\(\Downarrow\)
\(\small y=x\log x\hspace{5px}(x\gt 0)\)
\(\small x\)\(\small -\frac{1}{e}\)\(\small 0\)\(\small \frac{1}{e}\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small \frac{1}{e}\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\frac{1}{e}\)
■漸近線
漸近線 なし
■まとめ
\(\small\displaystyle x=-\frac{1}{e}\) のとき，極大値 \(\small \frac{1}{e}\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=\frac{1}{e}\) のとき，極小値 \(\small -\frac{1}{e}\)　(→ ●)
変曲点 なし
漸近線 なし

《例 A4》
\(\displaystyle y=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\) のグラフ

■対称性，グラフの描き方
♪∃〜やや難しい〜∀∅
\(\small \displaystyle f(x)=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=\log|x-1|-\log|x+1|\) とおくと
\(\small \displaystyle f(-x)=\log\left|\frac{-x-1}{-x+1}\right|=\log\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\)

何を言っているのか，わけわからん！
お経は家で読んでくれ
\(\small \displaystyle =\log|x+1|-\log|x-1|\)
\(\small \displaystyle =-(\log|x-1|-\log|x+1|)\)
\(\small \displaystyle =-\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=-f(x)\)
だから，原点に関して対称
■導関数，第2次導関数
\(\small\displaystyle y=\log|x-1|-\log|x+1|\)
\(\small\displaystyle y'=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\pm 1\)
\(\displaystyle y^{"}=-\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)^2}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=0\)
■増減凹凸表
\(\small y=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\)
\(\small x\)\(\small -1\)\(\small 0\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small 0\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)
■漸近線
《横方向の漸近線（水平漸近線）》
\(\small\displaystyle y=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=\log\left|1-\frac{2}{x+1}\right|\) は，\(\small\displaystyle x\rightarrow \pm\infty\) のとき，\(\small\displaystyle y\rightarrow \log 1=0\) だから，\(\small\displaystyle y=0\) が漸近線
《縦方向の漸近線（垂直漸近線）》
\(\small \displaystyle f(x)=\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=\log|x-1|-\log|x+1|\) は，\(\small\displaystyle x\rightarrow 1\) のとき，\(\small\displaystyle y\rightarrow -\infty\) だから，\(\small\displaystyle x=1\) が漸近線
同様にして，\(\small\displaystyle x\rightarrow -1\) のとき，\(\small\displaystyle y\rightarrow \infty\) だから，\(\small\displaystyle x=-1\) が漸近線
■まとめ
極値 なし
変曲点 \(\small (0,0)\)　(→ ●)
漸近線 \(\small\displaystyle x=\pm 1, y=0\)(→ −−−)

《例 A5》
\(\displaystyle y=\left|\sin x\right|\) のグラフ

■対称性，グラフの描き方
\(\small \displaystyle f(x)=\left|\sin x\right|\) とおくと
\(\small \displaystyle f(-x)=\left|\sin(-x)\right|=\left|-\sin x\right|=\left|\sin x\right|\)
だから，y軸に関して対称
\(\small \displaystyle y=\sin x\) のグラフを描いて，\(\small y\lt 0\) の部分を上下を逆にすればよい（ノリとはさみで，図画工作をするイメージで）
■導関数，第2次導関数
\(\small\displaystyle y=\sin x\hspace{10px}( 0\leqq x\leqq 2\pi) \)について
\(\small\displaystyle y'=\cos x\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\)
\(\displaystyle y^{"}=-\sin x\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=0,\pi,2\pi\)
■増減凹凸表
\(\small y=\sin x\)
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small \frac{\pi}{2}\)\(\small \pi\)\(\small \frac{3\pi}{2}\)\(\small 2\pi\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small 0\)\(\small -1\)\(\small 0\)
\(\Downarrow\)
\(\small y=\left|\sin x\right|\)
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small \frac{\pi}{2}\)\(\small \pi\)\(\small \frac{3\pi}{2}\)\(\small 2\pi\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small 0\)\(\small 1\)\(\small 0\)
■漸近線
なし
■まとめ
\(\small x=n\pi\) のとき，極小値\(\small 0\)　(→ ●)
\(\small x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) のとき，極大値\(\small 1\)　(→ ●)
変曲点 なし
漸近線 なし

《例 A6》
\(\displaystyle y=\sin x\left|\cos x\right|\hspace{10px}(0\leqq x\leqq 2\pi)\) のグラフ

■対称性，グラフの描き方
破線で示した \(\small \displaystyle y=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\) のグラフを描いてから，\(\small \cos x\lt 0\) の部分の上下を逆にすればよい（ノリとはさみで，図画工作をするイメージで）
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