微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2）

==微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2）== 《微分係数の定義，導関数の定義》

【微分係数】
　関数f(x)のx=aにおける極限値を，次の極限値で定義する．
$f^{\tiny{\prime}}(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$ ･･･(#1)
次の形で書かれることもある．
$f^{\tiny{\prime}}(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ･･･(#2)
$f^{\tiny{\prime}}(a)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ ･･･(#3)

【例題1】
　関数f(x)=x2について，定義に従ってx=1における微分係数の値を求めてください．

（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+ h)-f(1)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+ h)^2-1^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h+ h^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(2+ h)=2$ ･･･（答）

• 微分法の公式を習えば， $f^{\tiny{\prime}}(x)=2x$ となるので，直ちに $f^{\tiny{\prime}}(1)=2$ が求められるが，答案にそのように書けば零点になります．すなわち，「定義に従って微分係数を求めよ」という問題では，定義に従って求めていなければ解答になりません．
• 上記の(#2)(#3)の方法で求めてもよいが，変数hを用いた(#1)の書き方が「見やすく」「間違いにくい」ようです．

• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて，採点ボタンを押してください．
• 採点すれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

【問題1-1】
　f(x)=x2+3xについて，定義に従ってx=2における微分係数の値を求めてください．
f’(1)=

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（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+ h)-f(2)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\{(2+ h)^2+ 3(2+ h)\}-\{2^2+ 3\times 2\}}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4+ 4h+ h^2+ 6+ 3h-4-6}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{7h+ h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(7+ h)=7$ ･･･（答）
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【問題1-2】
　f(x)=x3について，定義に従ってx=−1における微分係数の値を求めてください．
f’(−1)=

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（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(-1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(-1+ h)-f(-1)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(-1+ h)^3-(-1)^3\}}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-1+ 3h-3h^2+ h^3+ 1}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3h-3h^2+ h^3}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(3-3h+ h^2)=3$
･･･（答）
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【問題1-3】
　f(x)=x2+2xについて，定義に従ってx=aにおける微分係数の値を求めてください．
f’(a)=a+

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（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\{(a+ h)^2+ 2(a+ h)\}-\{a^2+ 2a\}}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cancel{a^2}+ 2ah+ h^2+ \cancel{2a}+ 2h-\cancel{a^2}-\cancel{2a}}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2a+ 2)h+ h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(2a+ 2)=2a+ 2$
･･･（答）
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【例題2】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{h}$

（解答）
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{3h}\times 3$
ここで，3h=ℓとおくと， $h\rightarrow 0$ のとき，ℓ $\rightarrow 0$ となるから
（原式） $=\lim_{l\rightarrow 0}\frac{f(a+ l)-f(a)}{l}\times 3=3f^{\tiny{\prime}}(a)$ …（答）

【問題2-1】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(x)-af(a)}{x-a}$
=f(a)+f’(a)

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（解答）
2つ同時に変化しないように，「つなぎ」となる式を「引いて，足します」
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(x)-af(a)}{x-a}$
$=\lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(x)-af(x)+ af(x)-af(a)}{x-a}$
$=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\cancel{(x-a)}f(x)}{\cancel{x-a}}+ a\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$=f(a)+ af^{\tiny{\prime}}(a)$ ･･･（答）
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【問題2-2】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a-2h)}{h}$
=f’(a)

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（解答）
微分係数の定義の式と合うように，f(a+??)−f(a)の形を作ります
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a-2h)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ 3h)-f(a)+ f(a)-f(a-2h)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\{\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{h}-\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}\}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\{\frac{f(a+ 3h)-f(a)}{3h}\times 3-\frac{f(a-2h)-f(a)}{-2h}\times(-2)\}$
ここで，3h=s, −2h=tとおくと， $h\rightarrow 0$ のとき， $s\rightarrow 0,\hspace{3}t\rightarrow 0$ となるから
（原式）
$=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(a+ s)-f(a)}{s}\times 3+\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+ t)-f(a)}{t}\times 2$
=3f’(a)+2f’(a)=5f’(a)･･･（答）
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【問題2-3】
　関数f(x)がx=a（ただし，a≠0とする）において微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(a)-af(x)}{x^2-a^2}$

f(a)

−

f’(a)

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（解答）
分子の項が2つ同時に変化しないように，「つなぎ」となる式を「引いて，足します」．分母は，後で考えます
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(a)-af(x)}{x^2-a^2}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{xf(a)-af(a)+ af(a)-af(x)}{x^2-a^2}$
$=\lim_{x\rightarrow a}\{\frac{x-a}{x^2-a^2}\}f(a)-\lim_{x\rightarrow a}\frac{a\{f(x)-f(a)\}}{x^2-a^2}$
$=\lim_{x\rightarrow a}\{\frac{\cancel{x-a}}{\cancel{(x-a)}(x+ a)}\}f(a)-\lim_{x\rightarrow a}\frac{a}{x+ a}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$=\frac{f(a)}{2a}-\frac{1}{2}f^{\tiny{\prime}}(a)$ ･･･（答）
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【導関数】
　関数f(x)の導関数f’(x)を，次の極限値で定義する．
$f^{\tiny{\prime}}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$ ･･･(#1)
次の形で書かれることもある．
$f^{\tiny{\prime}}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ ･･･(#2)

※関数y=f(x)の導関数は， $f^{\tiny{\prime}}(x)$ の他，

$y^{\tiny{\prime}},\hspace{3}\frac{dy}{dx},\hspace{3}\frac{d}{dx}f(x)$ などと書かれることもある．

※関数y=f(x)の導関数は，関数y=f(x)の微分とも呼ばれる．
　導関数（微分）を表す記号のうちで， $\frac{dy}{dx}$ は小中学校以来習ってきた普通の分数とは異なり，xの増分をΔx，yの増分f(x+Δx)−f(x)をΔyで表したときの

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ という極限値の省略記号なので，dを約分することなどできないことに注意．

$\frac{d}{dx}f(x)$ も同様

微分係数の定義
$f^{\tiny{\prime}}(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$
と導関数の定義
$f^{\tiny{\prime}}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
は,同じ形の式ですが，微分係数のaが定数であるのに対して，導関数のxは変数なので，f’(x)を求めてからxの値を変化させることができる．
　ただし
$\lim_{h\rightarrow 0}\cdots$
の計算において，limの中で，hを変化させて極限値を求めるときは，hだけが変化し，xは変化しません．f’(x)が決まってからはxの値を変化させることができる．

【例題3】
　定義に従って，関数f(x)=x2の導関数を求めてください．

（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2hx+ h^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+ h)=2x$ ･･･（答）

• 微分法の公式を習えば，直ちに $f^{\tiny{\prime}}(x)=2x$ が求められるが，答案にそのように書けば零点になります．すなわち，「定義に従って導関数を求めよ」という問題では，定義に従って求めていなければ解答になりません．

【問題3-1】
　定義に従って，関数f(x)=x3の導関数を求めてください．

解説を読む

（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^3-x^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2h+ 3xh^2+ h^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(3x^2+ 3xh+ h^2)=3x^2$ ･･･（答）
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　数学Ⅱでは，分数関数の導関数を普通は扱いませんが，定義に従えば数学Ⅱの範囲でも求めることができます．

【問題3-2】
　定義に従って，関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ の導関数を求めてください．

解説を読む

（解答）
$f^{\tiny{\prime}}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+ h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{x-(x+ h)}{x(x+ h)}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\cancel{h}}\cdot\frac{-\cancel{h}}{x(x+ h)}=-\frac{1}{x^2}$ ･･･（答）
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