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■多項式の関数（高校数学Ⅱ）■
増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線，グラフ
《例 A1》
\(\displaystyle y=x^3-x\) のグラフ

■対称性，零点
\(\small f(x)=x^3-x\) とおくと，\(\small f(-x)=-x^3+x=-f(x)\) となるから，グラフは原点に関して対称
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small y=x^3-x=(x-1)x(x+1)=0\) を解いて，\(\small x=-1,0,1\) のとき
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=3x^2-1\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle y^{"}=6x\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=0\)のとき
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small -\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(\small 0\)\(\small \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small \frac{2\sqrt{3}}{9}\)\(\small 0\)\(\small -\frac{2\sqrt{3}}{9}\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) のとき，極小値 \(\small -\frac{2\sqrt{3}}{9}\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) のとき，極大値 \(\small \frac{2\sqrt{3}}{9}\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (0,0)\) 　(→ ●)
漸近線 なし
《例 A2》
\(\displaystyle y=-2x^3+3x^2\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small y=-2x^3+3x^2=-x^2(2x-3)=0\) を解いて，\(\small x=0,\frac{3}{2}\) のとき
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-6x(x-1)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=0,1\)
\(\displaystyle y^{"}=-12x+6\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=\frac{1}{2}\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small \frac{1}{2}\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\small \frac{1}{2}\)\(\small 1\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=0\) のとき，極小値 \(\small 0\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=1\) のとき，極大値 \(\small 1\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) 　(→ ●)
漸近線 なし

《例 A3》
\(\displaystyle y=(x-1)^3\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small y=(x-1)^3=0\) を解いて，\(\small x=1\) (三重解)
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=3(x-1)^2\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=1\) で０になるが符号は変わらない
\(\displaystyle y^{"}=6(x-1)\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=1\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small 0\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
極値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (1,0)\) 　(→ ●)
漸近線 なし
《例 A4》
\(\displaystyle y=x^3+x\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small y=x^3+x=0\) を解いて，\(\small x=0\)
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=3x^2+1\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle y'\) の符号はつねに正
\(\displaystyle y^{"}=6x\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=0\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small 0\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
極値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (0,0)\) 　(→ ●)
漸近線 なし

《例 A5》
\(\displaystyle y=x^4-4x^3+4x^2\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small y=x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2\) を解いて，\(\small x=0,2\) それぞれ重解
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=4x(x-1)(x-2)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=0,1,2\)
\(\displaystyle y^{"}=12x^2-24x+8\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small \frac{3-\sqrt{3}}{3}\)\(\small 1\)\(\small \frac{3+\sqrt{3}}{3}\)\(\small 2\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\small \frac{4}{9}\)\(\small 1\)\(\small \frac{4}{9}\)\(\small 0\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=0\) のとき，極小値 \(\small\displaystyle 0\) (→ ●)
\(\small\displaystyle x=2\) のとき，極小値 \(\small\displaystyle 0\) (→ ●)
\(\small\displaystyle x=1\) のとき，極大値 \(\small\displaystyle 1\) (→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (\frac{3\pm\sqrt{3}}{3},\frac{4}{9})\) 　(→ ●)
漸近線 なし
《例 A6》
\(\displaystyle y=x^4-\frac{4}{3}x^3\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small y=x^4-\frac{4}{3}x^3=x^3(x-\frac{4}{3})\) を解いて，\(\small x=0,\frac{4}{3}\)
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=4x^2(x-1)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=0,1\)
\(\displaystyle y^{"}=4x(3x-2\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small x=0,\frac{2}{3}\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small \frac{2}{3}\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small 0\)\(\small -\frac{16}{81}\)\(\small -\frac{1}{3}\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=1\) のとき，極小値 \(\small\displaystyle -\frac{1}{3}\) (→ ●)
極大値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (0,0),(\frac{2}{3},-\frac{16}{81})\) 　(→ ●)
漸近線 なし

《例 A7》
\(\displaystyle y=\frac{3x^4-4x^3+6x^2-12x}{12}\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small 3x^4-4x^3+6x^2-12x=0\) を解いて，\(\small x=0,x\)≒\(\small 1.62\)
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=(x^2+1)(x-1)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=1\)
\(\displaystyle y^{"}=3x^2-2x+1\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small 3x^2-2x+1=0\)は実数解をもたないから，つねに\(y^{''}\lt 0\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small -\frac{7}{12}\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=1\) のとき，極小値 \(\small\displaystyle -\frac{7}{12}\)　(→ ●)
極大値 なし
変曲点 なし
漸近線 なし
《例 A8》
\(\displaystyle y=-x^4\) のグラフ
\(\displaystyle y=-x^6\) のグラフ
\(\displaystyle y=-x^8\) のグラフ

■零点
零点（ｘ軸との交点）は，\(\small -x^4=0\) を解いて，\(\small x=0\)，(他の\(-x^6,-x^8\)も同様)
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-4x^3\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=0\)
\(\displaystyle y^{"}=-12x^2\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small -12x^2\) はつねに\(y^{''}\leqq 0\) (他の\(-x^6,-x^8\)も同様)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small 0\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=0\) のとき，極大値 \(\small\displaystyle 0\)　(→ ●)
極小値 なし
変曲点 なし
漸近線 なし
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