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♪♬∃∀ ∅====♫♠♣♥♦
■指数関数■
増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線，グラフ
《例 EP1》
\(\displaystyle y=xe^{x}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=(x+1)e^x\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=-1\)で極小値になる．
\(\displaystyle y^{"}=(x+2)e^x\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=-2\)で変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small -2\)\(\small -1\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle -\frac{2}{e^2}\)\(\small -\frac{1}{e}\)
■漸近線
《縦線形》多項式÷多項式の形の分数式で，分母が０となる実数値がないから，縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》\(x\rightarrow -\infty\) のとき \(y\rightarrow 0\)，すなわち，\(y=0\)の形の漸近線がある．
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^x=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{-t}{e^t}=0\)
\(x\rightarrow \infty\) のときは，漸近線はない
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 なし
\(x=-1\) のとき極小値 \(y=-\frac{1}{e}\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (-2,-\frac{2}{e^2})\)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ −−−)
《EP1付録》
\(\displaystyle y=\boxed{a}xe^{\boxed{b}x}\) のグラフ
\(a\) の値：クリック
⇒ 1, 2, 3, 4, 5
\(b\) の値：クリック
⇒ 1, 1.5, 2, 2.5, 3
《例 EP2》
\(\displaystyle y=xe^{-x}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-(x-1)e^{-x}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=1\)で極大値になる．
\(\displaystyle y^{"}=(x-2)e^{-x}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=2\)で変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 1\)\(\small 2\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle \frac{1}{e}\)\(\small\displaystyle \frac{2}{e^2}\)
■漸近線
《縦線形》縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》\(x\rightarrow \infty\) のとき \(y\rightarrow 0\)，すなわち，\(y=0\)の形の漸近線がある．
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}xe^{-x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=0\)
\(x\rightarrow -\infty\) のときは，漸近線はない
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
\(x=1\) のとき極大値 \(y=\frac{1}{e}\)　(→ ●)
極小値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (2,\frac{2}{e^2})\)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ −)
《例 EP2》のグラフは《例 EP1》のグラフと原点に関して対称になっている．
\(y=f(x)\) と \(y=-f(x)\) とは \(x\)軸に関して対称
\(y=f(x)\) と \(y=f(-x)\) とは \(y\)軸に関して対称
\(y=f(x)\) と \(y=-f(-x)\) とは 原点に関して対称
\(\displaystyle y=xe^{x}\)
⇒ \(x\)軸に関して対称： \(\displaystyle y=-xe^{x}\)
⇒ \(y\)軸に関して対称： \(\displaystyle y=-(-x)e^{-x}=xe^{-x}\)

《例 EP3》
\(\displaystyle y=x^2e^{-x}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-(x-2)xe^{-x}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=0,2\)で極値になる．
\(\displaystyle y^{"}=(x^2-4x+2)e^{-x}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=2\pm\sqrt{2}\)で変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small 2-\sqrt{2}\)\(\small 2\)\(\small 2+\sqrt{2}\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)\(\tiny\displaystyle (6-4\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-2}\)\(\small\displaystyle \frac{4}{e^2}\)\(\tiny\displaystyle (6+4\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}-2}\)
■漸近線
《縦線形》縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》\(x\rightarrow \infty\) のとき \(y\rightarrow 0\)，すなわち，\(y=0\)の形の漸近線がある．
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x}=0\)
\(x\rightarrow -\infty\) のときは，漸近線はない
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
\(x=2\) のとき極大値 \(y=\frac{4}{e^2}\)　(→ ●)
\(x=0\) のとき極大値 \(y=0\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (2-\sqrt{2},(6-4\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}})\),\((2+\sqrt{2},(6+4\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}})\)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ −)
《例 EP4》
\(\displaystyle y=(x^2+1)e^{x}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=(x+1)^2e^{x}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．極値はない
\(\displaystyle y^{"}=(x+1)(x+3)e^{x}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=-3, -1\)で変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small -3\)\(\small -1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle -\frac{8}{e^3}\)\(\tiny\displaystyle \frac{2}{e}\)
■漸近線
《縦線形》縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》\(x\rightarrow -\infty\) のとき \(y\rightarrow 0\)，すなわち，\(y=0\)の形の漸近線がある．
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+1)e^{x}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t^2+1}{e^t}=0\)
\(x\rightarrow \infty\) のときは，漸近線はない
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 なし
極小値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (-3,-\frac{8}{e^3}),(-1,\frac{2}{e})\)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ −)

《例 EP5》
\(\displaystyle y=x-e^{x}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=1-e^{x}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．\(x=0\) で極大値をとる
\(\displaystyle y^{"}=-e^{x}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．変曲点はない．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle -1\)
■漸近線
《縦線形》縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《斜め線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x-e^x}{x}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{-t-e^{-t}}{-t}\)
\(\displaystyle =\lim_{t\rightarrow\infty}(1+\frac{e^{-t}}{t})=1=m\) とおく
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow-\infty}(x-e^{x}-x)=\lim_{t\rightarrow\infty}(-e^{-t})=0=k\)
漸近線の方程式は，\(y=mx+k=x\)
\(x\rightarrow \infty\) のときは，漸近線はない
《横線形》（横線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 \(\small\displaystyle (0,-1)\)　(→ ●)
極小値 なし
変曲点 なし
漸近線の方程式 \(y=x\)　(→ ---)
《例 EP6》
\(\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\frac{4e^{2x}}{e^{4x}+2e^{2x}+1}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．極値はない
\(\displaystyle y^{"}=-\frac{8(e^x-1)(e^x+1)e^{2x}}{(e^{2x}+1)^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．変曲点は\((0,0)\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)
■漸近線
《縦線形》縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{e^{-t}-e^{t}}{e^{-t}+e^{t}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1-e^{2t}}{1+e^{2x}}=1\)
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 なし
極小値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (0,0)\)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=1,-1\)　(→ ---)

《例 EP7》
\(\displaystyle y=e^{-x^2}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-2xe^{-x^2}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．\(x=0\) で極大値をとる
\(\displaystyle y^{"}=(4x^2-2)e^{-x^2}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．変曲点は\(\small \displaystyle(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}})\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}\)\(\small\displaystyle 1\)\(\small\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}\)
■漸近線
《縦線形》縦線（\(x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x^2}=0\)
漸近線の方程式は，\(y=0\)
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 \(x=0\) のとき，\(y=1\)
極小値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}) \)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ ---)
《例 EP8》
\(\displaystyle y=e^{\frac{1}{x}}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．つねに \(y'\lt 0\) だから極値なし
\(\displaystyle y^{"}=\frac{(2x+1)e^{\frac{1}{x}}}{x^4}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．変曲点は\(\small \displaystyle(-\frac{1}{2},\frac{1}{e^2})\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle -\frac{1}{2}\)\(\small\displaystyle 0\)
\(\small y'\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle \frac{1}{e^2}\)\(\small\displaystyle \xcancel{\hspace{20px}}\)
■漸近線
《縦線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}y=\lim_{x\rightarrow +0}e^{\frac{1}{x}}=\infty\)
漸近線の方程式は，\(x=0\) ただし，右側だけ漸近線がある
（左側からは漸近線はない．\((0,0)\) は除外点）
《横線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{x}}=1\)
漸近線の方程式は，\(y=1\)
《斜め線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極大値 \(x=0\) のとき，\(y=1\)
極小値 なし
変曲点 \(\small\displaystyle (-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}) \)　(→ ●)
漸近線の方程式 \(y=0\)　(→ ---)

《例 EP9》
\(\displaystyle y=xe^{\frac{1}{x}}\) のグラフ

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-\frac{(x-1)e^{\frac{1}{x}}}{x}\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる． \(x=0, 1\) で符号が変わるが，\(x=0\) は関数が定義されていないから極値ではない．\(x=1\) は極小
\(\displaystyle y^{"}=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^3}\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(x=0, 1\) で符号が変わるが，\(x=0\) は関数が定義されていないから変曲点ではない．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small\displaystyle 1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle \xcancel{\hspace{20px}}\)\(\small\displaystyle e\)
■漸近線
《縦線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}y=\lim_{x\rightarrow +0}e^{\frac{1}{x}}=\infty\)
漸近線の方程式は，\(x=0\) ただし，右側だけ漸近線がある
（左側からは漸近線はない．\((0,0)\) は除外点）
《斜め線形》\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{x}}=1=m\) とおく
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}(y-mx)=\lim_{x\rightarrow\infty}(xe^{\frac{1}{x}}-x)\)
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow\infty}x(e^{\frac{1}{x}}-1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1=k\) ←重要な極限値
（\(\small x\rightarrow -\infty\) のときも同様）
漸近線の方程式は，\(y=mx+k=x+1\)
《横線形》（斜め線の漸近線はない）
■まとめ
極小値 \(x=1\) のとき，\(y=e\)
極大値 なし
変曲点 なし
漸近線の方程式 \(y=0, y=x+1\)　(→ ---)
《例 EP10》
\(\displaystyle y^2=x^2(1-x)\) のグラフ

■多価関数
　この関数を \(\small y\) について解かれた形に直すと， \(\small\displaystyle y=\pm x\sqrt{1-x}\) となって，1つの \(\small x\) の値に対して，2つの \(\small y\) が対応する．
　このように，1つの \(\small x\) の値に対して，2つ以上の \(\small y\) が対応するものを多価関数という（この問題では，二価関数）．高校数学でよく見る多価関数として，円の方程式がある．
\(\small\displaystyle x^2+y^2=1\) ⇔ \(\small\displaystyle y=\pm\sqrt{1-x^2}\)
　この問題のように，正負だけが異なる2つのグラフになるときは，一方だけを調べて，符号が逆のものと張り合わせるとよい．
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y=x\sqrt{1-x}\) について
\(\displaystyle y'=\frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{2}{3} \)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{4}{3}\) は定義域の外になる．\(x\lt 1\) のとき，\(y^{''}\lt 0\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small \frac{2}{3}\)\(\small 1\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small \xcancel{\hspace{20px}}\)
\(\small y\)\(\small \frac{2}{3\sqrt{3}}\)\(\small 0\)
■まとめ
極大値 \(\small x=\frac{2}{3}\) のとき，極大値\(\small \frac{2}{3\sqrt{3}}\)　(→ ●)
極小値 \(\small x=\frac{2}{3}\) のとき，極小値 \(\small -\frac{2}{3\sqrt{3}}\)　(→ ●)
変曲点 \(\small\displaystyle (1,0)\)　(→ ●)
漸近線 なし
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