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問題
答案
■定積分の部分積分法
次の空欄を埋めなさい。
(なお，空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」
だけを使用するものとします．)
(1)
x
sin
x dx
◇考え方◇
sin
x だけならば積分が求められるが x が掛けてあるので求められない
→ x を微分する側：現在 f の側とする．
( )は左辺の初めの形
下げる：
(f)
= x → f' = 1
g =−
cos
x ←
(g')
=
sin
x
：上げる
x
sin
x dx =
-
cos
x
+
dx
= (0−0) +(1−0) = 1
(2)
x
log
x dx
◇考え方◇
log
x
の積分が求められない
→
log
x
を微分する側：現在
f
の側とする．
( )は左辺の初めの形
下げる：
(f)
=
log
x → f' =
g =
←
(g')
= x
：上げる
x
log
x dx =
−
dx
= (
−0)−
dx
=
−
=
(3)
log
x dx
◇考え方◇
log
x
の積分が求められない
→
1·
log
x
と考えて，
log
x
を微分する側：現在
f
の側とする．
( )は左辺の初めの形
下げる：
(f)
=
log
x → f' =
g = x ←
(g')
= 1
：上げる
log
x dx =
x
−
x
dx
= (e−0)−
= e−(e−1) = 1
(4)
(x−1)(x−2)
2
dx
◇考え方◇
(x−2)
2
dx
だけならば求められる．
(置換積分を用いた公式)：
(x−2)
2
dx =
+ C
→
x−1
を微分する側：現在
f
の側とする．
( )は左辺の初めの形
下げる：
(f)
= x−1 → f' = 1
g =
←
(g')
= (x−2)
2
：上げる
(x−1)(x−2)
2
dx =
(x−1)
−
dx
= (0−0)−
=
(5)
e
x
sin
x dx
◇考え方◇
直接的には値が求まらないとき，
= I
とおいて
I
の方程式を解く．
I = (···)−I → I =
I = (･･･) + I
型だけは不可．それ以外は，
I = (･･･) ± kI
型になればすべて求まる．
※ 1回の部分積分で自分自身
I
が登場しなければ，部分積分を２回行う．
(ただし，ある関数を上げて下げると何も残らないので注意．上げるなら2回上げること．)
( )は左辺の初めの形
下げる：
(f)
=
sin
x → f' =
cos
x
g = e
x
←
(g')
= e
x
：上げる
e
x
sin
x dx =
e
x
−
e
x
dx
= 0−
e
x
cos
x dx
( )は左辺の初めの形
下げる：
(p)
=
cos
x → p' =−
sin
x
q = e
x
←
(q')
= e
x
：上げる
=−(
e
x
cos
x
+
e
x
sin
x dx )
=−(- e
π
−
)−
e
x
sin
x dx
I = e
π
+ 1−I
I =
(6)
(
log
x)
2
dx
◇考え方◇
(3)と同様に(
log
x)
2
を微分する側に選ぶ．
( )は左辺の初めの形
下げる：
(f)
= (
log
x)
2
→ f' = 2 (
log
x)
g = x ←
(g')
= 1
：上げる
(
log
x)
2
dx
=
(
log
x)
2
−
log
x dx = (*)
( )は左辺の初めの形
下げる：
(p)
= (
log
x) → p' =
q = x ←
(q')
= 1
：上げる
(*) = e−2(
x
log
x
−
dx )
= e−2(
−
x
) = e−2(e−e + 1) = e−2
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