近似値

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== 近似式 ==

【要点1】　１次の近似式
h≒0のとき，f(a+h) ≒ f(a)+f’(a)h･･･(1)
x≒0のとき，f(x) ≒ f(0)+f’(0)x･･･(2)

（解説）

　微分法の応用として近似式(1)を示すには，「微分係数から示す」方法と「平均値の定理から示す」方法が考えられるが，最近の高校数学Ⅲの教科書では（手元にある４冊について）もれなく「微分係数から示す」方が採用されているので，この教材もそうする･･･生徒から見れば，微分係数の方がよく使い，親しみやすい，取り付きやすいのかもしれない．

(1)←
　関数f(x)のx=aにおける微分係数f’(a)は
$f\apos(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$
で定義される．したがって，hが0に十分近い値であるときは
$f\apos(a)$ ≒ $\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$
が成り立つ．すなわち
$f\apos(a)h$ ≒ $f(a+ h)-f(a)$
$f(a+ h)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)h$ ･･･(1)

(2)←
(1)において，特にa=0の場合を考えると
$f(h)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)h$
変数をxにすると
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x$ ･･･(2)

　定数とhの（xの）１次式までを使って表した式を「１次の近似式」という.

【問題１】

(1)xが0に近い値であるとき， $(1+ x)^n$ （nは正の整数）の近似式をxの１次式で表してください．

解答を見る

$f(x)=(1+ x)^n$ とおくと
$f\apos(x)=n(1+ x)^{n-1}$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x$
$(1+ x)^n$ ≒ $1+ nx$ ･･･（答）
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(2)xが0に近い値であるとき， $\sqrt[4]{1+ x}$ の近似式をxの１次式で表してください．

解答を見る

$f(x)=\sqrt[4]{1+ x}=(1+ x)^{\frac{1}{4}}$ とおくと
$f\apos(x)=\frac{1}{4}(1+ x)^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4\cdot\sqrt[4]{(1+ x)^3}}$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x$
$\sqrt[4]{1+ x}$ ≒ $1+\frac{1}{4}x$ ･･･（答）

　Excelを使って，1次近似式の「そこそこの」点検をする方法
　Excelで点の幅0.1刻み程度の散布図（A列に−0.5～0.5，B列に=(1+a1)^(1/4)など）を描き，近似曲線：線形近似を追加する
　式そのものを入力しているのでなく，粗雑な点を並べているだけなので，式の係数は「完全には一致しない」が，そこそこ合う（以下の問題も同様）
→解答を隠す←

(3)xがほぼ2に近い値であるとき， $\sqrt{x}$ の近似式をxの１次式で表してください．

解答を見る

$f(x)=\sqrt{x}$ とおくと， $f\apos(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
x≒2+h，h≒0のとき
$f(2+ h)=f(2)+ f\apos(2)h$
$\sqrt{2+ h}=\sqrt{2}+\frac{h}{2\sqrt{2}}$
$\sqrt{x}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}(x-2)=\frac{\sqrt{2}}{4}x+ \frac{\sqrt{2}}{2}$ ･･･（答）

→解答を隠す←

(4)xが0に近い値であるとき， $\sin x$ の近似式をxの１次式で表してください．

解答を見る

$f(x)=\sin x$ とおくと
$f\apos(x)=\cos x$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x$
$\sin x$ ≒ $0+ x=x$ ･･･（答）

→解答を隠す←

(5)１次の近似式を使って，次の数の近似値を求めてください．
$1.01^3$

解答を見る

$f(x)=(1+ x)^3$ とおくと
$f\apos(x)=3(1+ x)^2$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x$
$(1+ x)^3$ ≒ $1+ 3x$
x=0.01を代入すると
$1.01^3$ ≒ $1.03$ ･･･（答）

$f(x)=x^3$ とおくと
$f\apos(x)=3x^2$
h≒0のとき
$f(1+ h)$ ≒ $f(1)+ f\apos(1)h$
$(1+ h)^3$ ≒ $1+ 3h$
h=0.01を代入すると
$1.01^3$ ≒ $1.03$ ･･･（答）

→解答を隠す←

(6)60分法で表された角度θ°は， $x=\frac{\pi}{180}\theta$ により弧度法の角度xになる．これを使って， $\sin 29.9^{\circ}$ の近似値を小数第3位まで求めてください．

解答を見る

　29.9°を弧度法に直すと $\frac{\pi}{180}(30-0.1)=\frac{\pi}{6}-\frac{0.1\pi}{180}$
になる．
　次に， $f(x)=\sin x$ とおくと， $f\apos(x)=\cos x$
h≒0のとき
$f(\frac{\pi}{6}+ h)$ ≒ $f(\frac{\pi}{6})+ f\apos(\frac{\pi}{6})h$
$\sin(\frac{\pi}{6}+ h)$ ≒ $\sin(\frac{\pi}{6})+\cos(\frac{\pi}{6})h$
$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}h$

$h=-\frac{0.1\pi}{180}$ ≒−0.00175を代入すると

$\sin(\frac{\pi}{6}-0.00175)$ ≒ $0.5+\frac{1.73205}{2}\times(-0.00175)$
$=0.4984$
小数第３位まででは， $0.498$ ･･･（答）
→解答を隠す←

《十分小さい数 $x$ の累乗は，0に近い数になる》
　例えば，
$f(x)=A_0+ A_1x+ A_2x^2+ a_3x^3+\cdots$
について
$A_0=3,\hspace{2}A_1=1,\hspace{2}A_2=4,\hspace{2}\cdots$ ， $x=0.1$
のとき
$f(x)=3+ 1\times 0.1+ 4\times 0.1^2+\cdots$
$=3.14\cdots$
のように
$x=0.1,\hspace{4}x^2=0.01,\hspace{4}x^3=0.001,\cdots$
となるから， $x$ の次数の高い項はどんどん小さくなる．
　特に，この例のように， $x=0.1$ のとき， $x^n$ は小数第n位の位取りを表す．

　様々な小数計算において，有効数字が3桁もあれば十分であることが多いから
$f(x)$ ≒ $A_0+ A_1x+ A_2x^2$
のような近似式で十分な精度が得られることが多い．

【要点2】　２次の近似式
h≒0のとき
$f(a+ h)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)h+\frac{f\apos\apos(a)}{2}h^2$ ･･･(3)
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$ ･･･(4)

（解説）
(3)←
aを定数とするとき，変数hの関数f(a+h)が
$f(a+ h)$ ≒ $A_0+ A_1h+ A_2h^2$ ･･･①
の形の２次式で近似できるとする．①の両辺をhで微分すると
$f\apos(a+ h)$ ≒ $A_1+ 2A_2h$ ･･･②
さらに②の両辺をhで微分すると
$f\apos\apos(a+ h)$ ≒ $2A_2$ ･･･③
①②③の各々にh=0を代入すると，定数 $A_0,\hspace{2}A_1,\hspace{2}A_2$ の値が定まる．
$A_0=f(a)$
$A_1=f\apos(a)$
$A_2=\frac{f\apos\apos(a)}{2}$
したがって
$f(a+ h)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)h+\frac{f\apos\apos(a)}{2}h^2$

(4)←
特に，(3)においてa=0, h=xとおくと､原点の付近での近似式が得られる．
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$

【問題２】

(1)xが0に近い値であるとき， $\sqrt{1+ x}$ の２次の近似式を求めてください．

解答を見る

$f(x)=\sqrt{1+ x}=(1+ x)^{\frac{1}{2}}$ とおくと
$f\apos(x)=\frac{1}{2}(1+ x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1+ x}}$
$f\apos\apos(x)=-\frac{1}{4}(1+ x)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4\sqrt{(1+ x)^3}}$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$
ここで
$f(0)=1,\hspace{3}f\apos(0)=\frac{1}{2},\hspace{3}f\apos\apos(0)=-\frac{1}{4}$
だから
$\sqrt{1+ x}$ ≒ $1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2$ ･･･（答）

　Excelを使って，２次近似式の「そこそこの」点検をする方法
　Excelで点の幅0.1刻み程度の散布図を描き，多項式近似（２次式）を追加する
　そのものを入力しているのでなく，粗雑な点を並べているだけなので，式の係数は「完全には一致しない」が，そこそこ合う（以下の問題も同様）
→解答を隠す←

(2)xが0に近い値であるとき， $\log(1+ x)$ の２次の近似式を求めてください．

解答を見る

$f(x)=\log(1+ x)$ とおくと
$f\apos(x)=\frac{1}{1+ x}=(1+ x)^{-1}$
$f\apos\apos(x)=-(1+ x)^{-2}=-\frac{1}{(1+ x)^2}$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$
ここで
$f(0)=0,\hspace{3}f\apos(0)=1,\hspace{3}f\apos\apos(0)=-1$
だから
$\log(1+ x)$ ≒ $x-\frac{1}{2}x^2$ ･･･（答）

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(3)xが0に近い値であるとき， $\frac{1}{1+ x}$ の２次の近似式を求めてください．

解答を見る

$f(x)=\frac{1}{1+ x}=(1+ x)^{-1}$ とおくと
$f\apos(x)=(-1)(1+ x)^{-2}=-\frac{1}{(1+ x)^2}$
$f\apos\apos(x)=2(1+ x)^{-3}=\frac{2}{(1+ x)^3}$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$
ここで
$f(0)=1,\hspace{3}f\apos(0)=-1,\hspace{3}f\apos\apos(0)=2$
だから
$\frac{1}{1+ x}$ ≒ $1-x+ x^2$ ･･･（答）

→解答を隠す←

(4)xが0に近い値であるとき， $\sin(\frac{\pi}{6}+ x)$ の２次の近似式を求めてください．

解答を見る

$f(x)=\sin(\frac{\pi}{6}+ x)$ とおくと
$f\apos(x)=\cos(\frac{\pi}{6}+ x)$
$f\apos\apos(x)=-\sin(\frac{\pi}{6}+ x)$
x≒0のとき
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$
ここで
$f(0)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\hspace{3}f\apos(0)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$f\apos\apos(0)=-\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$
だから
$\sin(\frac{\pi}{6}+ x)$ ≒ $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{4}x^2$ ･･･（答）

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※最近の数学Ⅲでは，誤差の限界には触れないことが多い
（筆者も30年間，誤差の限界は一度も教えなかった）

【要点3】　誤差の限界
　hが十分小さな正の値のとき，
$f(a+ h)$ ≒ $f(a)+ hf\apos(a)$ とした場合の誤差は，

剰余項 $R_2=\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2$ に等しいが，この $c$ の値を求めるのは一般には難しい．

　そこで， $\mid R_2\mid=\mid\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2\mid\lt M$ を満たす適当な定数 $M$ が見つかるとき，この値を誤差の限界という．

（解説）
　誤差の限界は，平均値の定理から説明する方が分かり易い．

　関数f(x)が２回微分可能であるとき，平均値の定理により
$f(a+ h)=f(a)+ f\apos(a)h+\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2\hspace{4}(a\lt c\lt a+ h)$

が成り立ち， $R_2=\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2$ は剰余項と呼ばれ，誤差は $R_2=\mid\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2\mid$ に等しい．この $c$ の値を求めるのは一般には難しいが， $\mid R_2\mid=\mid\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2\mid\lt M$ を満たす適当な定数 $M$ が見つかれば，この定数を誤差の限界と呼ぶ．

※誤差の限界は， $\mid R_2\mid=\mid\frac{f\apos\apos(c)}{2}h^2\mid\lt M$ を満たすことが１つの十分条件になっており，ただ１通りに定まるわけではないが，無駄の少ない良い値であればよい．
　高校数学で「誤差の限界」を採点することが難しいのは，その数字が正しいかどうかを採点するのではなく，答案の途中経過に絞り込みが見られるかどうかを採点しなければならないからかもしれない．［普通の数学の答案では，|M₂|<0.0055が真であれば，当然|M₂|<0.55も|M₂|<1も|M₂|<100もすべて真になるが，そういう真偽を採点しているのではないということを生徒が理解できるかどうか］

【問題３】

(1)0<x<0.1のとき，近似式として $e^x$ ≒ $1+ x$ を用いた場合の誤差の限界を求めてください．

解答を見る

$f(x)=e^x$ とおくと
$f\apos(x)=e^x$
$f\apos\apos(x)=e^x$
だから，平均値の定理を用いて表すと
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2\hspace{4}(0\lt c\lt x)$
すなわち
$e^x=1+ x+\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2\hspace{4}(0\lt c\lt x)$

ここで，剰余項 $R_2=\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2$ について
$\mid R_2\mid=\mid\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2\mid\underline{\le}\frac{e^c}{2}0.1^2\underline{\le}\frac{e^{0.1}}{2}0.1^2=0.005e^{0.1}$
ゆえに，誤差の限界は $0.005e^{0.1}$ （≒0.0055）･･･（答）

解説に述べたように，「誤差の限界」というのは，１つの十分条件を表す用語となっている．「１つの誤差の限界」は $0.005e^{0.1}$ （≒0.0055）であるとも言える．

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(2)0<x<0.1のとき，近似式として $\sqrt{1+ x}$ ≒ $1+\frac{x}{2}$ を用いた場合の誤差の限界を求めてください．

解答を見る

$f(x)=\sqrt{1+ x}$ とおくと
$f\apos(x)=\frac{1}{2}(1+ x)^{-\frac{1}{2}}$
$f\apos\apos(x)=-\frac{1}{4}(1+ x)^{-\frac{3}{2}}$
だから，平均値の定理を用いて表すと
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2\hspace{4}(0\lt c\lt x)$
すなわち
$\sqrt{1+ x}=1+ \frac{1}{2}x+\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2\hspace{4}(0\lt c\lt x)$

ここで，剰余項 $R_2=\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2$ について
$\mid R_2\mid=\mid\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2\mid=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{(1+ c)^{\frac{3}{2}}}x^2$
ここで， $0\lt c\lt x$ のとき
$0\lt \frac{1}{(1+ x)^{\frac{3}{2}}}\lt\frac{1}{(1+ c)^{\frac{3}{2}}}\lt 1,\hspace{10}0\lt x^2\lt 0.1^2$ だから
$\mid R_2\mid\underline{\le}\frac{0.01}{8}=0.00125$
ゆえに，誤差の限界は $0.00125$ ･･･（答）

前問と同様，誤差の限界は，無駄の少ない１つの十分条件であればよい

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