内分点の内分点

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== 内分点の内分点 ==
■［解説］
　△ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを各々
，，　とするとき，

で表される点Ｐは,

と変形することにより（割って掛ければ変わらない）
ABを２：１に内分する点D()を用いて，

と表されます。
したがって，PはＤＣを４：３に内分する点となります。

【要約】
で表される点Ｐは,ＡＢを２：１に内分する点をＤとするとき，ＤＣを４：３に内分する点。

　この結果を使って，次のような三角形の面積比を答えさせる問題がよく見られます。

△ADP=4tとおくと、△ACP=3t
(高さが共通，底辺が4:3)
　△BDP=2t(△ADPの半分)
　△BCP=1.5t(△ACPの半分)
となるから
△ABP:△BCP:△CAPの面積比は，6t:1.5t:3t=12:3:6=4:1:2
（分子の係数の比：向かい側）

【一般に】
$\vec{p}=\frac{k\vec{a}+ l\vec{b}+ m\vec{c}}{n}$
$(n=k+ l + m$ $k\gt 0,l\gt 0, m \gt 0)$ で表される点 $P(\vec{p})$ は，ABをl:kに内分する点をDとするとき，DCをm:(k+l)に内分する点となります。

（解説）
まず，内分点の公式により，ABをl:kに内分する点Dの位置ベクトルを求めると
$\vec{d}=\frac{k\vec{a}+ l\vec{b}}{l+ k}$ …(1)
さらに，内分点の公式により，DCをm:(l+k)に内分する点Pの位置ベクトルを求めると
$\vec{p}=\frac{(l+ k)\vec{d}+ m\vec{b}}{m + (l+ k)}$ …(2)
(1)を(2)に代入すると
$\vec{p}=\frac{(l+ k)(\frac{k\vec{a}+ l\vec{b}}{l+ k})+ m\vec{b}}{m + (l+ k)}$ $=\frac{ k\vec{a}+ l\vec{b}+ m\vec{c} }{k+ l+ m}$

（参考）
　BCをm:lに内分する点をEとするとき，EAをk:(l+m)に内分する点と述べても同じです。
$\vec{e}=\frac{l\vec{b}+ m\vec{c}}{l+ m}$ …(3)
$\vec{p}=\frac{(l+ m)\vec{e}+ k\vec{a}}{k + (l+ m)}$ …(4)
より
$\vec{p}=\frac{(l+ m)(\frac{l\vec{b}+ m\vec{c}}{l+ m})+ k\vec{a}}{k + (l+ m)}$ $=\frac{ k\vec{a}+ l\vec{b}+ m\vec{c} }{k+ l+ m}$

同様にして，
$\vec{p}=\frac{(m+ k)(\frac{k\vec{a}+ m\vec{c}}{m+ k})+ l\vec{b}}{k + l+ m}$
と変形すると，ACをm:kに内分する点をFとするとき，FBをl:(m+k)に内分する点を表しているとも言えます。

【ここが変形のポイント】