■[解説] △ABCにおいてA,B,Cの位置ベクトルを各々 ![]() ![]() ![]() ![]() で表される点Pは, ![]() と変形することにより(割って掛ければ変わらない) ABを2:1に内分する点D()を用いて, ![]() と表されます。 したがって,PはDCを4:3に内分する点となります。 ![]()
【要約】
この結果を使って,次のような三角形の面積比を答えさせる問題がよく見られます。![]() ![]()
△ADP=4tとおくと、△ACP=3t
(高さが共通,底辺が4:3) △BDP=2t(△ADPの半分) △BCP=1.5t(△ACPの半分) となるから △ABP:△BCP:△CAPの面積比は,6t:1.5t:3t=12:3:6=4:1:2 (分子の係数の比:向かい側) |
【一般に】
(解説)![]() まず,内分点の公式により,ABをl:kに内分する点Dの位置ベクトルを求めると さらに,内分点の公式により,DCをm:(l+k)に内分する点Pの位置ベクトルを求めると (1)を(2)に代入すると (参考) BCをm:lに内分する点をEとするとき,EAをk:(l+m)に内分する点と述べても同じです。 ![]() より 同様にして, と変形すると,ACをm:kに内分する点をFとするとき,FBをl:(m+k)に内分する点を表しているとも言えます。
【ここが変形のポイント】
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■[問題] 1 △ABCにおいてA,B,Cの位置ベクトルを各々 ![]() ![]() ![]() ![]() (最も簡単な整数比で答えなさい。)
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2 △ABCにおいてA,B,Cの位置ベクトルを各々 ![]() ![]() ![]() ![]() (最も簡単な整数比で答えなさい。)
![]() ![]() △ABCの内部に点Pがあり, ![]() (最も簡単な整数比で答えなさい。)
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