三辺→角

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== 三辺→角 ==

《解説》
■　余弦定理a2=b2+c2−2bccosAをcosAについて解くと，

となり，三角形の三辺の長さが分かれば，角Ａ(の余弦)が求められます.B，Ｃについても同様です.これを利用すると，三辺の長さが与えられた三角形の任意の角が求められます.

数表がない場合でも，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°となる角が求められます．
数表があれば任意の角が求められます

■例題
　△ABCにおいて，a=5, b=12, c=13のとき角Cを求めなさい.

　（答案）
$\cos C=\frac{12^2 + 5^2-13^2}{2\times 5 \times 12}=0$
だからC=90°・・・(答)

（※解き方は一つだが，意外に計算力が必要となる）
《問題1》　△ＡＢＣの三辺の長さが次のように与えられているとき，この三角形の角度について正しいものを選択肢から選びなさい．

(1) $\displaystyle a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=\sqrt{5}$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$a^2+ b^2=c^2$ だから
$\cos C=\\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=0\rightarrow C=90^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{3+ 5-2}{2\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{5+ 2-3}{2\sqrt{10}}=\frac{2}{\\sqrt{10}}$

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(2) $\displaystyle a=7,b=5,c=3$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+ 9-49}{30}=-\frac{15}{30}=-\frac{1}{2}\rightarrow A=120^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{11}{14}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{13}{14}$

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(3) $\displaystyle a=\sqrt{3},b=\sqrt{13},c=2$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{4 + 3-13}{4\sqrt{3}}=-\frac{6}{4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow B=150^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{13+ 4-3}{4\sqrt{13}}=\frac{14}{4\sqrt{13}}=\frac{7}{2\sqrt{13}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{3+ 13-4}{2\sqrt{39}}=\frac{12}{2\sqrt{39}}=\frac{6}{\sqrt{39}}$

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(4) $\displaystyle a=8,b=7,c=5$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\rightarrow B=60^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}$

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(5) $\displaystyle a=1,b=\sqrt{3},c=\sqrt{2}$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$c^2+ a^2=b^2$ だから
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=0\rightarrow B=90^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{3+ 2-1}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{1+ 3-2}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(6) $\displaystyle a=8,b=7,c=13$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+ 49-169}{112}=-\frac{56}{112}=-\frac{1}{2}\rightarrow C=120^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+ 169-64}{182}=\frac{154}{182}=\frac{11}{13}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{169+ 64-49}{208}=\frac{184}{208}=\frac{23}{26}$

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(7) $\displaystyle a=2,b=\sqrt{19},c=3$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{9 + 4-19}{12}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}\rightarrow B=120^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{19+ 9-4}{6\sqrt{19}}=\frac{24}{6\sqrt{19}}=\frac{4}{\sqrt{19}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+ 19-9}{4\sqrt{19}}=\frac{14}{4\sqrt{19}}=\frac{7}{2\sqrt{19}}$

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(8) $\displaystyle a=2\sqrt{3},b=5,c=\sqrt{7}$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{12+ 25-7}{20\sqrt{3}}=\frac{30}{20\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow C=30^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+ 7-12}{10\sqrt{7}}=\frac{20}{10\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{7+ 12-25}{4\sqrt{21}}=-\frac{6}{4\sqrt{21}}=-\frac{3}{2\sqrt{21}}$

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(9) $\displaystyle a=\sqrt{3},b=2,c=1+\sqrt{6}$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=\frac{3+ 4-(7+ 2\sqrt{6})}{4\sqrt{3}}=\cdot \cdot \cdot =-\frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow C=135^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{4+ (7+ 2\sqrt{6})-3}{4(1+ \sqrt{6})}=\cdot \cdot \cdot =\frac{2+ 3\sqrt{6}}{10}$
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{3+ (7+ 2\sqrt{6})-4}{2\sqrt{3}(1+ \sqrt{6})}=\cdot \cdot \cdot =\frac{4+ \sqrt{6}}{10}$

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(10) $\displaystyle a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=3$

$A=45^{\circ}$ $A=120^{\circ}$
$B=60^{\circ}$ $B=90^{\circ}$ $B=120^{\circ}$ $B=150^{\circ}$
$C=30^{\circ}$ $C=90^{\circ}$ $C=120^{\circ}$ $C=135^{\circ}$

解説やり直す

$\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{2+ 9-5}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow A=45^\circ$

（参考）
他の角度については，次の計算から分かるように，30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°のどの角度にも等しくない．
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\cos C=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$

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(1) 　△ABCにおいて，AB=7, BC=5, CA=6であるとき，sinA=［　　］である. （東北学院大入試問題からの引用）	左の空欄をの形で埋めると， $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ \(\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7} \) $\frac{6\sqrt{2}}{7}$ \(\displaystyle \frac{6\sqrt{2}}{7} \) $\frac{5\sqrt{7}}{12}$ \(\displaystyle \frac{5\sqrt{7}}{12} \) $\frac{7\sqrt{6}}{12}$ \(\displaystyle \frac{7\sqrt{6}}{12} \)
解説三角形の辺の名は向かい合う角の名に対応するから a=BC=5, b=CA=6, c=AB=7 余弦定理により $\cos A=\frac{b^2+ c^2-a^2}{2bc}=\frac{36 + 49-25}{84}=\frac{60}{84}=\frac{5}{7}$ 三角比の相互関係により sin2A+cos2A=1 だから $\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\sqrt{\frac{24}{49}}=\frac{2\sqrt{6}}{7}(\gt 0)$