外分点、重心の位置ベクトル

→ 携帯版は別頁 ■外分点の位置ベクトル、重心の位置ベクトル　線分ABをｍ：ｎに外分する点Qとは，ＡＱ：ＱＢ=ｍ：ｎとなるような点ＱをＡＢの外側にとったもの。(右図参照) 　Ａの外側にあればｍ＜ｎとなり、Ｂの外側にあればｍ＞ｎとなる。(この項目の復習はこちら)
■［要点］１２点Ａ，Ｂを結ぶ線分ＡＢをｍ：ｎに外分する点Ｑの位置ベクトルは２ △ＡＢＣの頂点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを各々，，とするとき，△ＡＢＣの重心Ｇの位置ベクトルは

■［解説］
１
m>n　のとき，図アにより

=-
AQ:QB=m：n　だからAQ:AB=m：(m-n)

m<n　のとき，図イにより
=-
AQ:QB=m：n　だからAQ:AB=m：(n-m)
AQ,ABは逆向きだから

２
BCの中点Mの位置ベクトルは

次に，A()，M(

)　を２：１に内分する点がGだから，

三角形の重心は，元々は各頂点から対辺に引いた中線が交わる点として定義さ

れるが，「中線の交点を求める」ためには，直線のベクトル方程式を学ぶ必要がある。
ここでは、三角形の重心の定義ではなく，定義から導かれる一つの性質：「重心は頂点と対辺を2：1に内分する」を用いて，重心を求める。
MからBNに平行線を引き，ＡＣとの交点をＰとすると，
ＰＮ：ＮＡ=１：２だから，
ＡＧ：ＧＭ＝２：１

■［問題］
△ＡＢＣの頂点の位置ベクトルを，，，ＡＢを２：３に外分する点をＰ，ＢＣを２：３に外分する点をＱ，ＣＡを２：３に外分する点をＲとするとき，次の各ベクトルを，，で表せ。
(初めに問題を選び、次に選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。なお、選択肢にはジョーカが含まれています。暗算は難しいので計算用紙を使いましょう。)

［問題］

[選択肢]

解説

$\frac{-3\vec{a}+ 4\vec{b}}{4-3}=-3\vec{a}+ 4\vec{b}$ $\frac{-1\vec{b}+ 2\vec{b}}{2-1}=-\vec{b}+ 2\vec{c}$ $\frac{-5\vec{c}+ 2\vec{a}}{2-5}=\frac{-2\vec{a}+ 5\vec{c}}{3}$ $P\Bigl(\frac{-3\vec{a}+ 2\vec{b}}{2-3}\Bigr),$ $Q\Bigl(\frac{-3\vec{b}+ 2\vec{c}}{2-3}\Bigr),$ $R\Bigl(\frac{-3\vec{c}+ 2\vec{a}}{2-3}\Bigr)$
すなわち $P(3\vec{a}-2\vec{b}),Q(3\vec{b}-2\vec{c}),R(3\vec{c}-2\vec{a})$ の重心を求めると $\frac{(3\vec{a}-2\vec{b})+(3\vec{b}-2\vec{c})+(3\vec{c}-2\vec{a})}{3}$ $=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

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