== 三角関数の定積分 ==
 
※積分区間の幅がのものは,フーリエ級数に使われる
を正の整数とするとき
(1.1)

(1.2)

(1.3)
(証明)
(1.1)←
三角関数の積を和に直す公式

により



ここで,は正の整数だから
ア)のとき,だから


イ)のとき,だから


(1.2)←
三角関数の積を和に直す公式

により



ここで,は正の整数だから
ア)のとき,だから


イ)のとき,だから


(1.3)←
三角関数の積を和に直す公式

により



ここで,は正の整数だから
ア)のとき,だから



イ)のとき,だから


※積分区間の幅がのものは,フーリエ級数に使われる
を整数とするとき
(1.4)

(1.5)

(1.6)
(証明)
(1.1)〜(1.3)とほぼ同じです.(1.4)の証明のみ示す:
三角関数の積を和に直す公式

により



ここで,は正の整数だから
ア)のとき,だから


イ)のとき,だから



を整数とするとき
(1.7)

(1.8)

(1.9)
(1.7)は被積分関数が奇関数×奇関数=偶関数,(1.8)は偶関数×偶関数=偶関数となり,いずれも0〜πの区間の積分の値は,−π〜πの区間の積分(1.4)(1.5)の半分になります.
(1.9)は被積分関数が奇関数×偶関数=奇関数となり,(1.6)で−π〜πの区間の積分が0になっても,(1.9)deha0〜πの区間の積分の値は簡単ではありません.
(証明)
(1.7)(1.8)は被積分関数が偶関数であるから,(1.4)(1.5)の半分になる.
(1.9)←
三角関数の積を和に直す公式

により




ア)の両方が奇数または両方が偶数のとき,は偶数になる
そのi) のとき


そのii) のとき


イ)が奇数と偶数の組合わせのとき,は奇数になるから




(1.10)のとき

B(p, q)はベータ関数(ベータ関数については,このページ(1.2) 2)参照のこと)
(証明)

で定義されるベータ関数については,置換積分により次の式を示せる.

ここで,
とおくと


文字を入れ替えると(1.10)になる

(ウォリスの公式)
を0以上の整数とするとき
(1.11)

(1.12)

(証明)

とおく


の整数のとき
部分積分を行うと





したがって


(1.11) nが奇数のとき

(1.12) nが偶数のとき

の場合も,ほぼ同様にして示される
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