== 平方和の多項式, 目次 ==●ブラーマグプタの二平方恒等式（フィボナッチの二平方恒等式）
\((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax-by)^2+(ay+bx)^2\)…(1.1)
または \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)…(1.2)
〇平方和の積･･･積の演算について閉じている
平方和３組の積 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)(p^2+q^2)\) \(=\{(ax-by)p-(ay+bx)q\}^2\) \(+\{(ax-by)q-(ay+bx)p\}^2\)…(1.4) 平方和４組の積 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)(p^2+q^2)(s^2+t^2)\) \(=\Big\lbrack\big\{(ax-by)p-(ay+bx)q\big\}s\) \(-\big\{(ax-by)q+(ay+bx)p\big\}t\Big\rbrack^2\) \(+\Big\lbrack\big\{(ax-by)p-(ay+bx)q\big\}t\) \(+\big\{(ax-by)q+(ay+bx)p\big\}s\Big\rbrack^2\) …(1.5) ●オイラーの四平方恒等式 |
〇ラグランジュの四平方数定理全ての自然数が高々（多くとも）四個の平方数の和で表される…(2.3)〇ヤコビの四平方定理自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数…(2.4) |
正の整数 \(a,b,c\) が \(a^2+b^2=c^2\) を満たすとき \(\displaystyle \Big(\frac{a}{c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c}\Big)^2=1\) と変形できるから，点\(P(x,y)\) は 有理数 \(x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}\) を座標とする点になる．|
「整数の平方数の和からなる集合」が，積の演算について閉じていることの証明： 整数全体の集合を\(Z\)で表すとき，整数の平方数の和からなる集合を\(A\)とおく
\(A=\{a^2+b^2\hspace{5px}|\hspace{5px}a,b\in Z\}\)とすると
（∵）\(x,y\in A\Longrightarrow xy\in A\) \(x,y\in A\) ならば \(x=a^2+b^2,y=c^2+d^2\)となる整数 \(a,b,c,d\) が存在するから， \(xy=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\)と書けることになり，\(xy\in A\) が言える． 平方和３組の積 (1.4) の証明←
※以下のような変形を目で追っていくのは，結構な苦痛を伴う．（間違いの点検も大変！！）
(1.1) スラスラとできるストイックな方は別として，私たち凡人は，もっと楽しく遊びの要素も入れて 「♪～さても不思議な南京玉すだれ，お目にとまれば元へと返す～♫ヨイショ」などと合いの手を入れるのがコツかな
\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\)
において，\(=(ax-by)^2+(ay+bx)^2\) \(A=ax-by\) \(B=ay+bx\) とおくと \((a^2+b^2)(x^2+y^2)\) \(=\textcolor{red}{A}^2+\textcolor{blue}{B}^2\) そこで，平方和３組の積を考えると \((a^2+b^2)(x^2+y^2)(p^2+q^2)\) \(=(\textcolor{red}{A}^2+\textcolor{blue}{B}^2)(p^2+q^2)\)
♪～お目にとまれば元へと返す～♫
(1.1)により\(=(\textcolor{red}{A}p-\textcolor{blue}{B}q)^2+(\textcolor{red}{A}q+\textcolor{blue}{B}p)^2\) \(=\Big\{\textcolor{red}{(ax-by)}p-\textcolor{blue}{(ay+bx)}q\Big\}^2+\Big\{\textcolor{red}{(ax-by)}q+\textcolor{blue}{(ay+bx)}p\Big\}^2\) は２式の平方の和になっている．_■ 平方和４組の積 (1.5) の証明← (1.4)により \((a^2+b^2)(x^2+y^2)(p^2+q^2)\) \(=\Big\{(ax-by)p-(ay+bx)q\Big\}^2+\Big\{(ax-by)q+(ay+bx)p\Big\}^2\) において， \(C=(ax-by)p-(ay+bx)q\) \(D=(ax-by)q+(ay+bx)p\) とおくと \((a^2+b^2)(x^2+y^2)(p^2+q^2)=\textcolor{red}{C}^2+\textcolor{blue}{D}^2\) そこで，平方和４組の積を考えると \((a^2+b^2)(x^2+y^2)(p^2+q^2)(s^2+t^2)\) \(=(\textcolor{red}{C}^2+\textcolor{blue}{D}^2)(s^2+t^2)\)
♪～お目にとまれば元へと返す～♫
(1.1)により\(=(\textcolor{red}{C}s-\textcolor{blue}{D}t)^2+(\textcolor{red}{C}t+\textcolor{blue}{D}s)^2\) \(=\Big\lbrack\big\{\textcolor{red}{(ax-by)p-(ay+bx)q}\big\}s-\big\{\textcolor{blue}{(ax-by)q+(ay+bx)p}\big\}t\Big\rbrack^2\) \(+\Big\lbrack\big\{\textcolor{red}{(ax-by)p-(ay+bx)q}\big\}t+\big\{\textcolor{blue}{(ax-by)q+(ay+bx)p}\big\}s\Big\rbrack^2\) は２式の平方の和になっている．_■ ※以上のようにすれば，帰納的に平方和何組の積でも２式の平方の和になることが言える． |
●オイラーの四平方恒等式 (2.1)の証明←
\((a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\)
を証明するには，両辺をそれぞれ展開して比較すればよいが，そのように言うと，内容について無味乾燥で，大量計算の根性物語を強いることになる．\(=(ax+by+cz+dw)^2\) \(+(ay-bx+cw-dz)^2\)
\(+(az-bw-cx+dy)^2\)
\(+(aw+bz-cy-dx)^2\)…(2.1)
ここでは，ブラーマグプタの二平方恒等式(1.2)を変形してオイラーの四平方恒等式 (2.1)を証明してみる．
後で示すように，独立な4文字×2の式から文字数を減らして独立な2文字×2の式を作ることは簡単であるが，独立な2文字×2の式を変形して独立な4文字×2の式を作ることは難易度が高い．（拡張になる）
右辺を展開することから始める．ネットで調べても，この変形は見つからなかったので，うまく行けば万歳ということで，請うご期待！！ （右辺）=
\((ax+by)^2\)
\(+(ay-bx)^2\)
\(+(cz+dw)^2\)
\(+(cw-dz)^2\)
\(+2abxy+2cdzw\)
\(-2abxy-2cdzw\)
\((az-bw)^2\)
\(+(aw+bz)^2\)
\(+(cx-dy)^2\)
\(+(cy+dx)^2\)
\(-2abzw-2cdxy\)
\(+2abzw+2cdxy\) 灰色の破線で囲まれた部分は消える．赤，青，緑，紫の破線で囲まれた部分は，それぞれ(1.2)の式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)…(1.2) を右から左に読むと
\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\)
\((c^2+d^2)(z^2+w^2)\)
\((a^2+b^2)(z^2+w^2)\)
\((c^2+d^2)(x^2+y^2)\)
となるから （右辺）=\((a^2+b^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\) \(+(c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\) \(=(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\) _■ |
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●オイラーの四平方恒等式 (2.2)の証明← オイラーの四平方恒等式は，多くの場合(2.1)の形で書かれるが，次の(2.2)の形にしておくと，使いやすいことがある． (2.1)の式において，\(x\)の代わりに\(-x\)を代入すると \((a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\) \(=(-ax+by+cz+dw)^2\) \(+(ay+bx+cw-dz)^2\)
\(+(az-bw+cx+dy)^2\)
\(+(aw+bz-cy+dx)^2\)
\(=(ax-by-cz-dw)^2\)\(+(ay+bx+cw-dz)^2\)
\(+(az-bw+cx+dy)^2\)
\(+(aw+bz-cy+dx)^2\)…(2.2)
オイラーの四平方恒等式(2.1),(2.2)の他のバリエーションの作り方見やすく（間違いにくく）するために，\(a,b,c,d\)は同じ縦列に揃えて，成立が証明できている(2.1)からスタートして，\(b,c,d\)から1個，2個，(3個)の符号を変えていく．ただし，3個変えることは残り1個だけを変えることと同じだから，\(a\)だけは正の符号に固定しておく． さらに，\(x,y,z,w\)から1個，2個，3個，4個の符号を変えたものも全て成り立つ． \((a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\)
\(=(ax+by+cz+dw)^2\)
\(+(ay-bx+cw-dz)^2\) \(+(az-bw-cx+dy)^2\) \(+(aw+bz-cy-dx)^2\)
\(=(ax-by+cz+dw)^2\)
\(+(ay+bx+cw-dz)^2\) \(+(az+bw-cx+dy)^2\) \(+(aw+bz-cy-dx)^2\)
\(=(ax+by+cz+dw)^2\)
\(+(ay-bx-cw-dz)^2\) \(+(az-bw+cx+dy)^2\) \(+(aw+bz+cy-dx)^2\) など ●オイラーの四平方恒等式(2.2)からブラーマグプタの二平方恒等式(1.1)を証明← (2.2)の両辺で\(c=d=z=w=0\)を代入すると \((a^2+b^2)(x^2+y^2)\) \(=(ax-by)^2+(ay+bx)^2\)…(1.1) _■ なお，●オイラーの四平方恒等式(2.1)から\(d=w=0\)を代入して3文字×2の式を作っても，三平方恒等式にはならない：右辺は四平方の式になる． \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\) \(=(ax+by+cz)^2\) \(+(ay-bx)^2\)
\(+(az-cx)^2\)
\(+(bz-cy)^2\)
この式は，コーシー・シュワルツの不等式の証明\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2\) となっており，等号が成立する条件 \(a:b:c=x:y:z\Longleftrightarrow \vec{u}=(a,b,c)/\!/\vec{v}=(x,y,z)\) も示されている． |
〇ラグランジュの四平方数定理･･･「全ての自然数が高々（多くとも）四個の平方数の和で表される」を，具体例で示す： （※高々四個とは，ちょうど四個とは違い，１個～４個までということ）
\(1=1^2\) ←1個
\(2=1^2+1^2\) ←2個 \(3=1^2+1^2+1^2\) ←3個 \(4=1^2+1^2+1^2+1^2\) ←4個 または \(4=2^2\) ←1個 \(5=1^2+2^2\) ←2個
\(6=1^2+1^2+2^2\) ←3個
\(7=1^2+1^2+1^2+2^2\) ←4個 \(8=2^2+2^2\) ←2個 \(9=1^2+2^2+2^2\) ←3個 または \(9=3^2\) ←1個 \(10=1^2+1^2+2^2+2^2\) ←4個 または \(10=1^2+3^2\) ←2個 ラグランジュの四平方数定理は，オイラーの四平方恒等式を使って証明される． 〇ヤコビの四平方定理･･･「自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数」を具体的な計算で示す． 自然数 \(N\) に対して，4つの平方数の和で表す方法の数を \(r_4(N)\) で表すと \(\displaystyle r_4(N)=8\sum_{d|N,4\nmid d}d\)
ここで，総和記号Σは「4で割り切れない\(N\)の約数\(d\)（1とNを含む）を全部足す」ことを表す．《例》 \(r_4(6)=8(1+2+3+6)=96\) ⇒ 6を4つの平方数の和で表す方法は，「符号も，並べ方も全部数えると」96通り
\(0^2+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2\) →8通り
こんなものまで，区別して数えるのか～！\(0^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2\) →8通り \(0^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+0^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+0^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 2)^2+0^2+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+(\pm 1)^2+0^2+(\pm 2)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+(\pm 2)^2+0^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 2)^2+(\pm 1)^2+0^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2+0^2\) →8通り \((\pm 1)^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2+0^2\) →8通り \((\pm 2)^2+(\pm 1)^2+(\pm 1)^2+0^2\) →8通り 《例》 \(r_4(9)=8(1+3+9)=104\) ⇒ 9を4つの平方数の和で表す方法は，「符号も，並べ方も全部数えると」104通り
\(0^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2+(\pm 2)^2\) →8通り
\(0^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2\) →8通り \(0^2+(\pm 2)^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+0^2+(\pm 2)^2+(\pm 2)^2\) →8通り \((\pm 2)^2+0^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2\) →8通り \((\pm 2)^2+0^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+(\pm 2)^2+0^2+(\pm 2)^2\) →8通り \((\pm 2)^2+(\pm 2)^2+0^2+(\pm 2)^2\) →8通り \((\pm 2)^2+(\pm 2)^2+0^2+(\pm 1)^2\) →8通り \((\pm 1)^2+(\pm 2)^2+(\pm 2)^2+0^2\) →8通り \((\pm 2)^2+(\pm 1)^2+(\pm 2)^2+0^2\) →8通り \((\pm 2)^2+(\pm 2)^2+(\pm 1)^2+0^2\) →8通り \(0^2+0^2+0^2+(\pm 3)^2\) →2通り \(0^2+0^2+(\pm 3)^2+0^2\) →2通り \(0^2+(\pm 3)^2+0^2+0^2\) →2通り \((\pm 3)^2+0^2+0^2+0^2\) →2通り |
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〇三平方和の恒等式(2.5)の証明←
\((a^2+b^2+c^2+d^2)^2\)
この式はオイラーの四平方恒等式(2.2)\(=(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(2ac-2bd)^2+(2bc+2ad)^2\)
\((a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\)
において，\(x=a,y=-b,z=c,w=d\)とおけば得られる：
\(=(ax-by-cz-dw)^2\) \(+(ay+bx+cw-dz)^2\)
\(+(az-bw+cx+dy)^2\)
\(+(aw+bz-cy+dx)^2\)…(2.2)
\((a^2+b^2+c^2+d^2)^2\)
(2.5)の式 \(x^2+y^2+z^2=w^2\) を満たす整数 \(x,y,z,w\) はピタゴラス４つ組と呼ばれ， \(x^2+y^2+z^2=w^2\) の解は全て(2.5)の形で書けることが分かっている．\(=(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\) \(+(-ab+ba+cd-dc)^2\)
\(+(ac-bd+ca-db)^2\)
\(+(ad+bc+cb+da)^2\)
\(=(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(2ac-2bd)^2+(2ad+2bc)^2\)
各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+2^2+2^2=3^2=9\)
〇三平方和の恒等式(2.6)の証明←2番:\( 2^2+3^2+6^2=7^2=49\) 3番:\( 1^2+4^2+8^2=9^2=81\) 4番:\( 4^2+4^2+7^2=9^2=81\) 5番:\( 2^2+6^2+9^2=11^2=121\) 6番:\( 6^2+6^2+7^2=11^2=121\) 7番:\( 3^2+4^2+12^2=13^2=169\) 8番:\( 2^2+5^2+14^2=15^2=225\) 9番:\( 2^2+10^2+11^2=15^2=225\) 10番:\( 1^2+12^2+12^2=17^2=289\) (2.4)において，\(d=0\)とすれば(2.5)が得られる． \((a^2+b^2+c^2)^2\) \(=(a^2+b^2-c^2)^2+(2ac)^2+(2ad)^2\) |
●デゲンの八平方和恒等式…(3.1)も同様にして証明することができるが，とても長い計算になるので，ここでは省略する． なお，類推・一般化として，16個，32個等の平方和についても恒等式があるように見えるが，2,4,8個の場合のみ恒等式が成立し，それ以外の場合は成立しないとされている． デゲンの八平方和恒等式…(3.1)からオイラーの四平方恒等式を示すには，後半4文字×2の部分に0を代入すればよい． \((a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2)\) \(\times(x^2+y^2+z^2+w^2+p^2+q^2+r^2+s^2)\)
\(=(ax-by-cz-dw\)
\(+(ay+bx+cw-dz\) \(+(az-bw+cx+dy\) \(+(aw+bz-cy+dx\)
\(-ep-fq-gr-hs)^2\)
\(+eq-fp-gs+hr)^2\) \(+er+fs-gp-hq)^2\) \(+es-fr+gq-hp)^2\)
\(+(ap-bq-cr-ds\)
\(+(aq+bp-cs+dr\) \(+(ar+bs+cp-dq\) \(+(as-br+cq+dp\)
\(+ex+fy+gz+hw)^2\)
\(-ey+fx-gw+hz)^2\) \(-ez+fw+gx-hy)^2\) \(-ew-fz+gy+hx)^2\) \((a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)\)
\(=(ax-by-cz-dw)^2\)
\(+(ay+bx+cw-dz)^2\) \(+(az-bw+cx+dy)^2\) \(+(aw+bz-cy+dx)^2\) |