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DEQ[2,2,1] \(x^2+y^2=p^2\) の正の整数解 （いわゆるピタゴラス数） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 3^2+4^2 = 5^2 = 25\)
2番:\( 6^2+8^2 = 10^2 = 100\) 3番:\( 5^2+12^2 = 13^2 = 169\) 4番:\( 9^2+12^2 = 15^2 = 225\) 5番:\( 8^2+15^2 = 17^2 = 289\) 6番:\( 12^2+16^2 = 20^2 = 400\) 7番:\( 7^2+24^2 = 25^2 = 625\) 8番:\( 10^2+24^2 = 26^2 = 676\) 9番:\( 20^2+21^2 = 29^2 = 841\) 10番:\( 18^2+24^2 = 30^2 = 900\) ⇒ ピタゴラス数については，これらを生成できる多項式が知られている．（かなり有名） 小さい方から幾つか例を示せば，次の表のとおり．また，互いに素でないものは，各組の数の定数倍で得られる． この多項式を利用すれば，ピタゴラス数を短時間に必要なだけ生成することができる．
★ 他のすべてのディオファントス方程式
\(x_1^k+x_2^k+\cdots+x_m^k=y_1^k+y_2^k+\cdots+y_n^k\) の解がブルートフォース（力まかせの総当たり）で求めざるを得ないのに対して，ピタゴラス数（DEQ[2,2,1]の形の方程式の整数解）は，全ての解がパラメータm, nを用いて表せるところが，注目に値する．また，DEQ[2,3,1]もパラメーター解が知られている． 他に，3乗の和に関する「ラマヌジャンの等式」は解を無限に生成できるが，解の全部ではないところが少し事情が違う．
★ ディオファントス方程式では，\(x^2+y^2=p^2\)や\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\)のように両辺の値が等しくなる解を求めるのに対して，\(x^2+y^2\)や\(x^2+y^2+z^2\)のような「式の値」については，その式が表せる値の範囲ということに関心が向けられる．
「ラグランジュの四平方定理」は，平方数1個～4個までの和を使えば全ての自然数を表せるということが示される．（ここでは，定理の内容の図解・例解を行う）
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例えば，１つの平方数\(x^2\)だけを使えば，\(1^2=1,2^2=4,3^2=9,..\)などが表せるが，２つの平方数の和\(x^2+y^2\)を使えば，\(1^2+1^2=2\)なども表すことができ，3つの平方数の和\(x^2+y^2+z^2\)を使えば，\(1^2+1^2+1^2=3\)なども表すことができる． 簡単な小実験により，\(2^2+1^2+1^2+1^2=7\)や\(3^2+2^2+1^2+1^2=15\)を表すためには「少なくとも4個」の平方数の和を必要とする．このようにして，平方数の和によって全ての自然数を表すためには，少なくとも4個の平方数が必要であることが分かる．（4個が十分条件になることの証明は，ネットにたくさん出ている） ラグランジュの四平方数定理を拡大・一般化したものとして，「ウェアリング問題」がある．3乗数の和を1個～9個考えれば全ての自然数を表せる．4乗数の和を1個～19個まで考えれば全ての自然数を表せるなど．
\(23\)を表すためには，\(2^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\)としなければならないから，3乗数の和で全ての自然数を表すためには，1個から9個の和を考える必要がある．（9個まで使えば，全ての自然数を表せること：十分条件の証明は別途必要となる･･･ヒルベルトが証明したと言われている）. |
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DEQ[2,2,2] \(x^2+y^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし \( x\lt p \) かつ \(x,y,p,q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+7^2=5^2+5^2=50\),
［興味ある話題］3の倍数: 0個, 右辺を3で割った余り: 2, 5の倍数: 2個 2番:\( 1^2+8^2=4^2+7^2=65\), 3の倍数: 0個, 右辺を3で割った余り: 2, 5の倍数: 0個 3番:\( 2^2+9^2=6^2+7^2=85\), 3の倍数: 2個, 右辺を3で割った余り: 1, 5の倍数: 0個 4番:\( 2^2+11^2=5^2+10^2=125\), 3の倍数: 0個, 右辺を3で割った余り: 2, 5の倍数: 2個 5番:\( 3^2+11^2=7^2+9^2=130\), 3の倍数: 2個, 右辺を3で割った余り: 1, 5の倍数: 0個 6番:\( 1^2+12^2=8^2+9^2=145\), 3の倍数: 2個, 右辺を3で割った余り: 1, 5の倍数: 0個 7番:\( 1^2+13^2=7^2+11^2=170\), 3の倍数: 0個, 右辺を3で割った余り: 2, 5の倍数: 0個 8番:\( 4^2+13^2=8^2+11^2=185\), 3の倍数: 0個, 右辺を3で割った余り: 2, 5の倍数: 0個 9番:\( 3^2+14^2=6^2+13^2=205\), 3の倍数: 2個, 右辺を3で割った余り: 1, 5の倍数: 0個 10番:\( 5^2+14^2=10^2+11^2=221\), 3の倍数: 0個, 右辺を3で割った余り: 2, 5の倍数: 2個
★ （高校数学）
\(x^2+y^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし \( x\lt p \) かつ \(x,y,p,q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
① \(x,y,p,q\) のうちで2の倍数,3の倍数,4の倍数,5の倍数は奇数個にならない． ② 左辺の和 \(x^2+y^2\) （右辺の和）は3の倍数にならない．
※問題および証明は，筆者がそれなりに作ったものです．英語圏のウェブには整数問題を扱ったものが多数ありますが，読むのが大変なのでほとんど見ていません．
（証明）問題及び証明に間違い等がありましたらお知らせください．なお，高度な内容には対応できませんので，悪しからず． 以下の各問題についても同様です．
① ← 1) 2の倍数が左辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(0+1\) ≢ \(1+1\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2の倍数が右辺に1個あるとき， 同様にして，\(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を2で割った余りは\(1+1\) ≢ \(0+1\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2) 2の倍数が左辺に2個，右辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を2で割った余りは\(0+0\) ≢ \(0+1\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2の倍数が左辺に1個，右辺に2個あるとき，同様に， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を2で割った余りは\(0+1\) ≢ \(0+0\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
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--- 全部で4個の数 \(x,y,p,q\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，3の倍数が4個ということはない．ここでは，3の倍数が1個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 3の倍数が左辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(0+1\) ≢ \(1+1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
3の倍数が右辺に1個あるとき，同様に\(1+1\) ≢ \(0+1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2) 3の倍数が左辺に2個，右辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(0+0\) ≢ \(0+1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
3の倍数が左辺に1個，右辺に2個あるとき，同様に\(0+1\) ≢ \(0+0\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
---全部で4個の数 \(x,y,p,q\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，4の倍数が4個ということはない．ここでは，4の倍数が1個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 4の倍数が左辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を4で割った余りは \(0+1\) ≢ \(1+1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
3の倍数が右辺に1個あるとき，同様に\(1+1\) ≢ \(0+1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2) 3の倍数が左辺に2個，右辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(0+0\) ≢ \(0+1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
3の倍数が左辺に1個，右辺に2個あるとき，同様に\(0+1\) ≢ \(0+0\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
---全部で4個の数 \(x,y,p,q\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，5の倍数が4個ということはない．ここでは，5の倍数が1個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 5の倍数が左辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) を5で割った余りは \(0+1\equiv 1,\hspace{5px}0+4\equiv 4\hspace{5px}(\mod 3)\)
\(p^2+q^2\) を5で割った余りは\(1+1\equiv 2,\hspace{5px}1+4\equiv 0\hspace{5px},\hspace{5px}4+4\equiv 3\hspace{5px}(\mod 3)\)
⇒ どの組み合わせの場合も， \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない．2) 5の倍数が左辺に2個，右辺に1個あるとき， \(x^2+y^2\) を5で割った余りは \(0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)
\(p^2+q^2\) を5で割った余りは\(0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)
⇒ どの組み合わせの場合も， \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない．--- ② ← ①の3の倍数についての結果から，\(x,y,p,q\) のうちで3の倍数は0個または2個になる．（仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，3の倍数が4個ということはない．） 1) 3の倍数が0個のとき， \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\) だから3の倍数にならない．
2) 3の倍数が2個のとき，3の倍数が左辺に2個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(0+0\) ≢ \(1+1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
3の倍数が左辺に0個，右辺に2個のとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(1+1\) ≢ \(1+1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立たない
3の倍数が左辺に1個，右辺に1個のとき， \(x^2+y^2\) 及び \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(0+1\equiv 0+1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2=p^2+q^2\) は成り立つ可能性がある
このとき， \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから3の倍数にならない．
以上で，証明終 ∥∎ |
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DEQ[2,3,1] \(x^2+y^2+z^2=p^2\) の正の整数解（ただし \(1\leqq x\leqq y\leqq z \lt p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+2^2+2^2=3^2=9\)
［興味ある話題］2番:\( 2^2+3^2+6^2=7^2=49\) 3番:\( 1^2+4^2+8^2=9^2=81\) 4番:\( 4^2+4^2+7^2=9^2=81\) 5番:\( 2^2+6^2+9^2=11^2=121\) 6番:\( 6^2+6^2+7^2=11^2=121\) 7番:\( 3^2+4^2+12^2=13^2=169\) 8番:\( 2^2+5^2+14^2=15^2=225\) 9番:\( 2^2+10^2+11^2=15^2=225\) 10番:\( 1^2+12^2+12^2=17^2=289\)
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2=p^2\) の正の整数解（ただし \(x,y,z,p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）\(x^2+y^2+z^2=p^2\) の正の整数解について ① \(x,y,z,p\) のうちで2の倍数は2個になる． ② \(x,y,z,p\) のうちで3の倍数は1個または2個になる． ③ \(x,y,z,p\) のうちで4の倍数は0個または2個になる．5の倍数も同様
① ← 全部で4個の数 \(x,y,z,p\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，2の倍数が4個ということはない．ここでは，2の倍数が0個,1個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 2の倍数が左辺に0個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは \(1+1+1\equiv 3\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
2) 2の倍数が左辺に1個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(0+1+1\equiv 2\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
2の倍数が左辺に0個，右辺に1個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(1+1+1\equiv 3\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
3) 2の倍数が左辺に3個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(0+0+0\equiv 0\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
2の倍数が左辺に2個，右辺に1個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(0+0+1\equiv 1\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
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② ← 全部で4個の数 \(x,y,z,p\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，3の倍数が4個ということはない．ここでは，3の倍数が0個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 3の倍数が左辺に0個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは \(1+1+1\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
2) 3の倍数が左辺に3個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは\(0+0+0\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
3の倍数が左辺に2個，右辺に1個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは\(0+0+1\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
（3の倍数が実際に1個の場合と2個の場合があることは，上記の1番と2番を見ればわかる）③ ← 全部で4個の数 \(x,y,z,p\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，4の倍数が4個ということはない．ここでは，4の倍数が1個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 4の倍数が左辺に1個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは \(0+1+1\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
4の倍数が左辺に0個，右辺に1個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(1+1+1\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
2) 4の倍数が左辺に3個，右辺に0個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(0+0+0\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
4の倍数が左辺に2個，右辺に1個のとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2\) を4で割った余りは\(0+0+1\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない
---全部で4個の数 \(x,y,z,p\) のうちで，仮定により「全部に共通な公約数は1以外にない」から，5の倍数が4個ということはない．ここでは，5の倍数が1個または3個あると仮定すると矛盾を生じることを示す． 1) 5の倍数が左辺に1個のとき， 左辺の\(x^2+y^2+z^2\) を5で割った余りは \(0+1+1\equiv 2,0+1+4\equiv 0, 0+4+4\equiv 3\)
右辺の\(p^2\) を5で割った余りは\(1, 4\)
だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない．5の倍数が右辺に1個のとき， 左辺の\(x^2+y^2+z^2\) を5で割った余りは \(1+1+1\equiv 3,1+1+4\equiv 1\)
右辺の\(p^2\) を5で割った余りは\(1+4+4\equiv 4,4+4+4\equiv 5\) \(0\)
だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない．2) 5の倍数が左辺に3個のとき， 左辺の\(x^2+y^2+z^2\) を5で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\)
右辺の\(p^2\) を5で割った余りは\(1, 4\)
だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない．5の倍数が左辺に2個のとき， 左辺の\(x^2+y^2+z^2\) を5で割った余りは \(0+0+1\equiv 1,0+0+4\equiv 4\)
右辺の\(p^2\) を5で割った余りは\(0\)
だから \(x^2+y^2+z^2=p^2\) は成り立たない．★ DEQ[2,3,1]の解は，次の媒介変数表示で表される．（広く知られている） |
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DEQ[2,3,2] \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし \(1\leqq x\leqq y\leqq z, 1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 2^2+2^2+3^2=1^2+4^2=17\)
［興味ある話題］2番:\( 1^2+1^2+4^2=3^2+3^2=18\) 3番:\( 1^2+3^2+4^2=1^2+5^2=26\) 4番:\( 2^2+3^2+4^2=2^2+5^2=29\) 5番:\( 3^2+3^2+4^2=3^2+5^2=34\) 6番:\( 1^2+2^2+6^2=4^2+5^2=41\) 7番:\( 3^2+4^2+4^2=4^2+5^2=41\) 8番:\( 2^2+4^2+5^2=3^2+6^2=45\) 9番:\( 3^2+4^2+5^2=1^2+7^2=50\) 10番:\(3^2+4^2+5^2=5^2+5^2=50\)
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし \(1\leqq x\leqq y\leqq z,1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）① \(x,y,z,p,q\) のうちで2の倍数は偶数個にならない． ② \(x,y,z,p,q\) のうちで3の倍数は0個もしくは4個にならない． ③ \(x,y,z,p,q\) のうちで5の倍数は2個もしくは4個にならない． ④ \(x,y,z,p,q\) のうちで7の倍数は4個にならない．
① ← 1) \(x,y,z,p,q\) のうちで2の倍数が0個のとき，左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) 及び右辺の和 \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(1+1+1\equiv 1\) 及び \(1+1\equiv 0\) となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． 2) \(x,y,z,p,q\) のうちで2の倍数が2個のとき， ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が2個，\(p,q\) のうちで2の倍数が0個のとき 左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) を2で割った余りは\(0+0+1\equiv 1\)，右辺の和 \(p^2+q^2\) を2で割った余りは\(1+1\equiv 0\)となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が1個，\(p,q\) のうちで2の倍数が1個のとき 左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) を2で割った余りは\(0+1+1\equiv 0\)，右辺の和 \(p^2+q^2\) を2で割った余りは\(0+1\equiv 1\)となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が0個，\(p,q\) のうちで2の倍数が2個のとき 左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) を2で割った余りは\(1+1+1\equiv 1\)，右辺の和 \(p^2+q^2\) を2で割った余りは\(0+0\equiv 0\)となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． （2の倍数が1個ある例は，上記の表の2番にある．3個ある例は1番にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」組だけを解にしている［初めの仮定］から，5個ある例は登場しない） ② ← 1) \(x,y,z,p,q\) のうちで3の倍数が0個のとき，左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) 及び右辺の和 \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(1+1+1\equiv 0\) 及び \(1+1\equiv 2\) となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． 2) \(x,y,z,p,q\) のうちで3の倍数が4個のとき， ● \(x,y,z\) のうちで3の倍数が3個，\(p,q\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) を3で割った余りは\(0+0+0\equiv 0\)，右辺の和 \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(0+1\equiv 1\)となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和\(x^2+y^2+z^2\) を3で割った余りは\(0+0+1\equiv 1\)，右辺の和 \(p^2+q^2\) を3で割った余りは\(0+0\equiv 0\)となるから，\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない． （3の倍数が1個ある例は，上記の表の1番にある．2個ある例は2番にある．3個ある例は5番にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」組だけを解にしている［初めの仮定］から，5個ある例は登場しない） |
③ ← 1) \(x,y,z,p,q\) のうちで5の倍数が2個の場合， ● \(x,y,z\) のうちの2個，\(p,q\) のうちの0個が5の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を5で割った余りは \(0+0+1\equiv 1\) ≢ \(1+1\equiv 2\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
● \(x,y,z\) のうちの1個，\(p,q\) のうちの1個が5の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を5で割った余りは\(0+1+1\equiv 2\) ≢ \(0+1\equiv 1\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
● \(x,y,z\) のうちの0個，\(p,q\) のうちの2個が5の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を5で割った余りは\(1+1+1\equiv 3\) ≢ \(0+0\equiv 0\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2) \(x,y,z,p,q\) のうちで5の倍数が4個の場合， ● \(x,y,z\) のうちの3個，\(p,q\) のうちの1個が5の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を5で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) ≢ \(0+1\equiv 1\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
● \(x,y,z\) のうちの2個，\(p,q\) のうちの2個が5の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を5で割った余りは\(0+0+1\equiv 1\) ≢ \(0+0\equiv 0\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
したがって，\(x,y,z,p,q\) のうちで5の倍数が2個もしくは4個となることはない．以上で，証明終 ∥∎ （5の倍数が0個ある例は上記の表の1番にある．1個ある例は3番にある．3個ある例は10番にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」組だけを解にしている［初めの仮定］から，5個ある例は登場しない） ④ ← 1) \(x,y,z,p,q\) のうち7の倍数が4個の場合， ● \(x,y,z\) のうちの3個，\(p,q\) のうちの1個が7の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を7で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) ≢ \(0+1\equiv 1\),\(0+2\equiv 2\),\(0+4\equiv 4\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
● \(x,y,z\) のうちの2個，\(p,q\) のうちの2個が7の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2\) 及び \(p^2+q^2\) を7で割った余りは\(0+0+1\equiv 1\), \(0+0+2\equiv 2\),\(0+0+4\equiv 4\) ≢ \(0+0\equiv 0\) だから \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2\) は成り立たない
（7の倍数が0個ある例は上記の表の1番にある．1個ある例は9番にある．2個ある例は17番にある．\(3^2+4^2+7^2=5^2+7^2\) 3個ある例は1971番にある．\(7^2+21^2+32^2=17^2+35^2\) 「全部に共通な公約数は1以外にない」組だけを解にしている［初めの仮定］から，5個ある例は登場しない） |
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DEQ[2,3,3] \(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2+r^2\) の正の整数解（ただし\(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+1^2+5^2=3^2+3^2+3^2 = 27\), 2: 0個, 3: 3個,5: 1個, 6: 0個, 7: 0個
2番:\( 1^2+4^2+4^2=2^2+2^2+5^2 = 33\), 2: 4個, 3: 0個,5: 1個, 6: 0個, 7: 0個 3番:\( 1^2+1^2+6^2=2^2+3^2+5^2 = 38\), 2: 2個, 3: 2個,5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 4番:\( 1^2+2^2+6^2=3^2+4^2+4^2 = 41\), 2: 4個, 3: 2個,5: 0個, 6: 1個, 7: 0個 5番:\( 2^2+5^2+5^2=3^2+3^2+6^2 = 54\), 2: 2個, 3: 3個,5: 2個, 6: 1個, 7: 0個 15番:\( 1^2+5^2+7^2=5^2+5^2+5^2 = 75\), 2: 0個, 3: 0個,5: 4個, 6: 0個, 7: 1個 17番:\( 3^2+6^2+6^2=4^2+4^2+7^2 = 81\), 2: 4個, 3: 3個,5: 0個, 6: 2個, 7: 1個 26番:\( 2^2+3^2+9^2=3^2+6^2+7^2 = 94\), 2: 2個, 3: 4個,5: 0個, 6: 1個, 7: 1個 29番:\( 1^2+7^2+7^2=3^2+3^2+9^2 = 99\), 2: 0個, 3: 3個,5: 0個, 6: 0個, 7: 2個 42番:\( 1^2+7^2+8^2=4^2+7^2+7^2 = 114\), 2: 2個, 3: 0個,5: 0個, 6: 0個, 7: 3個 46番:\( 2^2+6^2+9^2=6^2+6^2+7^2 = 121\),2: 4個, 3: 4個,5: 0個, 6: 3個, 7: 1個 965番:\( 1^2+12^2+18^2=6^2+12^2+17^2 = 469\), 2: 4個,3: 4個,5: 0個, 6: 4個, 7: 0個 ???番:\( 1^2+7^2+49^2=1^2+35^2+35^2=2451\), 2: 0個,3: 0個,5: 2個, 6: 0個, 7: 4個 |
［興味ある話題］
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2=p^2+q^2+r^2\) の正の整数解（ただし，\(x\lt p\) かつ \(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）① \(x,y,z,p,q,r\) のうちで2の倍数は奇数個にならない． ② \(x,y,z,p,q,r\) のうちで3の倍数が1個もしくは5個となることはない． ③ \(x,y,z,p,q,r\) のうちで5の倍数が3個もしくは5個となることはない． ④ \(x,y,z,p,q,r\) のうちで6の倍数が4個もしくは5個となることはない． ⑤ \(x,y,z,p,q,r\) のうちで7の倍数が5個となることはない．
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※ ラグランジュの四平方定理については，前に説明した． DEQ[2,4,1] \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w \lt p\) かつ \(x,y,z,p,q,r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=4\),2:1個,3:0個,5:0個,6:0個,7:0個,10:0個
［興味ある話題］2番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=25\),2:3個,3:0個,5:1個,6:0個,7:0個,10:0個 3番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=36\),2:1個,3:2個,5:1個,6:1個,7:0個,10:0個 4番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=49\),2:3個,3:0個,5:0個,6:0個,7:1個,10:0個 5番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=49\),2:3個,3:0個,5:1個,6:0個,7:1個,10:0個 6番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=81\),2:3個,3:2個,5:1個,6:1個,7:0個,10:0個 7番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=81\),2:3個,3:2個,5:0個,6:0個,7:0個,10:0個 8番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=100\),2:1個,3:0個,5:3個,6:0個,7:1個,10:1個 9番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=100\),2:1個,3:0個,5:1個,6:0個,7:2個,10:1個 15番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=169\),2:3個,3:3個,5:0個,6:2個,7:0個,10:0個 152番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=841\),2:3個,3:0個,5:3個,6:0個,7:0個,10:2個 153番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=841\),2:3個,3:3個,5:1個,6:3個,7:0個,10:0個 165番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=900\),2:1個,3:2個,5:1個,6:1個,7:3個,10:1個 181番:\(12^2+16^2+17^2+20^2=34^2=961\),2:3個,3:0個,5:3個,6:0個,7:0個,10:3個
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w\lt p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）① \(x,y,z,w,p\) のうちで3の倍数は0個,2個もしくは3個である． ② \(x,y,z,w,p\) のうちで5の倍数は0個,1個もしくは3個である． ③ \(x,y,z,w,p\) のうちで6の倍数は0個,1個,2個もしくは3個である． ④ \(x,y,z,w,p\) のうちで7の倍数は0個,1個,2個もしくは3個である． ⑤ \(x,y,z,w,p\) のうちで10の倍数は0個,1個,2個もしくは3個である．
全部で5個の数 \(x,y,z,w,p\) のうちで，仮定により \(x,y,z,w,p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものを解としているから，3の倍数が5個ということはない． 1) 3の倍数が4個のとき \(x,y,z,w\) のうちの4個が3の倍数で，\(p\) が3の倍数でないとき， \(x^2+y^2+z^2+w^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
\(x,y,z,w\) のうちの3個が3の倍数で，\(p\) が3の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2+w^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは\(0+0+0+1\equiv 1\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
2) 3の倍数が1個のとき\(x,y,z,w\) のうちの1個が3の倍数で，\(p\) が3の倍数でないとき， \(x^2+y^2+z^2+w^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは \(0+1+1+1\equiv 0\) ≢ \(1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
\(x,y,z,w\) のうちの0個が3の倍数で，\(p\) が3の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2+w^2\) 及び \(p^2\) を3で割った余りは\(1+1+1+1\equiv 1\) ≢ \(0\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
以上から，3の倍数が1個,4個,5個のときは，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) が成り立たないから，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) が成り立つ可能性があるのは，3の倍数が0個,2個,3個のとき．（実際に成り立つ例を筆算で示すのは難しいが，コンピュータを使えば，上記の1番,3番,15番で示される） |
② ← 全部で5個の数 \(x,y,z,w,p\) のうちで，仮定により \(x,y,z,w,p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものを解としているから，5の倍数が5個ということはない． 1) 5の倍数が4個のとき \(x,y,z,w\) のうちの4個が5の倍数で，\(p\) が5の倍数でないとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2\) を5で割った余りは \(0\hspace{5px}(\mod 5)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
\(x,y,z,w\) のうちの3個が5の倍数で，\(p\) が5の倍数であるとき， \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 5)\) または \(4\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2\) を5で割った余りは \(0\hspace{5px}(\mod 5)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
2) 5の倍数が2個のとき\(x,y,z,w\) のうちの2個が5の倍数で，\(p\) が5の倍数でないとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは \(0+0+1+1\equiv 2\) または \(0+0+1+4\equiv 0\) または \(0+0+4+4\equiv 3\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2\) を5で割った余りは \(1\) または \(4\hspace{5px}(\mod 5)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
以上から，5の倍数が2個,4個,5個のときは，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) が成り立たないから，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) が成り立つ可能性があるのは，5の倍数が0個,1個,3個のとき．（実際に成り立つ例を筆算で示すのは難しいが，コンピュータを使えば，上記の1番,2番,8番で示される） ③④⑤ ← 全部で5個の数 \(x,y,z,w,p\) のうちで，仮定により \(x,y,z,w,p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものを解としているから，6,7,10の倍数が5個ということはない． そこで，6,7,10の倍数が4個にもならないことを示す． 1) \(x,y,z,w\) のうちの4個が6の倍数で，\(p\) が6の倍数でないとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を6で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 6)\) 右辺の \(p^2\) を6で割った余りは \(1,3,4\hspace{5px}(\mod 6)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
\(x,y,z,w\) のうちの3個が6の倍数で，\(p\) が6の倍数であるとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を6で割った余りは \(1,3,4\hspace{5px}(\mod 6)\) 右辺の \(p^2\) を6で割った余りは \(0\hspace{5px}(\mod 6)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
2) \(x,y,z,w\) のうちの4個が7の倍数で，\(p\) が7の倍数でないとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を6で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 7)\) 右辺の \(p^2\) を7で割った余りは \(1,2,4\hspace{5px}(\mod 7)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
\(x,y,z,w\) のうちの3個が7の倍数で，\(p\) が7の倍数であるとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を6で割った余りは \(1,2,4\hspace{5px}(\mod 7)\) 右辺の \(p^2\) を7で割った余りは \(0\hspace{5px}(\mod 7)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
3) \(x,y,z,w\) のうちの4個が10の倍数で，\(p\) が10の倍数でないとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を10で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 10)\) 右辺の \(p^2\) を10で割った余りは \(1,4,5,6,9\hspace{5px}(\mod 10)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
\(x,y,z,w\) のうちの3個が10の倍数で，\(p\) が10の倍数であるとき， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を10で割った余りは \(1,4,5,6,9\hspace{5px}(\mod 10)\) 右辺の \(p^2\) を10で割った余りは \(0\hspace{5px}(\mod 10)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2\) は成り立たない
（6,7,10の倍数が0個,1個,2個もしくは3個である実例は，コンピュータ計算で求めた上記の表の通り）
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DEQ[2,4,2] \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) の正の整数解 各辺の和が小さいものから順に
1番:\(1^2\!+\!1^2\!+\!2^2\!+\!2^2=1^2\!+\!3^2\),2:2個,3:1個,5:0個,6:0個,7:0個
［興味ある話題］2番:\(1^2\!+\!2^2\!+\!2^2\!+\!2^2=2^2\!+\!3^2\),2:4個,3:1個,5:0個,6:0個,7:0個 3番:\(1^2\!+\!2^2\!+\!2^2\!+\!3^2=3^2\!+\!3^2\),2:2個,3:3個,5:0個,6:0個,7:0個 4番:\(1^2\!+\!1^2\!+\!3^2\!+\!3^2=2^2\!+\!4^2\),2:2個,3:2個,5:0個,6:0個,7:0個 5番:\(1^2\!+\!2^2\!+\!2^2\!+\!4^2=3^2\!+\!4^2\),2:4個,3:1個,5:0個,6:0個,7:0個 6番:\(2^2\!+\!2^2\!+\!3^2\!+\!3^2=1^2\!+\!5^2\),2:2個,3:2個,5:1個,6:0個,7:0個 7番:\(1^2\!+\!1^2\!+\!4^2\!+\!4^2=3^2\!+\!5^2\),2:2個,3:1個,5:1個,6:0個,7:0個 8番:\(1^2\!+\!2^2\!+\!2^2\!+\!5^2=3^2\!+\!5^2\),2:2個,3:1個,5:2個,6:0個,7:0個 9番:\(1^2\!+\!2^2\!+\!4^2\!+\!4^2=1^2\!+\!6^2\),2:4個,3:1個,5:0個,6:1個,7:0個 10番:\(2^2\!+\!2^2\!+\!2^2\!+\!5^2=1^2\!+\!6^2\),2:4個,3:1個,5:1個,6:1個,7:0個 43番:\(2^2\!+\!3^2\!+\!6^2\!+\!6^2=2^2\!+\!9^2\),2:4個,3:4個,5:0個,6:2個,7:0個 44番:\(2^2\!+\!3^2\!+\!6^2\!+\!6^2=6^2\!+\!7^2\),2:4個,3:4個,5:0個,6:3個,7:1個 327番:\(3^2\!+\!6^2\!+\!10^2\!+\!10^2=7^2\!+\!14^2\),2:4個,3:2個,5:2個,6:1個,7:2個 328番:\(4^2\!+\!6^2\!+\!7^2\!+\!12^2=7^2\!+\!14^2\)2:4個,3:2個,5:0個,6:2個,7:3個
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w,1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）① \(x,y,z,w,p,q\) のうち2の倍数は，2個または4個含まれる． ② \(x,y,z,w,p,q\) のうちで3の倍数は1個～4個含まれる． ③ \(x,y,z,w,p,q\) のうちで5の倍数がちょうど3,5個になることはない． ④ \(x,y,z,w,p,q\) のうちで6,7の倍数が各々5個になることはない．
1) 2の倍数が1つも含まれていないとすると，左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を4で割った余りは \(1+1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 4)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を4で割った余りは \(1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 4)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない 2) 2の倍数が1個含まれているとする ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が1個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が0個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(0+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が0個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が1個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(1+1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない 3) 2の倍数が3個含まれているとする ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が3個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が0個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が2個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が1個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(0+0+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が1個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が2個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(0+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない |
4) 2の倍数が5個含まれているとする ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が4個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が1個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに2の倍数が3個，右辺の \(p,q\) に2の倍数が2個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を2で割った余りは \(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 2)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を2で割った余りは \(0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 2)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない
2の倍数が4個含まれることは，次のように証明できる．
② ←DEQ[2,3,1]の1つの解，例えば \(1^2+2^2+2^2=3^2\) の両辺の各数を2倍（値は4倍）すると，\(2^2+4^2+4^2=6^2\)となって，2の倍数が4個含まれる式ができる．この両辺に2の倍数でない \(1^2\) などを足すと，\(1^2+4^2+4^2=1^2+6^2\) となって，公約数が1以外になくて2の倍数が4個ある式ができる． 後で登場する，\(k=3,5,6,7\) の場合も含めて一般に，\(1^2+(2k)^2+(2k)^2=1^2+(3k)^2\) とすると，\(k\) が4個ある例を示せる． 1) \(x,y,z,w,p,q\) のうちに3の倍数が1つも含まれていないとすると，左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を3で割った余りは \(1+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\) この場合，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない 2) \(x,y,z,w,p,q\) のうちに3の倍数が5個含まれているとする． ● \(x,y,z,w\) のうちに3の倍数が4個，右辺の \(p,q\) に3の倍数が1個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を3で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに3の倍数が3個，右辺の \(p,q\) に3の倍数が2個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を3で割った余りは \(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を3で割った余りは \(0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\) だから \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ③ ← 1) \(x,y,z,w,p,q\) のうちに5の倍数が3個含まれている場合 ● \(x,y,z,w\) のうちに5の倍数が3個含まれているとすると，左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは \(0+0+0+1\) または \(0+0+0+4\) だから \(1\) または \(4\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を5で割った余りは \(1+1\)または \(1+4\) または \(4+4\) だから \(0,2,3\hspace{5px}(\mod 5)\) この場合，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに5の倍数が2個，右辺の \(p,q\) に5の倍数が1個含まれているとすると，左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは \(0+0+1+1\) または \(0+0+1+4\) または \(0+0+4+4\)だから \(2,0,3\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を5で割った余りは \(0+1\)または \(0+4\) だから \(1,4\hspace{5px}(\mod 5)\) この場合，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない 2) \(x,y,z,w,p,q\) のうちに5の倍数が5個含まれている場合 ● \(x,y,z,w\) のうちに5の倍数が4個，右辺の \(p^2+q^2\) に5の倍数が1個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは \(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を5で割った余りは \(0+1\)または \(0+4\) だから \(1,4\hspace{5px}(\mod 5)\) この場合，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ● \(x,y,z,w\) のうちに5の倍数が3個，右辺の \(p^2+q^2\) に5の倍数が2個含まれているとすると， 左辺の \(x^2+y^2+z^2+w^2\) を5で割った余りは \(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 5)\) 右辺の \(p^2+q^2\) を5で割った余りは \(0+0\) だから \(0\hspace{5px}(\mod 5)\) この場合，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない ④⑤ ← \(x,y,z,w,p,q\) のうちに6,7の倍数が5個含まれている場合，5の倍数のときと同様に，1つの辺が6,7の倍数になり，他方の辺が6,7の倍数でないから，\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2\) は成り立たない |
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DEQ[2,4,3] \(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2+r^2\) の正の整数解 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+1^2+1^2+3^2 = 2^2+2^2+2^2 = 12\)
［興味ある話題］2番:\( 1^2+2^2+2^2+3^2 = 1^2+1^2+4^2 = 18\) 3番:\( 1^2+1^2+1^2+4^2 = 1^2+3^2+3^2 = 19\) 4番:\( 2^2+2^2+2^2+3^2 = 1^2+2^2+4^2 = 21\) 5番:\( 1^2+1^2+2^2+4^2 = 2^2+3^2+3^2 = 22\) 6番:\( 2^2+2^2+3^2+3^2 = 1^2+3^2+4^2 = 26\) 7番:\( 1^2+1^2+3^2+4^2 = 1^2+1^2+5^2 = 27\) 8番:\( 1^2+1^2+3^2+4^2 = 3^2+3^2+3^2 = 27\) 9番:\( 1^2+2^2+3^2+4^2 = 1^2+2^2+5^2 = 30\) 10番:\( 2^2+2^2+3^2+4^2 = 1^2+4^2+4^2 = 33\)
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2+w^2=p^2+q^2+r^2\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
※各自で考えてください
① \(x,y,z,w,p,q\) のうちで3の倍数は少なくとも1個含まれる． ② \(x+y+z+w\) を2で割った余りは，\(p+q+r\) を2で割った余りと等しい． |
DEQ[2,5,1] \(x^2+y^2+z^2+v^2+w^2=p^2\) の正の整数解 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+1^2+1^2+2^2+3^2=4^2=16\)
※右辺には4以上の数の平方数\(n^2\hspace{5px}(n\geqq 4)\)は全て登場する.2番:\( 2^2+2^2+2^2+2^2+3^2=5^2=25\) 3番:\( 1^2+1^2+3^2+3^2+4^2=6^2=36\) 4番:\( 1^2+2^2+2^2+2^2+6^2=7^2=49\) 5番:\( 2^2+2^2+3^2+4^2+4^2=7^2=49\) 6番:\( 1^2+1^2+1^2+5^2+6^2=8^2=64\) 7番:\( 1^2+1^2+2^2+3^2+7^2=8^2=64\) 8番:\( 1^2+2^2+3^2+5^2+5^2=8^2=64\) 9番:\( 1^2+3^2+3^2+3^2+6^2=8^2=64\) 10番:\( 1^2+2^2+2^2+6^2+6^2=9^2=81\) ??番:\(7^2+7^2+7^2+7^2+48^2 = 50^2 = 2500\) ［興味ある話題］
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2+v^2+w^2=p^2\) の正の整数解（ただし，\(x,y,z,v,w,p\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）① \(x,y,z,v,w,p\) のうちで3の倍数が0個,2個もしくは5個ということはない． ② \(x,y,z,v,w,p\) のうちで5の倍数が3個もしくは5個ということはない． ③ \(x,y,z,v,w,p\) のうちで7の倍数が5個ということはない．
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DEQ[2,5,2] \(x^2+y^2+z^2+v^2+w^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし，\(x,y,z,v,w,p,q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+1^2+1^2+1^2+1^2 = 1^2+2^2 = 5\), 3の倍数の個数: 0
［興味ある話題］2番:\( 1^2+1^2+1^2+1^2+2^2 = 2^2+2^2 = 8\), 3の倍数の個数: 0 3番:\( 1^2+1^2+1^2+1^2+3^2 = 2^2+3^2 = 13\), 3の倍数の個数: 2 4番:\( 1^2+2^2+2^2+2^2+2^2 = 1^2+4^2 = 17\), 3の倍数の個数: 0 5番:\( 1^2+1^2+1^2+1^2+4^2 = 2^2+4^2 = 20\), 3の倍数の個数: 0 6番:\( 2^2+2^2+2^2+2^2+3^2 = 3^2+4^2 = 25\), 3の倍数の個数: 2 7番:\( 1^2+1^2+2^2+2^2+4^2 = 1^2+5^2 = 26\), 3の倍数の個数: 0 8番:\( 1^2+1^2+1^2+1^2+5^2 = 2^2+5^2 = 29\), 3の倍数の個数: 0 9番:\( 1^2+1^2+3^2+3^2+3^2 = 2^2+5^2 = 29\), 3の倍数の個数: 3 12番:\( 1^2+2^2+3^2+3^2+3^2 = 4^2+4^2 = 32\), 3の倍数の個数: 3 19番:\( 2^2+3^2+3^2+3^2+3^2 = 2^2+6^2 = 40\), 3の倍数の個数: 5 22番:\( 1^2+1^2+3^2+3^2+5^2 = 3^2+6^2 = 45\), 3の倍数の個数: 4
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2+v^2+w^2=p^2+q^2\) の正の整数解（ただし，\(x,y,z,v,w,p,q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
※各自で考えてください
① \(x,y,z,v,w,p,q\) のうちで3の倍数がちょうど1個含まれる場合はない． ② \(x+y+z+v+w\) を2で割った余りと\(p+q\) を2で割った余りは等しい． |
DEQ[2,5,3] \(x^2+y^2+z^2+v^2+w^2=p^2+q^2+r^2\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x,\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に
1番:\( 1^2+1^2+1^2+2^2+2^2 = 1^2+1^2+3^2 = 11\), 3の倍数の個数: 1
［興味ある話題］2番:\( 1^2+1^2+2^2+2^2+2^2 = 1^2+2^2+3^2 = 14\), 3の倍数の個数: 1 3番:\( 1^2+2^2+2^2+2^2+2^2 = 2^2+2^2+3^2 = 17\), 3の倍数の個数: 1 4番:\( 1^2+1^2+2^2+2^2+3^2 = 1^2+3^2+3^2 = 19\), 3の倍数の個数: 3 5番:\( 1^2+1^2+1^2+3^2+3^2 = 1^2+2^2+4^2 = 21\), 3の倍数の個数: 2 6番:\( 1^2+2^2+2^2+2^2+3^2 = 2^2+3^2+3^2 = 22\), 3の倍数の個数: 3 7番:\( 1^2+1^2+2^2+3^2+3^2 = 2^2+2^2+4^2 = 24\), 3の倍数の個数: 2 8番:\( 1^2+1^2+2^2+2^2+4^2 = 1^2+3^2+4^2 = 26\), 3の倍数の個数: 1 9番:\( 1^2+2^2+2^2+3^2+3^2 = 1^2+1^2+5^2 = 27\), 3の倍数の個数: 2 10番:\( 1^2+2^2+2^2+3^2+3^2 = 3^2+3^2+3^2 = 27\), 3の倍数の個数: 5 12番:\( 1^2+1^2+3^2+3^2+3^2 = 2^2+3^2+4^2 = 29\), 3の倍数の個数: 4
★ （高校数学）
\(x^2+y^2+z^2+v^2+w^2=p^2+q^2+r^2\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x,\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
※各自で考えてください
① \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで3の倍数は少なくとも1個まれる． ② \(x+y+z+v+w\) を2で割った余りと\(p+q+r\) を2で割った余りは等しい． |
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DEQ[3,2,1] \(x^3+y^3=p^3\) の正の整数解 ⇒フェルマーの最終定理により，解は存在しない DEQ[3,2,2] \(x^3+y^3=p^3+q^3\) の正の整数解（ただし \(1\leqq x\leqq y,x\lt p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 1^3+12^3=9^3+10^3=1729\), 2:2個, 3:2個, 5:1個, 6:1個, 7:0個
2番:\( 2^3+16^3=9^3+15^3=4104\), 2:2個, 3:2個, 5:1個, 6:0個, 7:0個 3番:\( 10^3+27^3=19^3+24^3=20683\), 2:2個, 3:2個, 5:1個, 6:1個, 7:0個 4番:\( 2^3+34^3=15^3+33^3=39312\), 2:2個, 3:2個, 5:1個, 6:0個, 7:0個 5番:\( 9^3+34^3=16^3+33^3=40033\), 2:2個, 3:2個, 5:0個, 6:0個, 7:0個 9番:\( 8^3+53^3=29^3+50^3=149389\), 2:2個, 3:0個, 5:1個, 6:0個, 7:0個 10番:\( 17^3+55^3=24^3+54^3=171288\), 2:2個, 3:2個, 5:1個, 6:2個, 7:0個 14番:\( 42^3+69^3=56^3+61^3=402597\), 2:2個, 3:2個, 5:0個, 6:1個, 7:2個 17番:\( 15^3+80^3=54^3+71^3=515375\), 2:2個, 3:2個, 5:2個, 6:1個, 7:0個 45番:\( 23^3+163^3=121^3+137^3=4342914\), 2:0個, 3:0個, 5:0個, 6:0個, 7:0個 ［興味ある話題］
★ （高校数学）
\(x^3+y^3=p^3+q^3\)の正の整数解（ただし \(1\leqq x\leqq y,x\lt p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）について
（証明）① \(x+y\) を6で割った余りは，\(p+q\) を6で割った余りと等しい． ② \(x,y,p,q\) のうちで2,3,7の倍数が各々奇数個になることはない． ③ \(x,y,p,q\) のうちで5,6の倍数が3個になることはない．
\(x^3-x=(x-1)x(x+1)\) において，右辺は連続する3整数の積だから，6の倍数．したがって， \(x^3\) と \(x\) は6で割った余りが等しい．（ \(y,p,q\) も同様） そこで， \(x^3+y^3\) と \(x+y\) は6で割った余りが等しい． また， \(p^3+q^3\) と \(p+q\) は6で割った余りが等しい． 仮定により， \(x^3+y^3=p^3+q^3\) だから， \(x^3+y^3\) と \(p^3+q^3\) は6で割った余りが等しい． 以上から， \(x+y\) と \(p+q\) は6で割った余りが等しい．∎ ② ← ==2の倍数について== 1) \(x,y,p,q\) のうちで2の倍数が1個のとき ● \(x,y\) のうちで2の倍数が1個, \(p,q\) のうちで2の倍数が0個のとき \(x^3+y^3\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\)，\(p^3+q^3\) を2で割った余りは \(1+1\equiv 0\)だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで2の倍数が0個, \(p,q\) のうちで2の倍数が1個のとき \(x^3+y^3\) を2で割った余りは \(1+1\equiv 0\)，\(p^3+q^3\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\)だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． 2) \(x,y,p,q\) のうちで2の倍数が3個のとき ● \(x,y\) のうちで2の倍数が2個, \(p,q\) のうちで2の倍数が1個のとき \(x^3+y^3\) を2で割った余りは \(0+0\equiv 0\)，\(p^3+q^3\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\)だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで2の倍数が1個, \(p,q\) のうちで2の倍数が2個のとき \(x^3+y^3\) を2で割った余りは \(0+1\equiv 1\)，\(p^3+q^3\) を2で割った余りは \(0+0\equiv 0\)だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない．
2の倍数が2個の例は，具体例の1番，2の倍数が0個の例は具体例の45番にある．なお，「全部に共通な公約数は1以外にない」組だけを解としているから，2の倍数が4個となるものは含まれない．
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==3の倍数について== 1) \(x,y,p,q\) のうちで3の倍数が1個のとき ● \(x,y\) のうちで3の倍数が1個, \(p,q\) のうちで3の倍数が0個のとき \(x^3+y^3\) を3で割った余りは \(0+1\equiv \color{red}{1}\) または \(0+2\equiv \color{blue}{2}\) \(p^3+q^3\) を3で割った余りは \(1+1\equiv \color{blue}{2}\) または \(1+2\equiv 0\) または \(2+2\equiv \color{red}{1}\) 各辺の余りが\(\color{red}{1}\)または\(\color{blue}{2}\)となる組合わせについては，等しくなる可能性があるので，さらに詳しく，9で割った余りで調べる． \(0+1\equiv \color{red}{1}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(0+1\equiv 1\hspace{2px}(\mod 9)\) \(2+2\equiv \color{red}{1}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(8+8\equiv 7\hspace{2px}(\mod 9)\) これらの組は，9で割った余りが等しくないから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． \(0+2\equiv \color{blue}{2}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(0+8\equiv 8\hspace{2px}(\mod 9)\) \(1+1\equiv \color{blue}{2}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(1+1\equiv 2\hspace{2px}(\mod 9)\) これらの組は，9で割った余りが等しくないから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで3の倍数が0個, \(p,q\) のうちで3の倍数が1個のときも，左辺と右辺の立場を入れ替えると，同様にして示せる． 2) \(x,y,p,q\) のうちで3の倍数が3個のとき ● \(x,y\) のうちで3の倍数が2個, \(p,q\) のうちで3の倍数が1個のとき \(x^3+y^3\) を3で割った余りは \(0+0\equiv 0\) \(p^3+q^3\) を3で割った余りは \(0+1\equiv 1\) または \(0+2\equiv 2\) だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ==7の倍数について== 1) \(x,y,p,q\) のうちで7の倍数が1個のとき ● \(x,y\) のうちで7の倍数が1個, \(p,q\) のうちで7の倍数が0個のとき \(x^3+y^3\) を7で割った余りは \(0+1\equiv 1\),\(\hspace{5px}0+6\equiv 6\) \(p^3+q^3\) をで割った余りは \(1+1\equiv 2\),\(\hspace{5px}1+6\equiv 0\),\(\hspace{5px}6+6\equiv 5\) だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで7の倍数が0個, \(p,q\) のうちで7の倍数が1個のとき \(x^3+y^3\) を7で割った余りは \(1+1\equiv 2\),\(\hspace{5px}1+6\equiv 0\),\(\hspace{5px}6+6\equiv 5\) \(p^3+q^3\) をで割った余りは \(0+1\equiv 1\),\(\hspace{5px}0+6\equiv 6\) だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ③ ← ==5の倍数について== \(x,y,p,q\) のうちで5の倍数が3個のとき ● \(x,y\) のうちで5の倍数が2個, \(p,q\) のうちで5の倍数が1個のとき \(x^3+y^3\) を5で割った余りは \(0+0\equiv 0\) \(p^3+q^3\) を5で割った余りは \(0+1\equiv 1\),\(\hspace{5px}0+2\equiv 2\),\(\hspace{5px}0+3\equiv 3\),\(\hspace{5px}0+4\equiv 4\) だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで5の倍数が1個, \(p,q\) のうちで5の倍数が2個のとき 上記の左辺と右辺の立場を入れ替えると分かるから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ==6の倍数について== \(x,y,p,q\) のうちで6の倍数が3個のとき ● \(x,y\) のうちで6の倍数が2個, \(p,q\) のうちで6の倍数が1個のとき \(x^3+y^3\) を6で割った余りは \(0+0\equiv 0\) \(p^3+q^3\) を6で割った余りは \(0+1\equiv 1\),\(\hspace{5px}0+2\equiv 2\),\(\hspace{5px}0+3\equiv 3\),\(\hspace{5px}0+4\equiv 4\) だから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで6の倍数が1個, \(p,q\) のうちで6の倍数が2個のとき 上記の左辺と右辺の立場を入れ替えると分かるから，\(x^3+y^3=p^3+q^3\) は成り立たない． |
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DEQ[3,3,1] \(x^3+y^3+z^3=p^3\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\lt p\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 3^3+4^3+5^3=6^3=216\), 2:2, 3:2, 5:1, 6:1, 7:0
2番:\( 1^3+6^3+8^3=9^3=729\), 2:2, 3:2, 5:0, 6:1, 7:0 3番:\( 3^3+10^3+18^3=19^3=6859\), 2:2, 3:2, 5:1, 6:1, 7:0 4番:\( 7^3+14^3+17^3=20^3=8000\), 2:2, 3:0, 5:1, 6:0, 7:2 5番:\( 4^3+17^3+22^3=25^3=15625\), 2:2, 3:0, 5:1, 6:0, 7:0 6番:\( 18^3+19^3+21^3=28^3=21952\), 2:2, 3:2, 5:0, 6:1, 7:2 7番:\( 11^3+15^3+27^3=29^3=24389\), 2:0, 3:2, 5:1, 6:0, 7:0 8番:\( 2^3+17^3+40^3=41^3=68921\), 2:2, 3:0, 5:1, 6:0, 7:0 9番:\( 6^3+32^3+33^3=41^3=68921\), 2:2, 3:2, 5:0, 6:1, 7:0 10番:\( 16^3+23^3+41^3=44^3=85184\), 2:2, 3:0, 5:0, 6:0, 7:0 14番:\( 12^3+19^3+53^3=54^3=157464\), 2:2, 3:2, 5:0, 6:2, 7:0 26番:\( 50^3+61^3+64^3=85^3=614125\), 2:2, 3:0, 5:2, 6:0, 7:0 ［興味ある話題］
★ \(x^3+y^3+z^3=p^3\) における \(x,y,z,p\) の値として，6の倍数が多く登場する．（下の表の赤下線部）
さらに，次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^3+y^3+z^3=p^3\)の正の整数解\(x,y,z,p\)について（\(1\leqq x\leqq y\leqq z\lt p\)）
（証明）① \(x+y+z\)を6で割った余りは，\(p\)を6で割った余りと等しい． ② \(x,y,z,p\)のうちで2,3,7の倍数は各々奇数個にならない． ③ \(x,y,z,p\)のうちで5,6の倍数は各々3個にならない．
そこで， \(x^3+y^3+z^3\) と \(x+y+z\) は6で割った余りが等しい． 仮定により， \(x^3+y^3+z^3=p^3\) だから， \(p^3\) と \(x+y+z\) は6で割った余りが等しい． (*)により， \(p\) と \(x+y+z\) は6で割った余りが等しい．∎ ② ==2の倍数について== 1) \(x,y,z,p\) のうちで2の倍数が1個のとき ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が1個, \(p\) が2の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を2で割った余りは \(0+1+1\equiv 0\) \(p^3\) を2で割った余りは \(1\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が0個, \(p\) が2の倍数のとき \(x^3+y^3+z^3\) を2で割った余りは \(1+1+1\equiv 1\) \(p^3\) を2で割った余りは \(0\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． 2) \(x,y,z,p\) のうちで2の倍数が3個のとき ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が3個, \(p\) が2の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を2で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) \(p^3\) を2で割った余りは \(1\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで2の倍数が2個, \(p\) が2の倍数であるとき \(x^3+y^3+z^3\) を2で割った余りは \(0+0+1\equiv 1\) \(p^3\) を2で割った余りは \(0\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． （2の倍数が0個の具体例は上の表の7番目，2個の例は1番目にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」ものを解としているから，2の倍数が4個の例はない．） |
==3の倍数について== 1) \(x,y,z,p\) のうちで3の倍数が1個のとき ● \(x,y,z\) のうちで3の倍数が1個, \(p\) が3の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を3で割った余りは \(0+1+1\equiv \color{red}{2}\),\(\hspace{2px}0+1+2\equiv 0\),\(\hspace{2px}0+2+2\equiv \color{blue}{1}\) \(p^3\) を2で割った余りは \(\color{blue}{1}\),\(\hspace{2px} \color{red}{2}\) 各辺の余りが\(\color{red}{2}\)または\(\color{blue}{1}\)となる組合わせについては，等しくなる可能性があるので，さらに詳しく，9で割った余りで調べる． 〇 \(0+1+1\equiv \color{red}{2}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(0+1+1\equiv 2\hspace{2px}(\mod 9)\) \(\color{red}{2}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(8\hspace{2px}(\mod 9)\) これらの組は，9で割った余りが等しくないから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． 〇 \(0+2+2\equiv \color{blue}{1}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(0+8+8\equiv 7\hspace{2px}(\mod 9)\) \(\color{blue}{1}\hspace{2px}(\mod 3)\)のとき，\(1\hspace{2px}(\mod 9)\) これらの組は，9で割った余りが等しくないから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． 2) \(x,y,z,p\) のうちで3の倍数が3個のとき ● \(x,y,z\) のうちで3の倍数が3個, \(p\) が3の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を3で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) \(p^3\) を3で割った余りは \(1\),\(\hspace{2px} 2\) これらの組は，3で割った余りが等しくないから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで3の倍数が2個, \(p\) が3の倍数であるとき \(x^3+y^3+z^3\) を3で割った余りは \(0+0+1\equiv 1\),\(\hspace{2px}0+0+2\equiv 2\) \(p^3\) を3で割った余りは \(0\) これらの組は，3で割った余りが等しくないから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． （3の倍数が0個の具体例は上の表の8番目，2個の例は1番目にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」ものを解としているから，3の倍数が4個の例はない．） ==7の倍数について== 1) \(x,y,z,p\) のうちで7の倍数が1個のとき ● \(x,y,z\) のうちで7の倍数が1個, \(p\) が7の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を7で割った余りは \(0+1+1\equiv 2\),\(\hspace{2px}0+1+6\equiv 0\),\(\hspace{2px}0+6+6\equiv 5\) \(p^3\) を7で割った余りは \(1\),\(\hspace{2px}6\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで7の倍数が0個, \(p\) が7の倍数であるとき \(x^3+y^3+z^3\) を7で割った余りは\(1+1+1\equiv 3\),\(\hspace{2px}1+1+6\equiv 1\),\(\hspace{2px}1+6+6\equiv 6\),\(\hspace{2px}6+6+6\equiv 4\) \(p^3\) を7で割った余りは \(0\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． 2) \(x,y,z,p\) のうちで7の倍数が3個のとき ● \(x,y,z\) のうちで7の倍数が3個, \(p\) が7の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を7で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) \(p^3\) を7で割った余りは \(1\),\(\hspace{2px}6\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで7の倍数が2個, \(p\) が7の倍数であるとき \(x^3+y^3+z^3\) を7で割った余りは \(0+0+1\equiv 1\),\(\hspace{2px}0+0+6\equiv 6\) \(p^3\) を7で割った余りは \(0\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． （7の倍数が0個の具体例は上の表の1番目，2個の例は4番目にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」ものを解としているから，7の倍数が4個の例はない．） ③ ==5の倍数について== 1) \(x,y,z,p\) のうちで5の倍数が3個のとき ● \(x,y,z\) のうちで5の倍数が3個, \(p\) が5の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を5で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) \(p^3\) を5で割った余りは \(1\),\(\hspace{2px}2\),\(\hspace{2px}3\),\(\hspace{2px}4\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで5の倍数が2個, \(p\) が5の倍数であるとき \(x^3+y^3+z^3\) を5で割った余りは \(0+0+1\equiv 1\)～\(0+0+4\equiv 4\) \(p^3\) を5で割った余りは \(0\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． （5の倍数が0個の具体例は上の表の2番目，1個の例は1番目，2個の例は26番目にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」ものを解としているから，5の倍数が4個の例はない．） ==6の倍数について== 1) \(x,y,z,p\) のうちで6の倍数が3個のとき ● \(x,y,z\) のうちで6の倍数が3個, \(p\) が6の倍数でないとき \(x^3+y^3+z^3\) を6で割った余りは \(0+0+0\equiv 0\) \(p^3\) を6で割った余りは \(1\),\(\hspace{2px}2\),\(\hspace{2px}3\),\(\hspace{2px}4\),\(\hspace{2px}5\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． ● \(x,y,z\) のうちで6の倍数が2個, \(p\) が6の倍数であるとき \(x^3+y^3+z^3\) を6で割った余りは \(0+0+1\equiv 1\)～\(0+0+5\equiv 5\) \(p^3\) を6で割った余りは \(0\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3\) は成り立たない． （6の倍数が0個の具体例は上の表の1番目，2個の例は4番目にある．「全部に共通な公約数は1以外にない」ものを解としているから，6の倍数が4個の例はない．） |
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DEQ[3,3,2] \(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z, 1\leqq p\leqq q\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 1^3+5^3+9^3=7^3+8^3=855\), 2:1個, 3:1個, 5:1個, 6:0個, 7:1個
［興味ある話題］2番:\( 4^3+10^3+15^3=7^3+16^3=4439\), 2:3個, 3:1個, 5:2個, 6:0個, 7:1個 3番:\( 1^3+3^3+17^3=13^3+14^3=4941\), 2:1個, 3:1個, 5:0個, 6:0個, 7:1個 4番:\( 11^3+12^3+13^3=7^3+17^3=5256\), 2:1個, 3:1個, 5:0個, 6:1個, 7:1個 5番:\( 5^3+14^3+15^3=11^3+17^3=6244\), 2:1個, 3:1個, 5:2個, 6:0個, 7:1個 6番:\( 3^3+14^3+16^3=2^3+19^3=6867\), 2:3個, 3:1個, 5:0個, 6:0個, 7:1個 7番:\( 7^3+12^3+17^3=5^3+19^3=6984\), 2:1個, 3:1個, 5:1個, 6:1個, 7:1個 8番:\( 3^3+15^3+19^3=10^3+21^3=10261\), 2:1個, 3:3個, 5:2個, 6:0個, 7:1個 31番:\( 18^3+26^3+27^3=6^3+35^3=43091\), 2:3個, 3:3個, 5:1個, 6:2個, 7:1個 187番:\( 23^3+49^3+63^3=28^3+71^3=379863\), 2:1個, 3:1個, 5:0個, 6:0個, 7:3個 342番:\( 42^3+48^3+89^3=17^3+96^3=889649\), 2:3個, 3:3個, 5:0個, 6:3個, 7:1個 803番:\( 40^3+65^3+134^3=9^3+140^3=2744729\), 2:3個, 3:1個, 5:3個, 6:0個, 7:1個
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
① \(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)の正の整数解\(x,y,z,p,q\)について，\(x+y+z\)を6で割った余りは，\(p+q\)を6で割った余りと等しい．
（証明）② 2,7の倍数は，各々偶数個にならない． ③ 5の倍数は，0個,1個,2個になる． ④ 6の倍数は4個にはならない． ⑤ 3の倍数は，偶数個にならない．
②③④⑤も前問と同様，剰余類に分けていけば示せる．（各自試してください）． ただし，⑤の3の倍数が0個，2個にならない事の証明は，9の剰余を調べる必要があるので，以下に書いてみた． ==3倍数について== 1) \(x,y,z,p,q\) のうちで3の倍数が0個のとき ア） 左辺の\(x^3+y^3+z^3\)を3で割った余りのうちで\(1+1+1\equiv 0\)，右辺の\(p^3+q^3\)を3で割った余りのうちで\(1+2\equiv 0\)の組は等しくなる可能性があるので，9で割った余りで詳しく調べる． \(1+1+1\equiv 0\hspace{2px}(\mod 3)\)は，\(1+1+1\equiv 3\hspace{2px}(\mod 9)\) \(1+2\equiv 0\hspace{2px}(\mod 3)\)，\(1+8\equiv 0\hspace{2px}(\mod 9)\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)は成り立たない. イ） 左辺の\(x^3+y^3+z^3\)を3で割った余りのうちで\(2+2+2\equiv 0\)，右辺の\(p^3+q^3\)を3で割った余りのうちで\(1+2\equiv 0\)の組は等しくなる可能性があるので，9で割った余りで詳しく調べる． \(2+2+2\equiv 0\hspace{2px}(\mod 3)\)は，\(8+8+8\equiv 6\hspace{2px}(\mod 9)\) \(1+2\equiv 0\hspace{2px}(\mod 3)\)，\(1+8\equiv 0\hspace{2px}(\mod 9)\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)は成り立たない. |
ウ） 左辺の\(x^3+y^3+z^3\)を3で割った余りのうちで\(1+1+2\equiv 1\)，右辺の\(p^3+q^3\)を3で割った余りのうちで\(2+2\equiv 1\)の組は等しくなる可能性があるので，9で割った余りで詳しく調べる． \(1+1+2\equiv 1\hspace{2px}(\mod 3)\)は，\(1+1+8\equiv 1\hspace{2px}(\mod 9)\) \(2+2\equiv 1\hspace{2px}(\mod 3)\)，\(8+8\equiv 7\hspace{2px}(\mod 9)\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)は成り立たない. エ） 左辺の\(x^3+y^3+z^3\)を3で割った余りのうちで\(1+2+2\equiv 2\)，右辺の\(p^3+q^3\)を3で割った余りのうちで\(1+1\equiv 2\)の組は等しくなる可能性があるので，9で割った余りで詳しく調べる． \(1+2+2\equiv 2\hspace{2px}(\mod 3)\)は，\(1+8+8\equiv 8\hspace{2px}(\mod 9)\) \(1+1\equiv 2\hspace{2px}(\mod 3)\)，\(1+1\equiv 2\hspace{2px}(\mod 9)\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)は成り立たない. 2) \(x,y,z,p,q\) のうちで3の倍数が2個のとき ア） 左辺の\(x^3+y^3+z^3\)を3で割った余りのうちで\(0+0+1\equiv 1\)，右辺の\(p^3+q^3\)を3で割った余りのうちで\(2+2\equiv 1\)の組は等しくなる可能性があるので，9で割った余りで詳しく調べる． \(0+0+1\equiv 1\hspace{2px}(\mod 3)\)は，\(0+0+1\equiv 1\hspace{2px}(\mod 9)\) \(2+2\equiv 1\hspace{2px}(\mod 3)\)，\(8+8\equiv 7\hspace{2px}(\mod 9)\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)は成り立たない. イ） 左辺の\(x^3+y^3+z^3\)を3で割った余りのうちで\(0+0+2\equiv 2\)，右辺の\(p^3+q^3\)を3で割った余りのうちで\(1+1\equiv 2\)の組は等しくなる可能性があるので，9で割った余りで詳しく調べる． \(0+0+2\equiv 2\hspace{2px}(\mod 3)\)は，\(0+0+8\equiv 8\hspace{2px}(\mod 9)\) \(1+1\equiv 2\hspace{2px}(\mod 3)\)，\(1+1\equiv 2\hspace{2px}(\mod 9)\) だから，\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3\)は成り立たない.
それぞれの数で割ったときの余りが実際に存在する方の例は，上記の番号付きの表で確かめられる．
DEQ[3,3,3]\(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3+r^3\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z, x\lt p\leqq q\leqq r\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 1^3+5^3+5^3 = 2^3+3^3+6^3 = 251\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 2個, 6: 1個, 7: 0個
［興味ある話題］2番:\( 1^3+2^3+10^3 = 4^3+6^3+9^3 = 1009\), 2: 4個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 3番:\( 2^3+3^3+11^3 = 5^3+8^3+9^3 = 1366\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 0個, 7: 0個 4番:\( 1^3+5^3+11^3 = 6^3+8^3+9^3 = 1457\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 5番:\( 1^3+9^3+9^3 = 4^3+4^3+11^3 = 1459\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 0個, 6: 0個, 7: 0個 6番:\( 2^3+8^3+10^3 = 4^3+5^3+11^3 = 1520\), 2: 4個, 3: 0個, 5: 2個, 6: 0個, 7: 0個 7番:\( 1^3+2^3+12^3 = 2^3+9^3+10^3 = 1737\), 2: 4個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 8番:\( 1^3+3^3+12^3 = 3^3+9^3+10^3 = 1756\), 2: 2個, 3: 4個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 9番:\( 2^3+3^3+12^3 = 6^3+6^3+11^3 = 1763\), 2: 4個, 3: 4個, 5: 0個, 6: 3個, 7: 0個 10番:\( 1^3+4^3+12^3 = 4^3+9^3+10^3 = 1793\), 2: 4個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 11番:\( 1^3+5^3+12^3 = 5^3+9^3+10^3 = 1854\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 3個, 6: 1個, 7: 0個 15番:\( 1^3+6^3+13^3 = 7^3+7^3+12^3 = 2414\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 0個, 6: 2個, 7: 2個 22番:\( 1^3\!+\!12^3\!+\!12^3 = 9^3\!+\!10^3\!+\!12^3 = 3457\), 2: 4個, 3: 4個, 5: 1個, 6: 3個, 7: 0個 77番:\( 3^3\!+\!15^3\!+\!17^3 = 5^3\!+\!11^3\!+\!19^3 = 8315\),2: 0個, 3: 2個, 5: 2個, 6: 0個, 7: 0個 ?*番:\(1^3+5^3+60^3=1^3+45^3+50^3\), 5: 4個 ?#番:\(1^3+6^3+72^3=1^3+54^3+60^3\), 6: 4個 ?&番:\(1^3+7^3+84^3=1^3+63^3+70^3\), 7: 4個
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
① \(x^3+y^3+z^3=p^3+q^3+r^3\)の正の整数解\(x,y,z,p,q,r\)について，\(x+y+z\)を6で割った余りは，\(p+q+r\)を6で割った余りと等しい．
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す② 2,3,7の倍数は，各々奇数個にならない． ③ 5,6の倍数は，各々5個にならない．
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DEQ[3,4,1] \(x^3+y^3+z^3+w^3=p^3\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\lt p\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 1^3+1^3+5^3+6^3=7^3=343\), 2:1個, 3:1個, 5:1個, 6:1個, 7:1個
2番:\( 3^3+3^3+7^3+11^3=12^3=1728\), 2:1個, 3:3個, 5:0個, 6:1個, 7:1個 3番:\( 1^3+5^3+7^3+12^3=13^3=2197\), 2:1個, 3:1個, 5:1個, 6:1個, 7:1個 4番:\( 5^3+7^3+9^3+10^3=13^3=2197\), 2:1個, 3:1個, 5:2個, 6:0個, 7:1個 5番:\( 2^3+3^3+8^3+13^3=14^3=2744\), 2:3個, 3:1個, 5:0個, 6:0個, 7:1個 6番:\( 1^3+7^3+14^3+14^3=18^3=5832\), 2:3個, 3:1個, 5:0個, 6:1個, 7:3個 7番:\( 4^3+7^3+8^3+17^3=18^3=5832\), 2:3個, 3:1個, 5:0個, 6:1個, 7:1個 8番:\( 11^3+12^3+13^3+14^3=20^3=8000\), 2:3個, 3:1個, 5:1個, 6:1個, 7:1個 9番:\( 6^3+14^3+15^3+18^3=23^3=12167\), 2:3個, 3:3個, 5:1個, 6:2個, 7:1個 49番:\( 23^3+24^3+24^3+49^3=54^3=157464\), 2:3個, 3:3個, 5:0個, 6:3個, 7:1個 67番:\( 3^3+28^3+35^3+57^3=63^3=250047\), 2:1個, 3:3個, 5:1個, 6:0個, 7:3個 138番:\( 20^3+25^3+62^3+63^3=80^3=512000\), 2:3個, 3:1個, 5:3個, 6:0個, 7:1個 |
［興味ある話題］
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
① \(x^3+y^3+z^3+w^3=p^3\)の正の整数解\(x,y,z,w,p\)について，\(x+y+z+w\)を6で割った余りは，\(p\)を6で割った余りと等しい．
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す② 2,3,7の倍数は，各々偶数個にならない． ③ 5,6の倍数は，各々4個にならない．
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DEQ[3,4,2] \(x^3+y^3+z^3+w^3=p^3+q^3\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w, 1\leqq p\leqq q\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 2^3+3^3+3^3+4^3 = 1^3+5^3 = 126\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 0個, 7: 0個
?*番はDEQ[3,3,1]の解\( 3^3+4^3+5^3= 6^3\)の各項を\(5^3\)倍して両辺に\(1^3\)を足したもの．2番:\( 1^3+1^3+1^3+5^3 = 4^3+4^3 = 128\), 2: 2個, 3: 0個, 5: 1個, 6: 0個, 7: 0個 3番:\( 1^3+3^3+4^3+5^3 = 1^3+6^3 = 217\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 4番:\( 2^3+3^3+4^3+5^3 = 2^3+6^3 = 224\), 2: 4個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 5番:\( 3^3+3^3+4^3+5^3 = 3^3+6^3 = 243\), 2: 2個, 3: 4個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 0個 9番:\( 3^3+4^3+5^3+7^3 = 6^3+7^3 = 559\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 2個 11番:\( 1^3+1^3+6^3+8^3 = 1^3+9^3 = 730\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 0個, 6: 1個, 7: 0個 15番:\( 1^3+5^3+6^3+8^3 = 5^3+9^3 = 854\), 2: 2個, 3: 2個, 5: 2個, 6: 1個, 7: 0個 20番:\( 3^3+4^3+5^3+10^3 = 6^3+10^3 = 1216\), 2: 4個, 3: 2個, 5: 3個, 6: 1個, 7: 0個 23番:\( 1^3+1^3+5^3+11^3 = 9^3+9^3 = 1458\), 2: 0個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 0個, 7: 0個 27番:\( 1^3+6^3+8^3+10^3 = 1^3+12^3 = 1729\), 2: 4個, 3: 2個, 5: 1個, 6: 2個, 7: 0個 141番:\( 7^3\!+\!7^3\!+\!14^3\!+\!17^3 = 7^3\!+\!20^3 = 8343\),2: 2個, 3: 0個, 5: 1個, 6: 0個, 7: 4個 ?*番:\( 1^3+15^3+20^3+25^3=1^3+30^3=27001\),-- 5: 4個, -- ?#番:\( 1^3+18^3+24^3+30^3=1^3+36^3= 46657\), --6: 4個,-- ?#番はDEQ[3,3,1]の解\( 3^3+4^3+5^3= 6^3\)の各項を\(6^3\)倍して両辺に\(1^3\)を足したもの． |
［興味ある話題］
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^3+y^3+z^3+w^3=p^3+q^3\)の正の整数解\(x,y,z,w,p,q\)について① \(x+y+z+w\)を6で割った余りは，\(p+q\)を6で割った余りと等しい． ② 2,3,7の倍数は，各々奇数個にならない． ③ 5,6の倍数は，各々5個にならない．
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DEQ[3,4,3] \(x^3+y^3+z^3+w^3=p^3+q^3+r^3\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 1^3+2^3+2^3+4^3 = 3^3+3^3+3^3 = 81\), 2: 3個, 3: 3個, 5: 0個, 6: 0個, 7: 0個
2番:\( 1^3+4^3+4^3+6^3 = 1^3+1^3+7^3 = 345\), 2: 3個, 3: 1個, 5: 0個, 6: 1個, 7: 1個 3番:\( 3^3+4^3+4^3+6^3 = 1^3+3^3+7^3 = 371\), 2: 3個, 3: 3個, 5: 0個, 6: 1個, 7: 1個 4番:\( 4^3+4^3+5^3+5^3 = 2^3+3^3+7^3 = 378\), 2: 3個, 3: 1個, 5: 2個, 6: 0個, 7: 1個 5番:\( 2^3+3^3+3^3+7^3 = 4^3+5^3+6^3 = 405\), 2: 3個, 3: 3個, 5: 1個, 6: 1個, 7: 1個 6番:\( 1^3+1^3+6^3+6^3 = 3^3+4^3+7^3 = 434\), 2: 3個, 3: 3個, 5: 0個, 6: 2個, 7: 1個 11番:\( 3^3+5^3+6^3+6^3\!=\!2^3+4^3+8^3\!=\!584\), 2: 5個, 3: 3個, 5: 1個, 6: 2個, 7: 0個 12番:\( 3^3+3^3+3^3+8^3\!=\!5^3+5^3+7^3\!=\!593\), 2: 1個, 3: 3個, 5: 2個, 6: 0個, 7: 1個 14番:\( 2^3+6^3+6^3+7^3\!=\!3^3+3^3+9^3\!=\!783\), 2: 3個, 3: 5個, 5: 0個, 6: 2個, 7: 1個 21番:\( 1^3+5^3+5^3+9^3\!=\!5^3+7^3+8^3\!=\!980\), 2: 1個, 3: 1個, 5: 3個, 6: 0個, 7: 1個 156番:\( 6^3\!+\!7^3\!+\!11^3\!+\!12^3\!=\!3^3\!+\!6^3\!+\!15^3\!=\!3618\),2:3個,3:5個,5:1個,6:3個,7:1個 171番:\(2^3\!+\!7^3\!+\!12^3\!+\!12^3\!=\!6^3\!+\!6^3\!+\!15^3\!=\!3807\),2:5個,3:5個,5:1個,6:4個,7:1個 ?*番:\( 1^3+5^3+25^3+45^3=1^3+35^3+41^3=106876\), -- 5:5個 -- ?#番:\( 1^3+6^3+30^3+54^3=1^3+42^3+48^3=184681\), -- 6:5個 -- ?&番:\( 1^3+7^3+35^3+63^3=1^3+49^3+56^3=293266\), -- 7:5個 -- |
［興味ある話題］
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^3+y^3+z^3+w^3=p^3+q^3+r^3\)の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）の解\(x,y,z,w,p,q,r\)について① \(x,y,z,w\)を6で割った余りは，\(p,q,r\)を6で割った余りに等しい． ② \(x,y,z,w,p,q,r\)のうちで，2,3の倍数は各々偶数個にならない． ③ \(x,y,z,w,p,q,r\)のうちで，5の倍数は4,6個にならない． ④ \(x,y,z,w,p,q,r\)のうちで，6の倍数は6個にならない． ⑥ \(x,y,z,w,p,q,r\)のうちで，7の倍数は2,4,6個にならない．
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DEQ[4,2,1] \(x^4+y^4=p^4\) の正の整数解 ⇒フェルマーの最終定理により，解は存在しない DEQ[4,2,2] \(x^4+y^4=p^4+q^4\) の正の整数解（ただし，\(1\leqq x\leqq y, x\lt p\leqq q\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和が小さいものから順に（2:などは2の倍数などの略）
1番:\( 59^4+158^4 = 133^4+134^4 = 635318657\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個
［興味ある話題］2番:\( 7^4+239^4 = 157^4+227^4 = 3262811042\), 2の倍数: 0個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 3番:\( 193^4+292^4 = 256^4+257^4 = 8657437697\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 4番:\( 271^4+502^4 = 298^4+497^4 = 68899596497\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 5番:\( 103^4+542^4 = 359^4+514^4 = 86409838577\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 6番:\( 222^4+631^4 = 503^4+558^4 = 160961094577\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個, 5の倍数: 0個 7番:\( 76^4+1203^4 = 653^4+1176^4 = 2094447251857\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個, 5の倍数: 0個 8番:\( 878^4+1381^4 = 997^4+1342^4 = 4231525221377\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 9番:\( 1324^4+2189^4 = 1784^4+1997^4 = 26033514998417\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 10番:\( 1042^4+2461^4 = 2026^4+2141^4 = 37860330087137\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 11番:\( 248^4+2797^4 = 2131^4+2524^4 = 61206381799697\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 0個 12番:\( 1034^4+2949^4 = 1797^4+2854^4 = 76773963505537\), 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個, 5の倍数: 0個 13番:\( 1577^4+3190^4 = 2345^4+2986^4 = 109737827061041\),2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個, 5の倍数: 2個
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^4+y^4=p^4+q^4\)の正の整数解\(x,y,p,q\)について（ただし，\(1\leqq x\leqq y, x\lt p\leqq q\)の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）\(x,y,p,q\) のうちで2,3,5の倍数が各々奇数個となることはない．
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==2の倍数について== 1) \(x,y,p,q\) のうちで2の倍数が1個のとき ● \(x,y\) のうちで2の倍数が1個，\(p,q\) のうちで2の倍数が0個のとき 左辺\(x^4+y^4\)を2で割った余りは\(0+1\equiv 1\) 右辺\(p^4+q^4\)を2で割った余りは\(1+1\equiv 0\) だから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで2の倍数が0個，\(p,q\) のうちで2の倍数が1個のときも，左辺と右辺の立場を入れ替えると分かるから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． 2) \(x,y,p,q\) のうちで2の倍数が3個のとき ● \(x,y\) のうちで2の倍数が2個，\(p,q\) のうちで2の倍数が1個のとき 左辺\(x^4+y^4\)を2で割った余りは\(0+0\equiv 0\) 右辺\(p^4+q^4\)を2で割った余りは\(0+1\equiv 1\) だから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで2の倍数が1個，\(p,q\) のうちで2の倍数が2個のときも，左辺と右辺の立場を入れ替えると分かるから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． ==3の倍数について== 1) \(x,y,p,q\) のうちで3の倍数が1個のとき ● \(x,y\) のうちで3の倍数が1個，\(p,q\) のうちで3の倍数が0個のとき 左辺\(x^4+y^4\)を3で割った余りは\(0+1\equiv 1\) 右辺\(p^4+q^4\)を3で割った余りは\(1+1\equiv 2\) だから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで3の倍数が0個，\(p,q\) のうちで3の倍数が1個のときも，左辺と右辺の立場を入れ替えると分かるから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． 2) \(x,y,p,q\) のうちで3の倍数が3個のとき ● \(x,y\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺\(x^4+y^4\)を3で割った余りは\(0+0\equiv 0\) 右辺\(p^4+q^4\)を3で割った余りは\(0+1\equiv 1\) だから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． ● \(x,y\) のうちで3の倍数が1個，\(p,q\) のうちで3の倍数が2個のときも，左辺と右辺の立場を入れ替えると分かるから，\(x^4+y^4=p^4+q^4\)は成り立たない． ==5の倍数について== 3の倍数のときと同様にして示される．
問題の仮定により，\(x,y,p,q\)の全部に共通な公約数は1以外にない場合だけを扱っているから，2,3,5の倍数が各々4個となる場合は考えない．
2,3,5の倍数が各々0個,2個となる例は，上記の13番までに全て登場する． |
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DEQ[4,3,1] \(x^4+y^4+z^4=p^4\) の正の整数解 ※ wolfram mathworldやWikipediaにいくつか紹介されているが，最小解でも5桁の整数になるのでブルートフォース（力まかせの総当たり）で調べると，相当な時間を要する．
\(95800^4+217519^4+414560^4=422481^4\)
DEQ[4,3,2]\(2682440^4+15365639^4+18796760^4=206156734^4\) \(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4\) の正の整数解 （ただし，\(x,y,z,p,q\) が互いに素なもの） 各辺の和が小さい順に
1番:\( 3^4+26^4+35^4=17^4+37^4=1957682\), 2:1個, 3:1個, 5:1個
2番:\( 1^4+25^4+42^4=17^4+43^4=3502322\), 2:1個, 3:1個, 5:1個 3番:\( 25^4+26^4+42^4=37^4+38^4=3959297\), 2:3個, 3:1個, 5:1個 4番:\( 5^4+42^4+78^4=51^4+76^4=40127377\), 2:3個, 3:3個, 5:1個 5番:\( 25^4+60^4+76^4=35^4+82^4=46712801\), 2:3個, 3:1個, 5:3個 6番:\( 39^4+60^4+79^4=51^4+83^4=54223522\), 2:1個, 3:3個, 5:1個 7番:\( 4^4+57^4+85^4=11^4+89^4=62756882\), 2:1個, 3:1個, 5:1個 8番:\( 21^4+80^4+83^4=17^4+97^4=88612802\), 2:1個, 3:1個, 5:1個 9番:\( 6^4+52^4+95^4=22^4+97^4=88763537\), 2:3個, 3:1個, 5:1個 10番:\( 45^4+64^4+91^4=31^4+97^4=89452802\), 2:1個, 3:1個, 5:1個 |
［興味ある話題］
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4\)の正の整数解\(x,y,z,p,q\)について（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z,1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）① \(x,y,z,p,q\) のうちで2,3,5の倍数は，各々偶数個にならない． ② 左辺（右辺）の和を5で割った余りは，1または2になる．
証明は，前問までと同様にして示せる．①の3の倍数，2個のときに成り立たないことの証明は，9の剰余によって示すとよい． |
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DEQ[4,3,3] \(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする） 各辺の和がが小さい順に
1番:\( 1^4+2^4+9^4=3^4+7^4+8^4=6578\), 2:2個, 3:2個,5:0個
［興味ある話題］2番:\( 1^4+9^4+10^4=5^4+6^4+11^4=16562\), 2:2個, 3:2個,5:2個 3番:\( 1^4+11^4+12^4=4^4+9^4+13^4=35378\), 2:2個, 3:2個,5:0個 4番:\( 4^4+8^4+15^4=9^4+10^4+14^4=54977\), 2:4個, 3:2個,5:2個 5番:\( 3^4+13^4+16^4=8^4+9^4+17^4=94178\), 2:2個, 3:2個,5:0個 6番:\( 3^4+14^4+17^4=7^4+11^4+18^4=122018\), 2:2個, 3:2個,5:0個 7番:\( 2^4+15^4+17^4=5^4+13^4+18^4=134162\), 2:2個, 3:2個,5:2個 8番:\( 8^4+13^4+18^4=9^4+16^4+16^4=137633\), 2:4個, 3:2個,5:0個 9番:\( 1^4+16^4+17^4=8^4+11^4+19^4=149058\), 2:2個, 3:0個,5:0個 137番:\( 9^4+36^4+38^4=12^4+24^4+43^4=3771313\), 2:4個, 3:4個,5:0個 168番:\( 3^4+11^4+47^4=21^4+37^4+41^4=4894403\), 2:0個, 3:2個,5:0個 381番:\( 18^4+25^4+63^4=39^4+45^4+56^4=16248562\), 2:2個, 3:4個,5:2個 760番:\( 15^4+40^4+82^4=35^4+60^4+76^4=47822801\), 2:4個, 3:2個,5:4個
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) の正の整数解\(x,y,z,p,q,r\)について（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な公約数は1以外にないものとする）① \(x,y,z,p,q,r\) のうちで2,3,5の倍数は，各々偶数個である（6個にはならない）． ② 左辺（右辺）の和を5で割った余りは，1,2または3になる．
1) \(x,y,z,p,q,r\) のうちで5の倍数が1個であるとき 左辺の\(x,y,z\) のうちの1個が5の倍数であるとき，\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+1+1≡2．右辺の \(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3．この場合，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) は成り立たない． 右辺の\(p,q,r\) のうちの1個が5の倍数であるとき，\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3．右辺の \(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+1+1≡2．この場合，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) は成り立たない． |
2) \(x,y,z,p,q,r\) のうちで5の倍数が3個であるとき 左辺の\(x,y,z\) が3個とも5の倍数で，右辺の\(p,q,r\) が3個とも5の倍数でないとき，\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+0+0≡0．右辺の \(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3．この場合，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) は成り立たない． 左辺の\(x,y,z\) のうち2個だけが5の倍数で，右辺の\(p,q,r\) のうち1個だけが5の倍数であるとき，\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+0+1≡1．右辺の \(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+1+1≡2．この場合，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) は成り立たない． 左辺の\(x,y,z\) のうち1個だけが5の倍数で，右辺の\(p,q,r\) のうち2個だけが5の倍数であるとき，\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+1+1≡2．右辺の \(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+0+1≡1．この場合，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) は成り立たない． 左辺の\(x,y,z\) が3個とも5の倍数でなく，右辺の\(p,q,r\) が3個とも5の倍数であるとき，\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3．右辺の \(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+0+0≡0．この場合，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) は成り立たない． 以上により，\(x,y,z,p,q,r\) のうちで5の倍数は，1個，3個，6個の場合がないから，0個，2個または4個，すなわち偶数個になる．（必要条件） 実際に0個となる例は1番，2個となる例は3番，4個となる例は148番にある．（コンピュータがないと，これを示すのは難しい） --- ② ①の結果から，\(x,y,z,p,q,r\) のうちで5の倍数は，0個，2個または4個であるから 1) 5の倍数が0個のとき，左辺の和\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3 （右辺で考えても同じ） 2) 5の倍数が2個のとき， 左辺の2個が5の倍数のとき，左辺の和\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+0+1≡1．右辺の和\(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3．このような場合は解に含まれていない． 左辺の1個が5の倍数のとき，左辺の和\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+1+1≡2．右辺の和\(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+1+1≡2． 左辺の0個が5の倍数のとき，左辺の和\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，1+1+1≡3．右辺の和\(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+0+1≡1．このような場合は解に含まれていない． 3) 5の倍数が4個のとき， 2)の場合と同様に調べると，\(x^4+y^4+z^4=p^4+q^4+r^4\) の解となりうるのは，左辺の2個が5の倍数で右辺の2個が5の倍数のときに限られる．このとき，左辺の和\(x^4+y^4+z^4\) を5で割った余りは，0+0+1≡1．右辺の和\(p^4+q^4+r^4\) を5で割った余りは，0+0+1≡1． 以上により，左辺（右辺）の和を5で割った余りは，1,2または3になる．∥∎ |
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DEQ[4,4,1] \(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) の正の整数解 総当たりで計算しても，最小解でも3桁なので，計算量が多くなり時間がかかる．コンピュータのパワーにもよるが，10分程度では解に達しない． wolfram mathworldに紹介されている解で，小さいものから5個示すと
\(30^4+120^4+272^4+315^4=353^4\)
［興味ある話題］\(240^4+340^4+430^4+599^4=651^4\) \(435^4+710^4+1384^4+2420^4=2484^4\) \(1130^4+1190^4+1432^4+2365^4=2501^4\) \(850^4+1010^4+1546^4+2745^4=2829^4\)
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) の正の整数解\(x,y,z,w,p\)について（ただし, \(x,y,z,w,p\) は互いに素=全部に共通な約数は1以外にない=とする）① \(x,y,z,w,p\) のうちで5の倍数は3個であり，3個とも左辺にある． ② 左辺の和（右辺の値）を5で割った余りは1になる．
（証明）
1) \(x,y,z,w,p\) のうちで5の倍数が0個のとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，1+1+1+1≡4．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，1．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． 2) \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が1個で，\(p\) は5の倍数でないとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+1+1+1≡3．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，0．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が0個で，\(p\) が5の倍数であるとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，1+1+1+1≡4．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，1．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． 3) \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が1個で，\(p\) も5の倍数であるとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+1+1+1≡3．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，1．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が2個で，\(p\) は5の倍数でないとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+0+1+1≡2．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，1．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． |
4) \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が4個で，\(p\) は5の倍数でないとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+0+0+0≡0．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，1．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が3個で，\(p\) も5の倍数であるとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+0+0+1≡1．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，0．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． 以上により，\(x,y,z,w,p\) のうちで5の倍数が0,1,2,4,5個のとき，\(x,y,z,w,p\) が互いに素な解はないから，\(x,y,z,w,p\) のうちで5の倍数は3個になる． 5) \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が2個で，\(p\) も5の倍数であるとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+0+1+1≡2．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，0．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) は成り立たない． したがって， \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が3個で，\(p\) は5の倍数でない場合だけが問題の解になり得る．∥∎ ※以上の証明は，解が存在する場合の必要条件を示しており，「そもそも解が存在しない場合」，この証明には穴がある．（解が存在することは，具合例で示せる．ただ論理的な証明としては、？なる） ② \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が3個で，\(p\) は5の倍数でないとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+0+0+1≡1．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，1．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) が成り立つ可能性はある． \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が2個で，\(p\) も5の倍数であるとき，左辺 \(x^4+y^4+z^4+w^4\) を5で割った余りは，0+0+1+1≡2．左辺 \(p^4\) を5で割った余りは，0．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4\) が成り立たない． 以上から， \(x,y,z,w\) のうちで5の倍数が3個になるから，左辺の和（右辺の値）を5で割った余りは1になる．∥∎ |
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DEQ[4,4,2] \(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4+q^4\) の正の整数解 左辺の和が小さい順に
1番: \(5^4+5^4+6^4+8^4=3^4+9^4= 6642\)
［興味ある話題］2番: \(2^4+2^4+5^4+10^4=8^4+9^4= 10657\) 3番: \(1^4+5^4+8^4+10^4=3^4+11^4= 14722\) 4番: \(5^4+6^4+10^4+12^4=8^4+13^4= 32657\) 5番: \(3^4+10^4+10^4+12^4=7^4+14^4= 40817\) 6番: \(4^4+5^4+10^4+14^4=12^4+13^4= 49297\) 7番: \(9^4+10^4+15^4+16^4=7^4+19^4= 132722\) 8番: \(4^4+15^4+15^4+16^4=17^4+17^4= 167042\) 9番: \(2^4+10^4+13^4+20^4=8^4+21^4= 198577\) 10番: \(4^4+10^4+19^4+20^4=12^4+23^4= 300577\) 11番: \(7^4+7^4+20^4+20^4=19^4+21^4= 324802\)
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4+q^4\) の正の整数解\(x,y,z,w,p,q\)について（ただし, \(x,y,z,w,p,q\) は互いに素=全部に共通な約数は1以外にない=とする）① \(x,y,z,w,p,q\) のうちで3の倍数は1個,2個,3個または4個である． ② \(x,y,z,w,p,q\) のうちで5の倍数は2個または4個である． ③ \(x,y,z,w,p,q\) のうちで7の倍数は0個,1個,2個,3個または4個である．
（証明）
仮定により，\(x,y,z,w,p,q\) が互いに素である組だけを扱っているから，3の倍数が6個ということはない．そこで，3の倍数が0個の場合と5個の場合，解にならないことを示す． 1) \(x,y,z,w,p,q\) がすべて3の倍数でないとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4\)を3で割った余りは，1+1+1+1≡4．\(p^4+q^4\)を3で割った余りは，1+1≡2．このとき，\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4+q^4\) は成り立たない． 見た目が煩わしいと間違いも多くなるので，上記の内容を 2) \(x,y,z,w,p,q\) のうち5個が3の倍数であるとき， \(x,y,z,w\) のうち4個と\(p,q\) のうち1個が3の倍数であるとき， |
--- ② ← 仮定により，\(x,y,z,w,p,q\) が互いに素である組だけを扱っているから，5の倍数が6個ということはない．そこで，5の倍数が0個,1個,3個,5個の場合，解にならないことを示す． 1) \(x,y,z,w,p,q\) がすべて5の倍数でないとき，5で割った余りは ③ ← 仮定により，\(x,y,z,w,p,q\) が互いに素である組だけを扱っているから，7の倍数が6個ということはない．そこで，7の倍数が5個の場合，解にならないことを示す． 1) \(x,y,z,w\) のうち4個が7の倍数で，\(p,q\) のうち1個が7の倍数であるとき，7で割った余りは （参考）\(x,y,z,w,p,q\) のうちで5の倍数が4個となる例は， 12番:\( 7^4+10^4+20^4+20^4=5^4+24^4= 332401\), 13番\( 5^4+10^4+15^4+24^4=7^4+25^4= 393026\) など． \(x,y,z,w,p,q\) のうちで7の倍数が4個となる例は，200番まで調べてもまだ出てこない． ※とても大きい数では \(1^4+670600^4+1522633^4+2901920^4=1^4+2957367^4\) |
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DEQ[4,4,3] \(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4+q^4+r^4\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\(4^4 + 4^4 + 4^4 + 5^4 = 2^4 + 3^4 + 6^4 = 1393\), 2: 5個,3: 2個,5: 1個,7: 0個
（参考）･･･DEQ[4,3,2]の１つの解2番:\(4^4 + 4^4 + 5^4 + 6^4 = 2^4 + 2^4 + 7^4 = 2433\), 2: 5個,3: 1個,5: 1個,7: 1個 3番:\(1^4 + 3^4 + 5^4 + 8^4 = 1^4 + 7^4 + 7^4 = 4803\), 2: 1個,3: 1個,5: 1個,7: 2個 4番:\(2^4 + 3^4 + 5^4 + 8^4 = 2^4 + 7^4 + 7^4 = 4818\), 2: 3個,3: 1個,5: 1個,7: 2個 5番:\(3^4 + 3^4 + 5^4 + 8^4 = 3^4 + 7^4 + 7^4 = 4883\), 2: 1個,3: 3個,5: 1個,7: 2個 6番:\(2^4 + 4^4 + 5^4 + 8^4 = 6^4 + 6^4 + 7^4 = 4993\), 2: 5個,3: 2個,5: 1個,7: 1個 7番:\(3^4 + 4^4 + 5^4 + 8^4 = 4^4 + 7^4 + 7^4 = 5058\), 2: 3個,3: 1個,5: 1個,7: 2個 8番:\(3^4 + 5^4 + 5^4 + 8^4 = 5^4 + 7^4 + 7^4 = 5427\), 2: 1個,3: 1個,5: 3個,7: 2個 9番:\(3^4 + 5^4 + 6^4 + 8^4 = 6^4 + 7^4 + 7^4 = 6098\), 2: 3個,3: 3個,5: 1個,7: 2個 10番:\(5^4 + 6^4 + 7^4 + 7^4 = 3^4 + 3^4 + 9^4 = 6723\), 2: 1個,3: 4個,5: 1個,7: 2個 12番:\(1^4 + 2^4 + 5^4 + 9^4 = 7^4 + 7^4 + 7^4 = 7203\), 2: 1個,3: 1個,5: 1個,7: 3個 41番:\(3^4 + 5^4 + 8^4 + 14^4 = 7^4 + 7^4 + 14^4 = 43218\), 2: 3個,3: 1個,5: 1個,7: 4個 \(3^4+26^4+35^4=17^4+37^4\)･･･(#) ［興味ある話題］
★ 次の関係は高校数学で証明できる．
\(x^4+y^4+z^4+w^4=p^4+q^4+r^4\) の正の整数解\(x,y,z,w,p,q,r\)について（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） ① \(x,y,z,w,p,q,r\) のうちで2,5の倍数は奇数個である． ② \(x,y,z,w,p,q,r\) のうちで3の倍数は1個～5個である． ③ \(x,y,z,w,p,q,r\) のうちで7の倍数は0個～5個である． |
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す
（3,5,7の倍数が各々5個となる例 #1, #2, #3 は，参考で示したDEQ[4,3,2]の１つの解 \(3^4+26^4+35^4=17^4+37^4\)･･･(#) の辺々を各々\(3^4,5^4,7^4\)倍してから両辺に\(1^4\)を加えるとできる． |
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DEQ[4,5,1] \(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w\lt p\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に（2:は２の約数の個数，他も同様）
1番:\( 2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4=625\), 2:4個,3:1個, 5:1個
［興味ある話題］2番:\( 2^4+2^4+6^4+12^4+13^4=15^4=50625\), 2:4個,3:3個, 5:1個 3番:\( 4^4+6^4+8^4+9^4+14^4=15^4=50625\), 2:4個,3:3個, 5:1個 4番:\( 10^4+10^4+10^4+17^4+30^4=31^4=923521\), 2:4個,3:1個, 5:4個 5番:\( 4^4+21^4+22^4+26^4+28^4=35^4=1500625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 6番:\( 1^4+2^4+12^4+24^4+44^4=45^4=4100625\), 2:4個,3:3個, 5:1個 7番:\( 1^4+8^4+24^4+36^4+38^4=45^4=4100625\), 2:4個,3:3個, 5:1個 8番:\( 4^4+4^4+26^4+27^4+42^4=45^4=4100625\), 2:4個,3:3個, 5:1個 9番:\( 2^4+13^4+16^4+44^4+48^4=55^4=9150625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 10番:\( 2^4+14^4+28^4+33^4+52^4=55^4=9150625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 11番:\( 4^4+4^4+32^4+34^4+51^4=55^4=9150625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 12番:\( 4^4+6^4+31^4+44^4+46^4=55^4=9150625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 13番:\( 4^4+8^4+13^4+28^4+54^4=55^4=9150625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 14番:\( 1^4+8^4+12^4+32^4+64^4=65^4=17850625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 15番:\( 2^4+39^4+44^4+46^4+52^4=65^4=17850625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 16番:\( 4^4+4^4+32^4+32^4+63^4=65^4=17850625\), 2:4個,3:1個, 5:1個 17番:\( 12^4+16^4+24^4+36^4+63^4=65^4=17850625\), 2:4個,3:4個, 5:1個
★ （高校数学）
\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4\) の正の整数解\(x,y,z,v,w,p\)について（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w\lt p\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す① \(x,y,z,v,w,p\) のうちで2の倍数はちょうど4個である． ② \(x,y,z,v,w,p\) のうちで3の倍数は1個,3個または4個である． ③ \(x,y,z,v,w,p\) のうちで5の倍数は1個または4個である．
①の2の倍数が，0個，2個にならないことの証明は，8の剰余類に分ければ証明できる．
1) \(x,y,z,v,w,p\) のうちで2の倍数が0個と仮定すると 左辺\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4\)を2で割った余りは\(1+1+1+1+1\equiv 1\)，右辺\(p^4\)を2で割った余りは\(1\) これらは等しくなる可能性があるので，さらに詳しく8で割った余りで調べる 左辺\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4\)を8で割った余りは\(1+1+1+1+1\equiv 5\)，右辺\(p^4\)を8で割った余りは\(1\) だから，\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4\)は成立しない． 2) \(x,y,z,v,w,p\) のうちで2の倍数が2個と仮定 ● \(x,y,z,v,w\) のうちで2の倍数が2個， \(p\) が2の倍数でないと仮定すると 左辺\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4\)を2で割った余りは\(0+0+1+1+1\equiv 1\)，右辺\(p^4\)を2で割った余りは\(1\) これらは等しくなる可能性があるので，さらに詳しく8で割った余りで調べる 左辺\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4\)を8で割った余りは\(0+0+1+1+1\equiv 3\)，右辺\(p^4\)を8で割った余りは\(1\) だから，\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4\)は成立しない． ● \(x,y,z,v,w\) のうちで2の倍数が1個， \(p\) が2の倍数であると仮定すると 左辺\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4\)を2で割った余りは\(0+1+1+1+1\equiv 1\)，右辺\(p^4\)を2で割った余りは\(0\) これらは等しくなる可能性があるので，さらに詳しく8で割った余りで調べる 左辺\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4\)を8で割った余りは\(0+1+1+1+1\equiv 4\)，右辺\(p^4\)を8で割った余りは\(0\) だから，\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4\)は成立しない． |
DEQ[4,5,2] \(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4+q^4\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w, 1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に（2:は2の倍数の個数，他も同様）
1番:\( 2^4+2^4+7^4+8^4+8^4=5^4+10^4=10625\), 2:5個,3:0個, 5:2個
（参考）2番:\( 5^4+8^4+8^4+10^4+10^4=4^4+13^4=28817\), 2:5個,3:0個, 5:3個 3番:\( 4^4+7^4+10^4+10^4+10^4=8^4+13^4=32657\), 2:5個,3:0個, 5:3個 4番:\( 3^4+4^4+11^4+12^4+16^4=15^4+15^4=101250\), 2:3個,3:4個, 5:2個 5番:\( 2^4+4^4+14^4+14^4+17^4=5^4+20^4=160625\), 2:5個,3:0個, 5:2個 6番:\( 6^4+6^4+11^4+14^4+18^4=5^4+20^4=160625\), 2:5個,3:3個, 5:2個 7番:\( 3^4+5^4+10^4+14^4+20^4=11^4+21^4=209122\), 2:3個,3:2個, 5:3個 8番:\( 5^4+10^4+10^4+17^4+18^4=11^4+21^4=209122\), 2:3個,3:2個, 5:3個 9番:\( 4^4+13^4+14^4+14^4+18^4=15^4+20^4=210625\), 2:5個,3:2個, 5:2個 10番:\( 5^4+6^4+6^4+15^4+20^4=17^4+19^4=213842\), 2:3個,3:3個, 5:3個 31番:\( 5^4+20^4+20^4+20^4+24^4=7^4+30^4=812401\), 2:5個,3:2個, 5:5個
DEQ[4,4,1]の1つの解\(30^4+120^4+272^4+315^4=353^4\)の辺々を\(k^4\)倍して両辺に\(1^4\)を足すと
［興味ある話題］\(1^4+(30k)^4+(120k)^4+(272k)^4+(315k)^4=1^4+(353k)^4\) となって，任意の正整数\(k\)の倍数が5個ある解を作れる．･･･(#)
★ （高校数学）
\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4+q^4\) の正の整数解\(x,y,z,v,w,p,q\)について（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w, 1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す① \(x,y,z,v,w,p,q\) のうちで2の倍数は3個または5個である． ② \(x,y,z,v,w,p,q\) のうちで3の倍数は0個,2個,3個,4個または5個である． ③ \(x,y,z,v,w,p,q\) のうちで5の倍数は2個,3個または5個である．
①の2の倍数が，1個にならないことの証明は，8の剰余類に分ければ証明できる． |
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DEQ[4,5,3] \(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4+q^4+r^4\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に（2:は2の倍数の個数，他も同様）
1番:\( 2^4+2^4+2^4+5^4+5^4=1^4+1^4+6^4=1298\), 2:4個,3:1個, 5:2個, 7:0個
（参考）2番:\( 1^4+2^4+5^4+5^4+6^4=3^4+3^4+7^4=2563\), 2:2個,3:3個, 5:2個, 7:1個 3番:\( 4^4+5^4+5^4+6^4+6^4=1^4+1^4+8^4=4098\), 2:4個,3:2個, 5:2個, 7:0個 8番:\( 5^4+5^4+5^4+6^4+8^4=3^4+5^4+9^4=7267\), 2:2個,3:3個, 5:4個, 7:0個 9番:\( 5^4+5^4+6^4+6^4+8^4=3^4+6^4+9^4=7938\), 2:4個,3:5個, 5:2個, 7:0個 10番:\( 5^4+5^4+6^4+7^4+8^4=3^4+7^4+9^4=9043\), 2:2個,3:3個, 5:2個, 7:2個 12番:\( 2^4+2^4+2^4+5^4+10^4=2^4+8^4+9^4=10673\), 2:6個,3:1個, 5:2個, 7:0個 16番:\( 3^4+4^4+4^4+8^4+9^4=5^4+5^4+10^4=11250\), 2:4個,3:2個, 5:3個, 7:0個 39番:\( 3^4+3^4+6^4+10^4+10^4=4^4+9^4+11^4=21458\), 2:4個,3:4個, 5:2個, 7:0個 93番:\( 4^4+5^4+7^4+10^4+14^4=7^4+12^4+13^4=51698\), 2:4個,3:1個, 5:2個, 7:3個 135番:\( 3^4+10^4+10^4+12^4+14^4=7^4+14^4+14^4=79233\),2:6個,3:2個, 5:2個, 7:4個
DEQ[4,4,2]の1つの解\(5^4+5^4+6^4+8^4=3^4+9^4\)の辺々を\(k^4\)倍して両辺に\(1^4\)を足すと
［興味ある話題］\(1^4+(5k)^4+(5k)^4+(6k)^4+(8k)^4=1^4+(3k)^4+(9k)^4\) となって，任意の正整数\(k\)の倍数が6個ある解を作れる．･･･(#)
★ （高校数学）
\(x^4+y^4+z^4+v^4+w^4=p^4+q^4+r^4\) の正の整数解\(x,y,z,v,w,p,q,r\)について（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す① \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで2の倍数は2個,4個または6個である． ② \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで3の倍数は1個から個である． ③ \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで5の倍数は2個,3個,4個または6個である． ③ \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで7の倍数は0個,1個,2個,3個,4個または6個である．
①の2の倍数が，0個にならないことの証明は，8の剰余類に分ければ証明できる． DEQ[5,2,1] \(x^5+y^5=p^5\) の正の整数解 フェルマーの最終定理により，整数解はないことが証明されている． DEQ[5,2,2] \(x^5+y^5=p^5+q^5\hspace{5px}(1\leqq x\leqq y, x\lt p\leqq q)\) の正の整数解 \(\) ⇒ ChatGPT, Google Geminiに質問してみると，解はまだ見つかっていないとされている． DEQ[5,3,1] \(x^5+y^5+z^3=p^5\) の正の整数解 ⇒ かなり大きな数まで調べられているが，解は見つかっていない． DEQ[5,3,2] \(x^5+y^5+z^3=p^5+q^5\) の正の整数解
Wolfman MathWorldに，5桁の整数を使った解が示されている．
\(14132^5+220^5=14068^5+6237^5+5027^5\) ⇒ ブルートフォース（力まかせの総当たり）で調べると，計算量が \((10^6)^5\times (10^6)^5\times (10^6)^5\times (10^6)^5\times (10^6)^5=10^{150}\)回となって，個人のパソコンでは時間がかかり過ぎて調べられない！！ |
DEQ[5,3,3] \(x^5+y^5+z^5=p^5+q^5+r^5\) の正の整数解（\(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\( 3^5+54^5+62^5 = 24^5+28^5+67^5 \), 2: 4個, 3: 3個, 5: 0個
［興味ある話題］2番:\( 13^5+51^5+64^5 = 18^5+44^5+66^5\), 2: 4個, 3: 3個, 5: 0個 3番:\( 8^5+62^5+68^5 = 21^5+43^5+74^5 \), 2: 4個, 3: 1個, 5: 0個 4番:\( 53^5+72^5+81^5 = 56^5+67^5+83^5 \), 2: 2個, 3: 2個, 5: 0個 5番:\( 39^5+92^5+100^5 = 49^5+75^5+107^5 \), 2: 2個, 3: 2個, 5: 2個 6番:\( 26^5+85^5+118^5 = 53^5+90^5+116^5 \), 2: 4個, 3: 1個, 5: 2個 13番:\( 9^5+131^5+159^5 = 63^5+67^5+169^5 \), 2: 0個, 3: 3個, 5: 0個 25番:\( 23^5+184^5+239^5 = 59^5+139^5+248^5 \), 2: 2個, 3: 0個, 5: 0個 32番:\( 106^5+137^5+288^5 = 201^5+219^5+261^5 \), 2: 2個, 3: 4個, 5: 0個
★ （高校数学）
\(x^5+y^5+z^5=p^5+q^5+r^5\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）① \(x+y+z\) と \(p+q+r\) を2で割った余りは等しい．3,5,6,10で割った余りについても同様である． ② \(x,y,z,p,q,r\) のうちで2の倍数は奇数個にならない． ② \(x,y,z,p,q,r\) のうちで3の倍数は5個にならない． ① ← ==2,3,6で割った余り== \( n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1) \)において，\((n-1)n(n+1)\)は連続する3整数の積だから，6の倍数になる． したがって，任意の整数\(n\)について，\(n^5\)と\(n\)を6で割った余りは等しい． \(x^5+y^5+z^5=p^5+q^5+r^5\) \(x^5+y^5+z^5\equiv x+y+z\)かつ\(p^5+q^5+r^5\equiv p+q+r\hspace{3px}(\mod 6)\) だから，\(x+y+z\equiv p+q+r\hspace{3px}(\mod 6)\) 6で割った余りが等しいから，2で割った余り，3で割った余りも等しい． ==5で割った余り== 「\(a\)を正の整数，\(p\)を素数とするとき，\(a^p\equiv a\hspace{3px}(\mod p)\)が成り立つ．」（フェルマーの小定理） フェルマーの小定理を使えば，「任意の正整数任意の整数\(n\)について，\(n^5\)と\(n\)を5で割った余りは等しい」と言える． ただ，高校数学でフェルマーの小定理を習うとは限らない（ほとんどの生徒は習わない）ので，問題に必要な部分を証明して見ると:
\( n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1) \)において
1) \(n=5k,5k+1,5k+4\)（\(k\)は整数）のとき，\(n(n-1)(n+1)\)は0となるから，\(n^5-n\)は5で割り切れる． 2) \(n=5k+2\)（\(k\)は整数）のとき，\(n^2+1=25k^2+20k+4+1=5N\)は5で割り切れるから，\(n^5-n\)は5で割り切れる． 3) \(n=5k+3\)（\(k\)は整数）のとき，\(n^2+1=25k^2+30k+9+1=5N\)は5で割り切れるから，\(n^5-n\)は5で割り切れる． 以上により，任意の正整数任意の整数\(n\)について，\(n^5\)と\(n\)を5で割った余りは等しい．したがって \(x^5+y^5+z^5\equiv x+y+z\hspace{2px}(\mod 5)\)かつ\(p^5+q^5+r^5\equiv p+q+r\hspace{2px}(\mod 5)\) だから，\(x+y+z\equiv p+q+r\hspace{2px}(\mod 5)\) ==10で割った余り== \(x+y+z\) と \(p+q+r\) は，2で割った余りも5で割った余りも等しいから，10で割った余りは等しい． ②③は剰余類を使って，今まで通りに計算すれば証明できる． |
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DEQ[5,4,1] \(x^5+y^5+z^3+w^5=p^5\) の正の整数解 DEQ[5,4,2] \(x^5+y^5+z^5+w^5=p^5+q^5\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w,1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\( 4^5+10^5+20^5+28^5 = 3^5+29^5 \)
［興味ある話題］2番:\( 5^5+13^5+25^5+37^5 = 12^5+38^5 \) 3番:\( 26^5+29^5+35^5+50^5 = 28^5+52^5 \) 4番:\( 5^5+25^5+62^5+63^5 = 61^5+64^5 \) 5番:\( 6^5+50^5+53^5+82^5 = 16^5+85^5 \) 6番:\( 56^5+63^5+72^5+86^5 = 31^5+96^5 \) 7番:\( 44^5+58^5+67^5+94^5 = 14^5+99^5 \) 8番:\( 11^5+13^5+37^5+99^5 = 63^5+97^5 \) 9番:\( 48^5+57^5+76^5+100^5 = 25^5+106^5\) 10番:\( 58^5+76^5+79^5+102^5 = 54^5+111^5\)
★ （高校数学）
\(x^5+y^5+z^5+w^5=p^5+q^5\) の正の整数解（ただし, \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w,1\leqq p\leqq q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）\(x+y+z+w\) と \(p+q\) を2で割った余りは等しい．3,5,6,10で割った余りについても同様である． DEQ[5,3,3]とほぼ同様に証明できる． |
DEQ[5,4,3] \(x^5+y^5+z^5+w^5=p^5+q^5+r^5\) の正の整数解 \(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,w,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\(1^5+8^5+14^5+27^5 = 3^5+22^5+25^5 \)
［興味ある話題］2番:\(9^5+11^5+19^5+31^5 = 16^5+25^5+29^5 \) 3番:\(7^5+18^5+27^5+30^5 = 2^5+17^5+33^5 \) 4番:\(2^5+20^5+20^5+33^5 = 1^5+10^5+34^5 \) 5番:\(2^5+9^5+25^5+33^5 = 16^5+19^5+34^5 \) 6番:\(11^5+20^5+27^5+35^5 = 2^5+25^5+36^5 \) 7番:\(16^5+22^5+29^5+35^5 = 2^5+2^5+38^5 \) 8番:\(11^5+23^5+30^5+35^5 = 10^5+21^5+38^5 \) 9番:\(12^5+22^5+27^5+37^5 = 1^5+31^5+36^5 \) 10番:\(13^5+22^5+24^5+41^5 = 30^5+35^5+35^5\)
★ （高校数学）
\(x^5+y^5+z^5+w^5=p^5+q^5+r^5\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,w,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）\(x+y+z+w\) と \(p+q+r\) は2,3,5,6,10で割った余りが各々等しい． DEQ[5,3,3]とほぼ同様に証明できる |
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DEQ[5,5,1] \(x^5+y^5+z^3+v^5+w^5=p^5\) の正の整数解（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\(19^5+43^5+46^5+47^5+67^5=72^5\)
［興味ある話題］2番:\(21^5+23^5+37^5+79^5+84^5=94^5\) 3番:\(7^5+43^5+57^5+80^5+100^5=107^5\) 4番:\(78^5+120^5+191^5+259^5+347^5=365^5\) 5番:\(79^5+202^5+258^5+261^5+395^5=415^5\) 6番:\(4^5+26^5+139^5+296^5+412^5=427^5\) 7番:\(31^5+105^5+139^5+314^5+416^5=435^5\) 8番:\(54^5+91^5+101^5+404^5+430^5=480^5\)
★ （高校数学）
\(x^5+y^5+z^5+v^5+w^5=p^5\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w\lt p\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
証明は，前問と同様にして行える．
DEQ[5,5,2]① \(x+y+z+v+w\) を3で割った余りは， \(p\) を3で割った余りに等しい． ② \(x+y+z+v+w\) を5で割った余りは， \(p\) を5で割った余りに等しい． ③ \(x+y+z+v+w\) を6で割った余りは， \(p\) を6で割った余りに等しい． ④ \(x+y+z+v+w\) を10で割った余りは， \(p\) を10で割った余りに等しい． \(x^5+y^5+z^5+v^5+w^5=p^5+q^5\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\(4^5+5^5+7^5+16^5+21^5=1^5+22^5=5153633 \)
2番:\(9^5+11^5+14^5+18^5+30^5=23^5+29^5=26947492 \) 3番:\(10^5+14^5+26^5+31^5+33^5=16^5+38^5=80283744 \) 4番:\(4^5+22^5+29^5+35^5+36^5=24^5+42^5=138653856 \) 5番:\(8^5+15^5+17^5+19^5+45^5=30^5+44^5=189216224 \) 6番:\(5^5+6^5+26^5+27^5+44^5=36^5+42^5=191157408 \) 7番:\(7^5+10^5+22^5+43^5+47^5=17^5+52^5=381623889 \) 8番:\(6^5+11^5+14^5+42^5+49^5=45^5+47^5=413873132 \) 9番:\(15^5+22^5+43^5+51^5+52^5=32^5+61^5=878150733 \) 10番:\(11^5+25^5+35^5+49^5+67^5=27^5+70^5=1695048907 \) |
［興味ある話題］
★ （高校数学）
\(x^5+y^5+z^5+v^5+w^5=p^5+q^5\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
証明は，前問と同様にして行える．① \(x+y+z+v+w\) を3で割った余りは， \(p+q\) を3で割った余りに等しい． ② \(x+y+z+v+w\) を5で割った余りは， \(p+q\) を5で割った余りに等しい． ③ \(x+y+z+v+w\) を6で割った余りは， \(p+q\) を6で割った余りに等しい． ④ \(x+y+z+v+w\) を10で割った余りは， \(p+q\) を10で割った余りに等しい． DEQ[5,5,3] \(x^5+y^5+z^5+v^5+w^5=p^5+q^5+r^5\) の正の整数解 \(1\leqq x\leqq y\leqq \leqq v\leqq w, 1\leqq p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\( 1^5+2^5+2^5+4^5+8^5 = 3^5+7^5+7^5 \)
［興味ある話題］2番:\( 1^5+1^5+6^5+7^5+10^5 = 8^5+8^5+9^5 \) 3番:\( 1^5+1^5+2^5+12^5+16^5 = 3^5+14^5+15^5 \) 4番:\( 3^5+4^5+6^5+6^5+17^5 = 7^5+13^5+16^5 \) 5番:\( 1^5+2^5+7^5+9^5+18^5 = 6^5+14^5+17^5 \) 6番:\( 6^5+11^5+11^5+15^5+17^5 = 3^5+8^5+19^5 \) 7番:\( 1^5+1^5+2^5+18^5+19^5 = 8^5+12^5+21^5 \) 8番:\( 1^5+2^5+4^5+14^5+21^5 = 5^5+17^5+20^5 \) 9番:\( 1^5+4^5+13^5+13^5+21^5 = 16^5+18^5+18^5 \) 10番:\( 2^5+4^5+10^5+15^5+21^5 = 16^5+17^5+19^5 \)
★ （高校数学）
\(x^5+y^5+z^5+v^5+w^5=p^5+q^5+r^5\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
証明は，前問と同様にして行える．
① \(x+y+z+v+w\) と \(p+q+r\) を2,3,5,6,10で割った余りは各々等しい． ② \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで2の倍数は奇数個にならない． |
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DEQ[6,2,1] \(x^6+y^6=p^6\) の正の整数解 から DEQ[6,5,2] \(x^6+y^6+z^3+u^6+v^6+w^6=p^6+q^6\) の正の整数解 まで ⇒ コンピュータを使って，かなり大きな数字まで調べられているが，よくわかっていない． DEQ[6,3,3] \(x^6+y^6+z^6=p^6+q^6+r^6\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする） 各辺の和が小さい順に
1番:\( 3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6 \)
［興味ある話題］2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 2番:\( 15^6+52^6+65^6=36^6+37^6+67^6 \) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 3番:\( 23^6+54^6+73^6=33^6+47^6+74^6 \) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 4番:\( 3^6+55^6+80^6=32^6+43^6+81^6 \) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 5番:\( 11^6+65^6+78^6=37^6+50^6+81^6 \) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 6番:\( 25^6+62^6+138^6=82^6+92^6+135^6 \) 2の倍数: 4個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 7番:\( 40^6+125^6+129^6=51^6+113^6+136^6\) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 8番:\( 1^6+132^6+133^6=71^6+92^6+147^6 \) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 2個 9番:\( 26^6+169^6+225^6=111^6+121^6+230^6\) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 10番:\( 14^6+163^6+243^6=75^6+142^6+245^6\) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 2個 12番:\( 29^6+197^6+261^6=131^6+139^6+267^6\) 2の倍数: 0個, 3の倍数: 2個 ,7の倍数: 0個 21番:\( 92^6+311^6+317^6=124^6+277^6+337^6\) 2の倍数: 2個, 3の倍数: 0個 ,7の倍数: 0個
★ （高校数学）
\(x^6+y^6+z^6=p^6+q^6+r^6\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z,x\lt p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）･･･の番号は，「等式が成り立つ1つの例」として，上の表の番号を表す① \(x,y,z,p,q,r\) のうちで2,3,7の倍数は各々奇数個にならない． ② \(x,y,z,p,q,r\) のうちで2,3,7の倍数は左辺と右辺に同数個ある． ?の箇所は，筆者のコンピュータでは，まだ成り立つことの具体例が示せていない．
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（証明）
(1) 仮定により，8個の数 \(x,y,z,v,w,p,q,r\) が7の倍数ということはない． (2) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで7個が7の倍数の場合，1個だけが7の倍数でないことになる． 7の倍数でないものが，左辺にあれば，左辺は \(0+0+0+0+1≡1\hspace{5px}(\mod 7)\) 右辺は \(0+0+0≡0\hspace{5px}(\mod 7)\) だから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． 7の倍数でないものが，右辺にある場合も同様． (3) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで1個が7の倍数の場合，7個が7の倍数でないことになる． 7の倍数が，左辺にあれば，左辺は \(0+1+1+1+1≡4\hspace{5px}(\mod 7)\) 右辺は \(1+1+1≡3\hspace{5px}(\mod 7)\) だから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． 7の倍数でないものが，右辺にある場合も同様． (4) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで3個が7の倍数の場合，5個が7の倍数でないことになる． このとき，合同式の計算において，7の倍数でないものは5個という奇数個になり，左辺と右辺に等しく分けられないから，合同式の1の個数が等しくならず，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． |
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(5) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで5個が7の倍数の場合，3個が7の倍数でないことになる． (4)のときと同様に考えると，3個の1を左辺と右辺に等しく分けられないから，合同式の1の個数が等しくならず，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． (6) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで0個が7の倍数の場合 左辺は \(1+1+1+1+1≡5\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺は \(1+1+1≡3\hspace{5px}(\mod 7)\) だから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． 以上により，7の倍数は0個または奇数個にならない． ② ← (1) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうち3の倍数が0個であるとき，左辺を3で割った余りは，\(1+1+1+1+1≡2\hspace{5px}(\mod 3)\),右辺を3で割った余りは，\(1+1+1≡0\hspace{5px}(\mod 3)\) だから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． (2) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうち3の倍数が1個であるとき， \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が1個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が0個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+1+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が0個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 5\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． (3) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうち3の倍数が3個であるとき， \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が3個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が0個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が1個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が0個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が3個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． |
(4) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうち3の倍数が5個であるとき， \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が5個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が0個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が4個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が3個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が3個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． (5) \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうち3の倍数が7個であるとき， \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が5個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が4個，\(p,q,r\) のうちで3の倍数が3個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) は成り立たない． DEQ[6,5,3] \(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) の正の整数解 各辺の和が小さい順に 各辺の和が小さい順に
1番:\( 7^6+12^6+12^6+14^6+23^6 = 17^6+17^6+22^6 \),7の倍数:2個
［興味ある話題］2番:\( 7^6+12^6+21^6+22^6+33^6 = 15^6+29^6+31^6 \),7の倍数:2個 3番:\( 2^6+14^6+21^6+27^6+32^6 = 13^6+13^6+34^6 \),7の倍数:2個 4番:\( 7^6+9^6+10^6+28^6+33^6 = 1^6+31^6+31^6 \),7の倍数:2個 5番:\( 10^6+15^6+21^6+28^6+36^6 = 1^6+24^6+37^6 \),7の倍数:2個 6番:\( 6^6+6^6+32^6+35^6+35^6 = 1^6+8^6+41^6 \),7の倍数:2個 7番:\( 18^6+18^6+21^6+35^6+43^6 = 13^6+13^6+45^6 \),7の倍数:2個 8番:\( 7^6+20^6+30^6+37^6+42^6 = 11^6+40^6+41^6 \),7の倍数:2個 9番:\( 7^6+11^6+21^6+32^6+48^6 = 19^6+37^6+47^6 \),7の倍数:2個 10番:\( 5^6+7^6+36^6+42^6+44^6 = 19^6+40^6+47^6 \),7の倍数:2個
★ （高校数学）
\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q,r\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
① \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで7の倍数は0個または奇数個にならない． ② \(x,y,z,v,w,p,q,r\) のうちで3の倍数は0個または奇数個にならない． |
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DEQ[6,5,4] \(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) の正の整数解 各辺の和が小さい順に
1番:\( 1^6+2^6+7^6+12^6+12^6 = 3^6+8^6+10^6+13^6 \)
［興味ある話題］2番:\( 7^6+10^6+12^6+13^6+15^6 = 3^6+11^6+11^6+16^6 \) 3番:\( 1^6+13^6+15^6+16^6+21^6 = 9^6+17^6+19^6+19^6 \) 4番:\( 12^6+13^6+14^6+19^6+21^6 = 2^6+3^6+7^6+23^6 \) 5番:\( 7^6+12^6+13^6+19^6+22^6 = 11^6+11^6+16^6+23^6 \) 6番:\( 5^6+8^6+9^6+21^6+22^6 = 6^6+13^6+19^6+23^6 \) 7番:\( 1^6+2^6+13^6+21^6+24^6 = 11^6+11^6+18^6+25^6 \) 8番:\( 2^6+17^6+21^6+21^6+22^6 = 3^6+5^6+7^6+26^6 \) 9番:\( 16^6+18^6+20^6+21^6+22^6 = 8^6+11^6+12^6+26^6 \) 10番:\( 6^6+10^6+14^6+15^6+26^6 = 8^6+17^6+22^6+24^6 \)
★ （高校数学）
\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) の正の整数解\(1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq v\leqq w,1\leqq p\leqq q\leqq r\leqq s\)について（ただし, \(x,y,z,v,w,p,q,r,s\) の全部に共通な約数は1以外にないとする）
（証明）
① \(x,y,z,v,w,p,q,r,s\) のうちで3の倍数は偶数個にならない． ② \(x,y,z,v,w,p,q,r,s\) のうちで7の倍数は偶数個にならない． ③ \(x,y,z,v,w,p,q,r,s\) のうちで2の倍数は偶数個にならない．
1) 3の倍数が0個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 2) 3の倍数が2個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が0個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^4\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が1個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+1+1+1+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+1+1+1\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が0個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 3) 3の倍数が8個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が5個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が3個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が4個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を3で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 3)\)，右辺の和を3で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 3)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 4) 3の倍数が4個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が4個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が0個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が3個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が1個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が3個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が0個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が4個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 5\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 6) 3の倍数が6個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が5個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が1個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が4個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が2個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が3個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が3個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで3の倍数が2個，\(p,q,r,s\) のうちで3の倍数が4個のとき 左辺の和を9で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 9)\)，右辺の和を9で割った余りは，\(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 9)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． |
② ← 1) 7の倍数が0個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 5\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 2) 7の倍数が2個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が2個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が0個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が1個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が1個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が0個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が2個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 5\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 3) 7の倍数が4個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が4個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が0個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が3個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が1個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が2個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が2個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が1個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が3個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+1+1+1+1\equiv 4\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が0個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が4個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(1+1+1+1+1\equiv 5\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 4) 7の倍数が6個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が4個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が2個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が3個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が3個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+1+1\equiv 2\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が2個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が4個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+1+1+1\equiv 3\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． 5) 7の倍数が8個のとき \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が5個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が3個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． \(x,y,z,v,w\) のうちで7の倍数が4個，\(p,q,r,s\) のうちで7の倍数が4個のとき 左辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0+1\equiv 1\hspace{5px}(\mod 7)\)，右辺の和を7で割った余りは，\(0+0+0+0\equiv 0\hspace{5px}(\mod 7)\)となるから，\(x^6+y^6+z^6+v^6+w^6=p^6+q^6+r^6+s^6\) は成り立たない． ③ ← 2の倍数が偶数個にならないことも同様にして証明できる． |