== 定積分で定義される関数 ==
 この教材では,高卒から大学初年度レベルの定積分で定義される関数をまとめる.
T 有理関数
(1.1)が異なる2つ実数解をもつとき
 この定積分は,右図のように2次関数とx軸が2交点で交わるときに,2次関数とx軸とで囲まれる図形の面積(符号は負になっている)を表している.
 高校数学Uで発展学習として習うことがある.(教科書や授業では触れない場合もある)

と書ける
(証明)








(1.2)を整数とするとき
 前述(1.1)はこの公式において,m=1, n=1の場合になっている
(証明)
次のように部分積分を行う.



とおくと

だから,第1項は消える



この漸化式を順次適用する




ここで


だから



U 無理関数
(2.1)
(2.2)
これらは高校数学Vの置換積分で習う基本的な公式です.
(証明)
(2.1)は右図の4分円の面積が円の面積の4分の1になることを表しています.
次のように置換積分を行います.





(2.2)
のとき,この被積分関数はのときとなる広義積分ですが,

の極限値を求めます.
次のように置換積分を行います.





(2.3)
(2.4)
(証明)
(2.3)
 2次関数に根号を付けたものでのとき,被積分関数が0になるのだから,右図のように中心がで半径がの(上)半円を考える.実際,次の左辺の式と右辺の式を展開してみると,これらは等しい.


とおく置換積分を行うと

とおく置換積分を行うと




(参考) 方べきの定理
 右図上のように,弦ABとCDが点Pで交わるとき,△APCと△DPBが相似になることから,AP・BP=DP・CPが成り立つ.
 右図下のように,CP=DPのときは,AP・BP=CP2となるから

になる.
 CPは円周のy座標だから,その積分は半円の面積になる.
(2.4)
(2.3)と同様にしてとおく置換積分を行うと




(2.5)
(2.6)
(証明)
(2.5) 右図のようにABを直径とする円において,∠CBP=θとおくと


の辺々を掛けると
だから…(1)
同様にして


の辺々を掛けると
だから…(2)
(2)÷(1)により


とおく置換積分を行うと



※区間の上端において広義積分になっているが,極限値を考えます.
(2.6)
前問と同様にして




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