==連分数==
1. 連分数の定義
 次の形の分数を連分数という.

 この繰り返しnが有限回のものは有限連分数といい,無限回になっているものは無限連分数という.
2. 正則連分数の定義
 すべてのとなっているもの

正則連分数という.以下においては,正則連分数だけを扱う.
3. 連分数の例


4. 連分数を表す記号

は,

と書かれる.また,次のように書かれることもある.

整数部分だけセミコロンで区切る書き方もある.


5. 有理数,無理数と連分数
1) 有理数は有限正則連分数で表せる.有限正則連分数は有理数を表す.
2) 無理数は無限正則連分数で表せる.無限正則連分数は無理数を表す.
3) 2次無理数は,(無限)循環連分数で表せる.(無限)循環連分数は2次無理数を表す.
(2次無理数とは,整数係数の既約2次方程式の解のこと)
1)←
 
のような有限連分数を,分数の深い方から順に通分していけば,有限回の操作で整数分の整数になることは明らか.
 逆に,


のように,整数分の整数を連分数にする場合
11÷8=1…3
8÷3=2…2
となる余りは必ずよりも小さいから,この割り算は有限回で終わる.したがって,有限連分数になる.
(ユークリッドの互除法の原理)
2)←
1)の対偶を取ると
「有限正則連分数で表せないならば有理数でない」となるから「無限正則連分数ならば無理数である」と言える.
「有理数でないならば有限正則連分数でない」となるから「無理数ならば無限正則連分数である」と言える.
3)←
(参考)
※連分数では有限が有理数に,無限が無理数に対応しているのに対して,小数では有理数と有限,無理数と無限は対応しないことに注意

小数表示連分数表示


有限小数
[例]など
有限連分数
[例]
循環する無限小数
[例]など


循環しない無限小数
[例]
など
循環する無限連分数
(2次無理数)
[例]
循環しない無限連分数
[例]

6. 例題
【例1】

を連分数で表してください.
(解答)
割り算をして,商と余りに分ける(商は整数として分離,余りは分子に)

分子が分母よりも小さくなっているから,分の1にしてひっくり返す

割り算をして,商と余りに分ける(商は整数として分離,余りは分子に)

分子が分母よりも小さくなっているから,分の1にしてひっくり返す

割り算をして,商と余りに分ける(商は整数として分離,余りは分子に)

分子が分母よりも小さくなっているから,分の1にしてひっくり返す

割り算をして,商と余りに分ける(商は整数として分離,余りは分子に)

…(答)
…(答)
(備考)
と書けるから

でも同じ
【例2】

を連分数で表してください.
(解答)
整数部分を0とする

分子が分母よりも小さくなっているから,分の1にしてひっくり返す

割り算をして,商と余りに分ける(商は整数として分離,余りは分子に)

分子が分母よりも小さくなっているから,分の1にしてひっくり返す

割り算をして,商と余りに分ける(商は整数として分離,余りは分子に)

…(答)
…(答)

【例3】
 次の連分数で表される有理数を整数整数  の形で表してください.
(解答)


…(答)
【例4】
 次の連分数で表される有理数を整数整数  の形で表してください.
(解答)


…(答)

 循環する無限小数(循環小数)は,のように,循環する部分(の両端)にドットを付けて表します.
 循環する無限連分数(循環連分数)は,のように,循環する部分(の全体)にバーを付けて表します.
【例5】
 を循環連分数で表してください.
(解答)
だから,の整数部分は1,残りは.これらを分離する.
…(1)
残りの部分を,分の1にして分母と分子をひっくり返す.

分母を有理化する

だから,の整数部分は2,残りは.これらを分離する.
…(2)
(1)と(2)のの部分は同じだから,の代わりに,が入る.

これを繰り返すから

これが限りなく繰り返される


…(答)
【例6】
 の連分数展開を求めてください.
(解答)
だから,の整数部分は1,残りは.これらを分離する.
…(1)
残りの部分を,分の1にして分母と分子をひっくり返す.

分母を有理化する

だから,の整数部分は1,残りは.これらを分離する.

残りの部分を,分の1にして分母と分子をひっくり返す.

だから,の整数部分は2,残りは.これらを分離する.
…(2)
(1)と(2)のの部分は同じだから,の代わりに,が入る.

これが限りなく繰り返される


…(答)

7. 2次無理数と循環連分数
 既約整数係数の2次方程式の解で表される数を2次無理数という.(ここでは,そのうちの正の数のみを考える)
[例]


 2次無理数について,次の性質が成り立つ.
「2次無理数は循環する無限連分数に展開される.逆に,循環する無限連分数は2次無理数を表す.」
 上記の性質を一般的に証明するのは難しいが,個別具体的に内容を検討することはできる.
(1) 2次無理数の連分数展開[具体例]
(2) 循環連分数が2次無理数になることの証明
 整数部分が循環すると無限に大きな数になるから,整数部分を除いたものの連分数展開を考える.
 例えば,だから,の整数部分は1
 そこで,において,整数部分を取り除いたが循環連分数になる.
…(1)
…(2)
とおくと,

だから,は,次の整数係数2次方程式の解となっている.

 一般に,循環する部分が1つの数であるとき,

とおけるから,は,次の整数係数2次方程式の解となっている.

循環する部分が2つの数であるとき,

とけるから,は,次の整数係数2次方程式の解となっている.

 循環する部分が3つ以上の数になる場合も同様だから,循環連分数は2次無理数を表すと言える.
(3) 2次無理数が循環連分数になること(一般的に証明することは難しいので例のみを示す)
だから,の整数部分は1
 とおくと




したがって

だから,の整数部分は1
 とおくと





ここで,

だから

したがって


8. 超越無理数と連分数
 超越無理数(代数方程式の解以外の無理数)は循環しない無限連分数に展開される.
 有理数は有限連分数に,2次無理数は循環連分数に展開されるので,それらのいずれでもない超越無理数は,有限連分数ではなく無限連分数でかつ循環しないものになる.

だから

だから


だから

この作業を続ける

だから

だから


だから

この作業を続ける
の連分数展開を適当な回数まで行い,の近似値を分数で表すことができる.


など
●==目次に戻る