空間内に，一辺の長さ1の正四面体OABCがある．\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\hspace{3px}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\hspace{3px}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とするとき，次の問に答えよ．

(1)
\(\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)
　\(\displaystyle =k\vec{c}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
　\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+k\vec{c}\)···（答）
(2)
• \(\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1\)
• \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\)
　同様にして，\(\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}\) だから
　\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DE}}|^2=(-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+k\vec{c})\cdot(-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+k\vec{c})\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{4}|\vec{a}|^2+\frac{1}{4}|\vec{b}|^2+k^2|\vec{c}|^2+\frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}-k\vec{a}\cdot\vec{c}-k\vec{b}\cdot\vec{c}\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+k^2+\frac{1}{4}-\frac{k}{2}-\frac{k}{2}\)
　\(\displaystyle =k^2-k+\frac{3}{4}\)
　\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\sqrt{k^2-k+\frac{3}{4}}\)···（答）
(3)
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=(\vec{b}-\vec{a})\cdot(-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+k\vec{c})\)
　\(\displaystyle \!=\!-\!\frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{a}\!-\!\frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{b}\!+\!k\vec{b}\cdot\vec{c}\!+\!\frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{a}\!+\!\frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}\!-\!k\vec{a}\cdot\vec{c}\)
　\(\displaystyle =-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{k}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{k}{2}=0\)···（答）
(4)
• (3)の結果から，AB⊥DEだから
　\(\displaystyle S=\frac{\mathrm{AB\cdot DE}}{2}=\frac{1\cdot\sqrt{k^2-k+\frac{3}{4}} }{2}\)
　\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \sqrt{(k-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}} }{2}\)
• \(S\) は \(\displaystyle k=\frac{1}{2}\) のとき，最小値\(\displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}} }{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\) をとる
→解説を隠す←

　次の文章を読み，以下の問い（問題19〜22）に対する選択肢から最も適切なものを一つ選べ．
　1辺の長さが2の正四面体OABCについて考える（△ABCを底面とする）．△ABCの辺ABの中点をD，辺ACの中点をE，辺BCを1 : 2, 2 : 1に内分する点をそれぞれF, Gとし，半直線DFと半直線EGの交点をHとする．

(1) == 内分点 ★,☆ ==（♦∀〜いただき〜♪♬）
• DはABの中点だから
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}\)
• FはBCを1 : 2に内分する点だから
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{\overrightarrow{2\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}\)
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) 　\(\displaystyle =\frac{\overrightarrow{2\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}-\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}\)
　\(\displaystyle =\frac{-3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{6}\)
\(x=2\) → カ
(2) == 内分点 ★,☆ ==（♦∀〜いただき〜♪♬）
• EはACの中点だから
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{2}\)
• GはBCを2 : 1に内分する点だから
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}\)
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EG}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) 　\(\displaystyle =\frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}-\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{2}\)
　\(\displaystyle =\frac{-3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{6}\)
\(y=1\) → ア
(3) == ２直線の交点 ★,☆ ==
• HはDF上にあるから
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s\overrightarrow{\mathrm{DF}}\) ···(#1)と書ける
• また，HはEG上にあるから
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}+t\overrightarrow{\mathrm{EG}}\) ···(#2)と書ける
(#1)(#2)が一致することから，次の等式が成り立つ
　\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s\overrightarrow{\mathrm{DF}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}+t\overrightarrow{\mathrm{EG}}\)
したがって
　\(\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}+s\frac{-3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{6}\)
　\(\displaystyle=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{2}+t\frac{-3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{6}\)
係数を整理すると
　\(\displaystyle (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{s}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\frac{1}{2}+\frac{s}{6})\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
　\(\displaystyle =(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(\frac{1}{2}+\frac{t}{6})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{t}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ···(#3)
(#3)より
\(t=s\)
\(\displaystyle \frac{s}{3}=\frac{1}{2}+\frac{t}{6}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{s}{6}=\frac{t}{3}\)
これを解くと，\(s=t=3\)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
\(p=-1,q=1,r=1\) だから，\(p^2+q^2+r^2=3\) → タ
(4) == 後は簡単 ★,☆ ==
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
　\(\displaystyle =-|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
ここで，OABCは，1辺の長さが2の正四面体であるから
　\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2\)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2\times 2\times \cos 60^{\circ}=2\)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2\times 2\times \cos 60^{\circ}=2\)
結局
　\(\displaystyle -|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
　\(\displaystyle =-4+2+2=0\) → ア
→解説を隠す←

　図のような平行六面体OADB-CEGFにおいて，辺DGを \(x:1-x\)
\((0\lt x\lt 1)\) に内分する点をQ，3点A, B, Gを通る平面と直線OQの交点をPとする．また，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}},\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) をそれぞれ，\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1) ==★,☆==
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DQ}}\)
\(\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
\(\displaystyle =\vec{a}+\vec{b}+x\vec{c}\)···（答）
(2) ==★,☆==
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) より
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k(\vec{a}+\vec{b}+x\vec{c})\)···(#1)
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AG}}\) より
　\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s(\vec{b}-\vec{a})+t(\cancel{\vec{a}}+\vec{b}+\vec{c}-\cancel{\vec{a}})\)
　　\(=-s\vec{a}+(s+t)\vec{b}+t\vec{c}\)···(#2)
(#2)により
　\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)
　　\(=(1-s)\vec{a}+(s+t)\vec{b}+t\vec{c}\)···(#3)
　3つの空間ベクトル \(\vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) は\(\vec{0}\) でなく同一平面内にないから
\(k=1-s\)
\(k=s+t\)
\(kx=t\)
この連立方程式を解くと
　\(\displaystyle k=\frac{1}{2-x},s=\frac{1-x}{2-x},t=\frac{x}{2-x}\)···（答）
(3) ==★,☆==
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{3}\)
　 \(\displaystyle =\frac{2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}\)のとき
　\(\displaystyle \frac{2\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}=(1-s)\vec{a}+(s+t)\vec{b}+t\vec{c}\) より
　\(\displaystyle s=\frac{1}{3},t=\frac{1}{3}\)
(2)の結果に代入すると
　\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)···（答）
→解説を隠す←

　四面体OABCにおいて，\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OP}}\!+\!2\overrightarrow{\mathrm{AP}}\!+\!3\overrightarrow{\mathrm{BP}}\!+\!4\overrightarrow{\mathrm{CP}}\!=\!\vec{0}\) をみたす点をPとし，\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OA}}\!=\!\vec{A},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\!=\!\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}\!=\!\vec{c},\overrightarrow{\mathrm{OP}}\!=\!\vec{p}\) とおく．

(1) == ★,☆ ==
•　\(\vec{p}+2(\vec{p}-\vec{a})+3(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})=\vec{0}\)
　\(10\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}\)
　\(\displaystyle \vec{p}=\frac{2}{10}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{4}{10}\vec{c}\)
　　\(\displaystyle =\frac{1}{5}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\)···（答）
(2) ==平面と直線の交点 ★★,☆☆ ==
• HはOPの延長上にあるから
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{p}\hspace{5px}(k\gt 1)\) と書ける．
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}} \)
\(\displaystyle =k(\frac{1}{5}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}) \)
• また，Hは△ABC上にあるから
　\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{AB}}+m\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) と書ける．
　\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{a}+l(\vec{b}-\vec{a})+m(\vec{c}-\vec{a})\)
　　\(\displaystyle =(1-l-m)\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c}\)
• したがって，交点Hでは，次の等式が成り立つ
\(\displaystyle k(\frac{1}{5}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c})=(1-l-m)\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c} \)
• \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) は同一平面上にないから
\(\displaystyle \frac{1}{5}k=1-l-m \)
\(\displaystyle \frac{3}{10}k=l \)
\(\displaystyle \frac{2}{5}k=m \)
この連立方程式を解くと，\(\displaystyle k=\frac{10}{9},l=\frac{1}{3},m=\frac{2}{9}\) となるから
\(\displaystyle \vec{h}=\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{4}{9}\vec{c}\)···（答）
(3) ==2直線の交点 ★★,☆☆==
• QはCHの延長上にあるから
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s\overrightarrow{\mathrm{CH}}\hspace{5px}(s\gt 1)\) と書ける．
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\vec{c}+s(\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{4}{9}\vec{c}-\vec{c}) \)
　\(\displaystyle =\frac{2}{9}s\vec{a}+\frac{1}{3}s\vec{b}+(1-\frac{5}{9}s)\vec{c} \)···(#1)
• また，QはAB上にあるから
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}\hspace{5px}(0\leqq t\leqq 1)\) と書ける．
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\vec{a}+t(\vec{b}-vec{a})\)
　\(\displaystyle=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}\)···(#2)
(#1)(#2)より
　\(\displaystyle \frac{2}{9}s\vec{a}+\frac{1}{3}s\vec{b}+(1-\frac{5}{9}s)\vec{c}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b} \)
ここで，\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) は同一平面上にないから
\(\displaystyle \frac{2}{9}s=1-t \)
\(\displaystyle \frac{1}{3}s=t \)
\(\displaystyle 1-\frac{5}{9}s=0 \)
この連立方程式を解くと，\(\displaystyle t=\frac{3}{5},s=\frac{9}{5}\) となるから
\(\displaystyle \mathrm{\frac{AQ}{QB}}=\frac{t}{1-t}=\frac{3}{2}\)···（答）
→解説を隠す←

　正方形ABCDを底面とし，頂点をOとする四角錘OABCDを考える．正方形ABCDの1つの辺の長さは2で，OA=OB=OC=OD=\(\sqrt{3}\) とする．また，AからOBに下した垂線をAMとする．

(1) == ★,☆ ==
図2において，\(\displaystyle\mathrm{OA}=\sqrt{3},\mathrm{OB}=\sqrt{3}\)
\(\displaystyle\mathrm{AB}=2\) だから，余弦定理により
\(\displaystyle\mathrm{AB^2=OA^2+OB^2}\)
\(\displaystyle\mathrm{-2OA\cdot OB}\cos\theta_1\)
　　↓
\(\displaystyle\mathrm{OA\cdot OB}\cos\theta_1\)
\(\displaystyle =\frac{\mathrm{OA^2+OB^2-AB^2}}{2}=\frac{3+3-4}{2}=1\)
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\mathrm{OA\cdot OB}\cos\theta_1\)
\(=1\)···（答）
図3において，\(\displaystyle\mathrm{OA}=\sqrt{3},\mathrm{OC}=\sqrt{3}\)
\(\displaystyle\mathrm{AC}=2\sqrt{2}\) だから，余弦定理により
\(\displaystyle\mathrm{AC^2=OA^2+OC^2}\)
\(\displaystyle\mathrm{-2OA\cdot OC}\cos\theta_2\)
　　↓
\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
\(\displaystyle =\mathrm{OA\cdot OC}\cos\theta_2\)
\(\displaystyle =\frac{\mathrm{OA^2+OC^2-AC^2}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{3+3-8}{2}=-1\)···（答）
(2) == ★,☆☆ ==
図1において，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)とおく
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) となる \(t\) の値を求める
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
　\(\displaystyle =-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0\)
ここで，(1)の結果から，\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OB}}=1\)，また，\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}\) だから
　\(\displaystyle -1+3t=0\)
　\(\displaystyle t=\frac{1}{3}\)
したがって，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AM}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
• 同様にして，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=-\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
•　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\mathrm{MA}\cdot\mathrm{MC}\cos\theta\)···（#1）
（#1）の（左辺）=\(\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}})\)
\(\displaystyle \!=\!\overrightarrow{\mathrm{OA}}\!\cdot\!\overrightarrow{\mathrm{OC}}\!-\!\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\!\cdot\!\overrightarrow{\mathrm{OC}}\!-\!\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\!\cdot\!\overrightarrow{\mathrm{OB}}\!+\!\frac{1}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
\(\displaystyle -1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}\)
（#1）の（右辺）を求めるための準備
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MA}}=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}})\)
\(\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
\(\displaystyle =3-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\)
\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MA}}|=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)
\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MC}}|\) も同様にして\(\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}\)
（#1）の（右辺）=\(\displaystyle \frac{8}{3}\cos\theta\)
（#1）は，\(\displaystyle -\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\cos\theta\)
したがって，\(\displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2}\)
0<θ<πのとき，\(\displaystyle \theta=\frac{2}{3}\pi\)···（答）
→解説を隠す←

　座標空間の原点Oを中心とする半径1の球面上に点A, B, Cがあり，関係式
を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)　△OABの面積を求めよ．

(1) == ★,☆ ==
• 問題文の仮定により
　\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1\) ···(#1)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2},\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{3},\)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\frac{1}{6}\) ···(#2)
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}\) のなす角をθとすると
　\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cdot |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\theta\)
　\(\displaystyle \frac{1}{2}=1\times 1\times \cos\theta\)
　\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2} \)
このとき
　\(\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
　\(\displaystyle \mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cdot|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\sin\theta\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{2}\times 1\times 1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} \)···（答）
(2) == ★,☆☆ ==
• CP⊥OAだから
　\(\displaystyle (a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=0\)
　\(\displaystyle a\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=0\)
(#1)(#2)により
　\(\displaystyle a+\frac{1}{2}b-\frac{1}{3}=0\)
　\(\displaystyle 6a+3b=2\) ···(#3)
• CP⊥OBだから
　\(\displaystyle (a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0\)
　\(\displaystyle a\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0\)
(#1)(#2)により
　\(\displaystyle \frac{1}{2}a+b+\frac{1}{6}=0\)
　\(\displaystyle 3a+6b=-1\) ···(#4)
(#3)(#4)を解くと
　\(\displaystyle a=\frac{5}{9},b=-\frac{4}{9}\)···（答）
(3) == ★,☆☆ ==
• 四面体OABCの体積=（△OABの面積）×CP÷3　を使う．
• △OABの面積は，(1)の結果が使える
• \(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2\!=\!(\frac{5}{9}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\!-\!\frac{4}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\!-\!\overrightarrow{\mathrm{OC}})\!\cdot\!(\frac{5}{9}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\!-\!\frac{4}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\!-\!\overrightarrow{\mathrm{OC}})\)
　\(\displaystyle =\frac{25}{81}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+\frac{16}{81}|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2\)
　　\(\displaystyle -\frac{40}{81}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{8}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\frac{10}{9}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
　\(\displaystyle =\frac{25}{81}+\frac{16}{81}+1-\frac{20}{81}+\frac{8}{9}\times(-\frac{1}{6})-\frac{10}{9}\times\frac{1}{3}\)
　\(\displaystyle =\frac{20}{27}\)
　\(\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{9}\)
• 四面体OABCの体積=\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{2\sqrt{15}}{9}\div 3=\frac{\sqrt{5}}{18}\)···（答） →解説を隠す←

　四面体OABCにおいて，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\) ，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) ，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおくとき， \(\displaystyle \mid\vec{a}\mid=2,\hspace{3px}\mid\vec{b}\mid=\sqrt{3},\hspace{3px}\vec{a}\cdot\vec{b}=2\) であるとする．また，辺ABを1 : 2に内分する点をD，線分CDを2 : 3に内分する点をEとする．このとき，線分ODの長さは，OD=エ であり，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}\) を \(\displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) を用いて表すと \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\)オ である．さらに，線分ODを2 : 1に内分する点をFとし，線分CFと線分OEとの交点をGとすると，\(\displaystyle \mathrm{\frac{OG}{OE}}=\)カ であり，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}\) を \(\displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) を用いて表すと \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\)キ である．

• Dは辺ABを1 : 2に内分する点だから
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OD}=\frac{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{3}} =\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3} \)
• \(\displaystyle \mathrm{\mid\overrightarrow{OD}\mid}^2=\mathrm{\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OD}} \)
　\(\displaystyle =\Big(\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}\Big)\cdot\Big(\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}\Big) \)
　\(\displaystyle =\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{a}+\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{9}\vec{b}\cdot\vec{b} \)
　\(\displaystyle =\frac{4}{9}\mid\vec{a}\mid^2+\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{9}\mid\vec{b}\mid^2 \)
　\(\displaystyle =\frac{4}{9}\times 4+\frac{4}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 3=3 \)
　\(\displaystyle \mathrm{\mid\overrightarrow{OD}\mid}=\sqrt{3} \) → エ···（答）
• EはCDを2 : 3に内分する点だから
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OE}=\frac{3\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OD}}{5}} \)
　\(\displaystyle =\frac{\displaystyle 3\vec{c}+2\times\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}}{5}\!=\!\frac{4\vec{a}+2\vec{b}+9\vec{c}}{15} \)→オ···（答）
• GはOE上にあるから，実数 \(t\hspace{3px}(0\lt t\lt 1)\) を用いて，次の形に書ける
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=t\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\times\frac{4\vec{a}+2\vec{b}+9\vec{c}}{15}\)···(#1)
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{9}\) だから
　GはCF上にもあるから，実数 \(s\hspace{3px}(0\lt s\lt 1)\) を用いて，次の形に書ける
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\vec{c}+s\times(\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{9}-\vec{c}) \)
　\(\displaystyle =\frac{4s}{9}\vec{a}+\frac{2s}{9}\vec{b}+(1-s)\vec{c} \)···(#2)
ベクトル \(\vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) は同一平面内にないから，(#1)(#2)より
\(\displaystyle \frac{4t}{15}\vec{a}=\frac{4s}{9}\vec{a}\)
\(\displaystyle \frac{2t}{15}\vec{b}=\frac{2s}{9}\vec{b}\)
\(\displaystyle \frac{9t}{15}\vec{c}=(1-s)\vec{c}\)
したがって
\(\displaystyle 3t=5s\)
\(\displaystyle \frac{3t}{5}t=1-s\)
　\(\displaystyle s=\frac{1}{2},\hspace{2px}t=\frac{5}{6}\)
\(\displaystyle \mathrm{\frac{OG}{OE}}=\frac{5}{6}\) → カ···（答）
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{4}{15}\times\frac{5}{6}\vec{a}+\frac{2}{15}\times\frac{5}{6}\vec{b}+\frac{9}{15}\times\frac{5}{6}\vec{c}\)
　\(\displaystyle =\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\) → キ···（答） →解説を隠す←

　座標空間に原点Oと3点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)がある．
　四面体OABCの辺AO上に点\(\displaystyle\mathrm{P}(\frac{1}{2},0,0)\) をとり，辺AC上に点\(\displaystyle\mathrm{Q}(\frac{1}{3},0,\frac{1}{3})\) をとる．辺BCを4:1に内分する点をRとする.さらに，sを0<s<1を満たす実数とし，線分PRをs:1−sに内分する点をSとする.
(1)　Rの座標を求めよ．
(2)　Sの座標をsを用いて表せ．

(1) == ★,☆ ==
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{5}\)
　\(\displaystyle =\frac{(0, 1, 0)+4(0, 0, 1)}{5}\)
　\(\displaystyle =(0,\frac{1}{5},\frac{4}{5})\)
　\(\displaystyle R(0,\frac{1}{5},\frac{4}{5})\) ···（答）
(2) == ★,☆ ==
\(\displaystyle\mathrm{P}(\frac{1}{2},0,0)\),\(\displaystyle R(0,\frac{1}{5},\frac{4}{5})\) を結ぶ線分をs:1−sに内分する点は
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=(1-s)(\frac{1}{2},0,0)+s(0,\frac{1}{5},\frac{4}{5})\)
　\(\displaystyle =(\frac{1}{2}(1-s),0,0)+(0,\frac{1}{5}s,\frac{4}{5}s)\)
　\(\displaystyle =(\frac{1}{2}(1-s),\frac{1}{5}s,\frac{4}{5}s)\)
　\(\displaystyle S(\frac{1}{2}(1-s),\frac{1}{5}s,\frac{4}{5}s)\) ···（答）
(3) == 直線のベクトル方程式 ★,☆☆ ==
• 直線QS上の点をXとおくと
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+t\overrightarrow{\mathrm{QS}}\)
\(\displaystyle =(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3})+t\{(\frac{1}{2}(1-s),\frac{1}{5}s,\frac{4}{5}s)-(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3})\}\)
\(\displaystyle =(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3})+t\{(\frac{1}{2}(1-s)-\frac{1}{3},\frac{1}{5}s,\frac{4}{5}s-\frac{2}{3})\}\)
\(\displaystyle =(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3})+(\frac{t}{2}(1-s)-\frac{t}{3},\frac{1}{5}ts,\frac{4}{5}ts-\frac{2}{3}t)\)
\(\displaystyle =(\frac{1}{3}+\frac{t}{2}(1-s)-\frac{t}{3},\frac{1}{5}ts,\frac{2}{3}+\frac{4}{5}ts-\frac{2}{3}t)\)
• Xがy軸上にあるとき
\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{t}{2}(1-s)-\frac{t}{3}=0)\)···(#1)
\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{5}ts-\frac{2}{3}t=0\)···(#2)
連立方程式(#1)(#2)を解くと
　\(\displaystyle s=\frac{5}{9}\)···（答）
　\(t=3\)
→解説を隠す←

　座標空間内に平行六面体OABC-DEFGがあり，
　　　O(0, 0, 0), A(2, 1, 1), C(1, 2, 3), F(2, 3, 4)
であるとする．また，線分EF上に点Hを，線分GHと線分EFが垂直になるようにとり，3点O, G, Hが定める平面をαとおく．
　このとき，以下の問いに答えよ．
(1)　4点B, D, E, Gの座標を求めよ．
(2)　点Hの座標を求めよ．
(3)　平面αと線分AEの交点を求めよ．

(1) == ★,☆ ==（いただき〜♪♫♬）
• \(\mathrm{\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}\)
　\(=(2,1,1)+(1,2,3)\)
　\(=(3,3,4)\)
　\(B(3,3,4)\) ···（答）
• \(\mathrm{\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BF}}\)
　\(=(2,3,4)+(3,3,4)\)
　\(=(-1,0,0)\)
　\(D(-1,0,0)\) ···（答）
• \(\mathrm{\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}}\)
　\(=(2,1,1)+(-1,0,0)\)
　\(=(1,1,1)\)
　\(E(1,1,1)\) ···（答）
• \(\mathrm{\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}\)
　\(=(1,2,3)+(-1,0,0)\)
　\(=(0,2,3)\)
　\(G(0,2,3)\) ···（答）
(2) == ★,☆☆ ==（いただき〜♫♪♬）
• HはEを通り，EFに平行な直線上にあるから
　\(\mathrm{\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OE}+t\overrightarrow{EF}}\)
　\(=(1,1,1)+t(1,2,3)=(1+t,1+2t,1+3t)\)
• \(\mathrm{\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}+t\overrightarrow{OG}}\)
　\(=(1+t,1+2t,1+3t)-(0,2,3)\)
　\(=(t+1,2t-1,3t-2)\)
• \(\mathrm{\overrightarrow{EF}}=(2,3,4)-(1,1,1)=(1,2,3)\)
• \(\mathrm{\overrightarrow{GH}\cdot\overrightarrow{EF}}=1\cdot(t+1)+2\cdot(2t-1)+3\cdot(3t-2)\)
　\(=t+4t+9t+1-2-6=14t-7=0\) より
　\(\displaystyle t=\frac{1}{2}\)
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OH}}=(1+\frac{1}{2},1+2\times\frac{1}{2},1+3\times\frac{1}{2})\)
　\(\displaystyle =(\frac{3}{2},2,\frac{5}{2})\)
\(\displaystyle \mathrm{H}(\frac{3}{2},2,\frac{5}{2})\) ···（答）
(3) == ★,☆☆ ==
• 平面αの方程式をax+by+cz=dとおくと
　\(\mathrm{O}(0,0,0)\)を通るから，\(d=0\) ···[#1]
　\(\mathrm{G}(0,2,3)\)を通るから，\(2b+3c=d\) ···[#2]
　\(\displaystyle \mathrm{H}(\frac{3}{2},2,\times\frac{5}{2})\)を通るから
　\(\displaystyle \frac{3}{2}a+2b+\frac{5}{2}c=d\) ···[#3]
連立方程式[#1][#2][#3]を解くと，
　\(\displaystyle a=t,b=-\frac{9}{2}t, c=3t,d=0\)
平面αの方程式は
　\(\displaystyle tx-\frac{9}{2}ty+3tz=0\)
　\(\displaystyle x-\frac{9}{2}y+3z=0\)
　\(\displaystyle 2x-9y+6z=0\)
• 直線AE上の点をP(x,y,z)とおくと
　　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}}+s\mathrm{\overrightarrow{AE}}\)
　　\(\displaystyle (x,y,z)=(2,1,1)+s\{(1,1,1)-(2,1,1)\} \)
　　　　　\(\displaystyle =(2,1,1)+s(-1,0,0)=(2-s,1,1) \)
• P(x,y,z)がα上にあるから
　\(\displaystyle 2(2-s)-9+6=0\)
　\(\displaystyle 2s=1\)
　\(\displaystyle s=\frac{1}{2}\)
交点Pの座標は，\(\displaystyle (\frac{3}{2},1,1)\) ···（答）
(4) == ★★,☆☆☆ ==
• (3)の結果から，\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{PH}}=(\frac{3}{2},2,\frac{5}{2})-(\frac{3}{2},1,1)\)
　\(\displaystyle =(0,1,\frac{3}{2})\)
また，(1)の結果から，\(\mathrm{\overrightarrow{OG}}=(0,2,3)\)だから
　\(\mathrm{\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{PH}}\)
OG∥PHとなるから，四角形OGPHは台形で，上底の長さはPH，下底の長さはOGになる
　\(\mathrm{OG}=\sqrt{0^2+2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
　\(\displaystyle \mathrm{PH}=\frac{1}{2}\mathrm{OG}=\frac{1}{2}\sqrt{13}\)
• PからOGに引いた垂線の足をQとして，線分PQの長さを求める．
• \(\mathrm{\overrightarrow{OG}}=(0,2,3)\) だから，PからOGに引いた垂線の足をQとすると
　\(\mathrm{\overrightarrow{OQ}}=t\mathrm{\overrightarrow{OG}}=t(0,2,3)\)
　\(=(0,2t,3t)\)
　\(\mathrm{\overrightarrow{PQ}}=\mathrm{\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}}\)
　\(\displaystyle =t(0,2,3)-(\frac{3}{2},1,1)=(-\frac{3}{2},2t-1,3t-1\)
• \(\mathrm{\overrightarrow{PQ}}\perp\vec{u}\) のとき
　\(\displaystyle 0\cdot(-\frac{3}{2})+2t\cdot(2t-1)+3t\cdot(3t-1)=0\)
　\(\displaystyle 13t^2=5t\)
　\(\displaystyle t=0,\frac{5}{13}\)
ここで，\(t=0\) のときは \(\mathrm{Q}\) が\(\mathrm{O}\) と一致し，\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{PQ}}=(-\frac{3}{2},-1,-1)\) と \(\mathrm{\overrightarrow{OG}}=(0,2,3)\) とは垂直にならない
\(\displaystyle t=\frac{5}{13}\) のとき
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OQ}}=(0,\frac{10}{13},\frac{15}{13})\)
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{PQ}}=(\frac{3}{2},\frac{3}{13},\frac{2}{13})\)
　\(\displaystyle \mathrm{PQ}^2=(\frac{3}{2})^2+(\frac{3}{13})^2+(\frac{2}{13})^2\)
　\(\displaystyle =\frac{9}{4}+\frac{9}{169}+\frac{4}{169}=\frac{121}{52}\)
　\(\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{11}{2\sqrt{13}}=\frac{11}{26}\sqrt{13}\)
• 台形の面積は，（上底+下底）×高さ÷2 で求められるから
　\(\displaystyle \mathrm{(OG+PH)\times PQ\div 2}\)
\(\displaystyle \mathrm{OG}=\sqrt{13},\mathrm{PH}=\frac{1}{2}\sqrt{13},\mathrm{PQ}=\frac{11}{26}\sqrt{13}\)だから
　\(\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{13}\times \frac{11}{26}\sqrt{13}\div 2=\frac{33}{8}\) ···（答）
→解説を隠す←

　四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=3, AB=BC=2, AC=1とする．また， \(\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\hspace{3px} \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \),\(\hspace{3px}\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \) とする．

(1) == ★★,☆☆ ==
余弦定理により
　\(\mathrm{AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos(\angle AOB)}\)
　\(2^2=3^2+3^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
　\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{14}{2}=7\) ···（答）
同様にして
　\(\mathrm{AC^2=OA^2+OC^2-2OA\cdot OC\cos(\angle AOC)}\)
　\(1^2=3^2+3^2-2\vec{a}\cdot\vec{c}\)
　\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{c}=\frac{17}{2}\) ···（答）
なお，次の内積の値も後の問題で使う
　\(\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=7\)
(2) == ★★,☆☆☆ ==
• \( \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)とおく．
OHが△ABCの平面と垂直であるための条件は，\( \overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \( \overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)が成り立つことであるから
• \( \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\)より
\( \{\vec{a}+s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a})\}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0\)
\( \{(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}\}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0\)
\( (1-s-t)\vec{a}\cdot\vec{b}+s\vec{b}\cdot\vec{b}+t\vec{c}\cdot\vec{b}\)
　　\( -(1-s-t)\vec{a}\cdot\vec{a}-s\vec{b}\cdot\vec{a}-t\vec{c}\cdot\vec{a}=0\)
\(\displaystyle 7(1\!-\!s\!-\!t)+9s+7t \!-\!9(1\!-\!s\!-\!t)\!-\!7s\!-\!\frac{17}{2}t=0\)
\(\displaystyle -2+4s+\frac{1}{2}t=0\)
\(\displaystyle 8s+t=4\) ···(#1)
• \( \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0\)より
\( \{\vec{a}+s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a})\}\cdot(\vec{c}-\vec{a})=0\)
\( \{(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}\}\cdot(\vec{c}-\vec{a})=0\)
\( (1-s-t)\vec{a}\cdot\vec{c}+s\vec{b}\cdot\vec{c}+t\vec{c}\cdot\vec{c}\)
　　\( -(1-s-t)\vec{a}\cdot\vec{a}-s\vec{b}\cdot\vec{a}-t\vec{c}\cdot\vec{a}=0\)
\(\displaystyle \frac{17}{2}(1\!-\!s\!-\!t)+7s+9t \!-\!9(1\!-\!s\!-\!t)\!-\!7s\!-\!\frac{17}{2}t=0\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}(1\!-\!s\!-\!t)+\!\frac{1}{2}t=0\)
\(\displaystyle s+2t=1\) ···(#2)
(#1)(#2)より
\(\displaystyle s=\frac{7}{15},\hspace{5px}t=\frac{4}{15}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{a}+\frac{7}{15}(\vec{b}-\vec{a})+\frac{4}{15}(\vec{c}-\vec{a})\)
\(\displaystyle =\frac{4}{15}\vec{a}+\frac{7}{15}\vec{b}+\frac{4}{15}\vec{c}\) ···（答）
→解説を隠す←

　正四面体OABCの辺OAを1 : 2に内分する点をP，辺OBを3 : 2に内分する点をQとする．三角形ABCの重心をGとする．3点P, Q, Gを含む平面が辺ACと交わる点をRとする．
　このとき

\(\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\)	カ	\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\)	ク	\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
	キ		ケ

である．

• \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおくと
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{3}\vec{a}\)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{5}\vec{b}\)
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\)
• 3点P, Q, Gを含む平面上の点をXとすると
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+t\overrightarrow{\mathrm{PG}}\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{3}\vec{a}+s(\frac{3}{5}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a})+t(\cancel{\frac{1}{3}\vec{a}}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}-\cancel{\frac{1}{3}\vec{a}})\)
　\(\displaystyle =(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}s)\vec{a}+(\frac{3}{5}s+\frac{1}{3}t)\vec{b}+\frac{1}{3}t\vec{c}\)···(#1)
• 辺AC上の点をYとすると
　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{AC}}\hspace{10px}(0\leqq u\leqq 1)\)
　\(\displaystyle =\vec{a}+u(\vec{c}-\vec{a})\)
　\(\displaystyle =(1-u)\vec{a}+u\vec{c}\hspace{10px}(0\leqq u\leqq 1)\)···(#2)
• R は(#1)(#2)の両方を満たすから
　\(\displaystyle (\frac{1}{3}-\frac{1}{3}s)\vec{a}+(\frac{3}{5}s+\frac{1}{3}t)\vec{b}+\frac{1}{3}t\vec{c}\)
　　\(\displaystyle =(1-u)\vec{a}+u\vec{c}\hspace{20px}(0\leqq u\leqq 1)\)···(#3)
(#3)において，\(\vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) は同一平面内にないから
\(\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{3}s=1-u\)
\(\displaystyle \frac{3}{5}s+\frac{1}{3}t=0\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}t=u\)
この連立方程式を解くと，\(\displaystyle u=\frac{3}{7},s=-\frac{5}{7},t=\frac{9}{7}\) したがって，　\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{c}\) ···(答)
→解説を隠す←

　四面体OABCは辺の長さがOA=3, OB=OC=4であり，三角形ABCは一辺の長さが5の正三角形である．\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1) == ★★,☆ ==
• \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3^2+4^2-5^2}{2}=0\)···（答）
• \(\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{4^2+4^2-5^2}{2}=\frac{7}{2}\)···（答）
• \(\displaystyle \vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{3^2+4^2-5^2}{2}=0\)···（答）
(2) == ★★,☆☆ ==
• (1)の結果から，\(\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{4^2+4^2-5^2}{2}=\frac{7}{2}\)だから，
　\(\displaystyle \cos(\mathrm{\angle OBC})=\frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|}\)
　\(\displaystyle =\frac{7}{2}\times\frac{1}{4\times 4}=\frac{7}{32}\)
　\(\sin(\mathrm{\angle OBC})=\sqrt{1-(\displaystyle\frac{7}{32})^2}=\dfrac{5\sqrt{39}}{32}\)
• \(\displaystyle\mathrm{\triangle{OBC}}=\frac{1}{2}\times 4\times 4\times\frac{5\sqrt{39}}{32}=\frac{5\sqrt{39}}{4} \)···（答）
(3) == ★★,☆☆ ==
• (1)の結果から，OA⊥OB, OA⊥OC．したがって，OAはOBCの平面と垂直
• 四面体OABCの体積は
　\(\displaystyle \mathrm{OA\!\times\!\triangle{OBC}}\div 3\!=\!3\!\times\!\frac{5\sqrt{39}}{4}\div 3\!=\!\frac{5\sqrt{39}}{4}\)···(答)
(4) == ★★,☆☆ ==
• AD:DB=OA:OB=3:4だから
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OD}}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b}\)···(答)
• 同様にして，OE:EB=OA:AB=3:5だから
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{AE}}=\frac{3}{8}\vec{b}\)
• Iは，ODとAEの交点だから
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OI}}=s(\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b})\)
　　　\(\displaystyle =\vec{a}+t(\frac{3}{8}\vec{b}-\vec{a})\)
　\(\displaystyle \frac{4}{7}s\vec{a}+\frac{3}{7}s\vec{b}=(1-t)\vec{a}+\frac{3}{8}t\vec{b}\)
• \(\vec{a},\vec{b}\) は平行でなく，\(\vec{0}\) でもないから
\(\displaystyle \frac{4}{7}s=1-t\)
\(\displaystyle \frac{3}{7}s=\frac{3}{8}t\)
この連立方程式を解くと，\(\displaystyle s=\frac{7}{12},t=\frac{2}{3}\)
　\(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OI}}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}\)···(答)
　\(\displaystyle |\mathrm{\overrightarrow{OI}}|^2=\frac{1}{9}|\vec{a}|^2+\frac{1}{16}|\vec{b}|^2+\frac{1}{6}\vec{a}\cdot\vec{b}\)
　　\(\displaystyle =1+1+0=2\)
　\(\displaystyle |\mathrm{\overrightarrow{OI}}|=\sqrt{2}\)···(答)
• \(\displaystyle \mathrm{\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}}=(\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b})\cdot\vec{c}\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{c}+\frac{1}{4}\vec{b}\cdot\vec{c}=0+\frac{1}{4}\times\frac{7}{2}=\frac{7}{8}\)
　\(\displaystyle \sqrt{2}\times 4\cos\alpha=\frac{7}{8}\)
　\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{7}{8\times 4\sqrt{2}}=\frac{7}{32\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{64} \)···(答)
→解説を隠す←

　1辺の長さが4の正四面体ABCDにおいて，辺BCの中点をEとおく．動点Pは \(\displaystyle \mathrm{PE=\frac{1}{2}AE}\) を満たしながら△AEDの内部および周上を動くものとし，∠PED=θとおく．このとき，\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\)アである．また，\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PD}}\)をθを用いて表すと\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\)イであり，その最大値はウである．\(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PD}}\)が最大となるときの点Pと平面ACDの距離はエである．

• PEの長さが一定だから，△BPCの形は一定（右図1の△BP₀Cと同じ方とになる）
• AB=4, BE=2などをもとにして，他の辺の長さを三平方の定理で求めると，右図2のようになる．
• \(\mathrm{P_0B=\sqrt{7},P_0C}=\sqrt{7}\)
\(\mathrm{BC}=4\) の3辺の長さから内積 \(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{P_0B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_0C}}\) を求める. • \(\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{P_0B}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_0C}}=\frac{7+7-16}{2}=-1\)···(答)
• 図1において，E→Cの向きにx軸を，E→Dの向きにy軸を，これらに垂直な上向きにz軸を導入すると
　\(\overrightarrow{\mathrm{PC}}=(2,-\sqrt{3}\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta)\)
　\(\overrightarrow{\mathrm{PD}}=(0,2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta)\)
　\(\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PD}}=2\times 0+(-\sqrt{3}\cos\theta)(2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos\theta)\)
　　　　\(+3\sin^2\theta\)
　\(=-6\cos\theta+3\cos^2\theta+3\sin^2\theta=3-6\cos\theta\)···(答)
• 右図3において \(\displaystyle\cos\theta=\frac{12+12-16}{2\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\) だか
　\(\displaystyle \frac{1}{3}\leqq \cos\theta\leqq 1\)
　\(-3\leqq 3-6\cos\theta\leqq 1\)
最大値は \(1\) ···(答)
• 点B, E, P₀から平面ACDに引いた垂線の長さをl, m, hとすると，相似図形の性質から
　\(l:m=4:2=2:1\)
　\(m:h=2\sqrt{3}:\sqrt{3}=2:1\)
だから
　\(l:h=4:1\)
• 次に，正四面体ABCDの高さ \(l\) は，図3でAからEDに引いた垂線の長さに等しい．
　\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{3}\) だから \(\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
　\(\displaystyle l=2\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\)
　\(\displaystyle h=\frac{l}{4}=\frac{\sqrt{6}}{3}\) ···(答)
→解説を隠す←

　正十二面体は，すべての面が合同な正五角形である．右の図のような正多面体であり，各頂点に3つの正五角形が集まっている．正十二面体の1辺の長さを2とし，点O, A, B, C, Dを右の図に示す正十二面体の頂点とする．\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\hspace{2px}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\hspace{2px}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とする．次の各問いに答えよ．ただし，１辺の長さが2の正五角形において，対角線の長さはすべて\(1+\sqrt{5}\) であることを用いてよい．

(1) == ★,☆：教科書レベルの基本 ==
• \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)···（答）
(2) == ★,☆☆ ==
• \(\vec{a},\hspace{2px}\vec{c}\) のなす角を \(\theta\) とするとき，\(\vec{a}\cdot\vec{c}=\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos\theta\) を求める．
• ここで，\(\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{c}\mid=2,\hspace{3px}\mid\vec{a}-\vec{c}\mid=1+\sqrt{5}\) を使うと，余弦定理により，
　\(\mid\vec{a}-\vec{c}\mid^2=\mid\vec{a}\mid^2+\mid\vec{c}\mid^2-2\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos\theta\)
　\((1+\sqrt{5})^2=2^2+2^2-2\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos\theta\)
　\(\displaystyle \mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos\theta=\frac{8-(1+5+2\sqrt{5})}{2}\)
　\(\displaystyle =\frac{2-2\sqrt{5}}{2}=1-\sqrt{5}\)···（答）
(3) == ★★,☆☆ ==
• ベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\) が三角形ABDで定まる平面に垂直であるためには，その平面上の（平行でなく \(\vec{0}\) でない）2つのベクトルと垂直になればよい.
• \(\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
　\(\displaystyle =\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+t\vec{c}\) において
\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\)···#1
\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=0\)···#2
が成り立てばよい．
#1が \(t\) の値にかかわらず成り立つことは，次のようにして示される
　\(\displaystyle (\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+t\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{a})\)
　\(\displaystyle =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}}{2}+t\vec{c}\cdot\vec{b}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{a}}{2}-t\vec{c}\cdot\vec{a}=I\)
ここで，(2)の結果及び同様の計算により
　\(\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=1-\sqrt{5}\)
　\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{c}=4\) だから
　\(\displaystyle I=\frac{1-\sqrt{5}+4}{2}+t(1-\sqrt{5})\)
　　　\(\displaystyle -\frac{4+1-\sqrt{5}}{2}-t(1-\sqrt{5})=0\)
#2を満たす \(t\) の値は，次のようにして求められる
　問題文により，\(\mathrm{OC}=2,\hspace{2px}\mathrm{AD}=1+\sqrt{5}\), AD∥OC だから\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{c}\) と書ける
　\(\displaystyle (\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+t\vec{c})\cdot (\frac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{c})\)
　\(\displaystyle =\frac{1+\sqrt{5}}{2}(\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}}{2}+t\vec{c}\cdot\vec{c})\)
　\(\displaystyle =\frac{1+\sqrt{5}}{2}(\frac{1-\sqrt{5}+1-\sqrt{5}}{2}+4t)\)
　\(\displaystyle =\frac{1+\sqrt{5}}{2}(1-\sqrt{5}+4t)=0\)
　\(\displaystyle t=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)···（答）
→解説を隠す←