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■三角形の相似条件
 次の(1)(2)(3)は三角形の相似条件と呼ばれており,そのうち1つでも成り立てば2つの三角形は相似になる.
 逆に,2つの三角形が相似であるとき,次の(1)(2)(3)はすべて成り立つ.
【要点】
(1) 2組の角がそれぞれ等しい
(2) 3組の辺の比がそれぞれ等しい
(3) 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
(解説)
(1) 三角形の内角の和は180°だから「2組の角がそれぞれ等しい」とき,「3組の角がそれぞれ等しくなる」
 相似であることを証明するには「2組」を示せば十分だということ
 右図では∠B=∠Q, ∠C=∠Rを示せば,∠A=∠Pは自動的に成り立つ.
(2) 「3組の辺の比がそれぞれ等しい」という書き方は2種類ある.
 1つは
a:a'=b:b'=c:c' …(*1)
のように
(こっちの図形):(あっちの図形)
の順に3組並べる方法
 もう一つは,連比の書き方で
a:b:c=a':b':c' …(*2)
のように
(こっちの1):(こっちの2):(こっちの3)
=(あっちの1):(あっちの2):(あっちの3)
の順に2組並べる方法
 これらの方法のうち,(*1)の書き方は

という分数に直せますが,(*2)の連比方式の書き方からはこのような比の値という考え方はできません.
 比の値[分数の形]に直すには,(*1)の方が有利です.
(3) 「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」とは,右図の例では
a:a'=b:b' …(*3)
∠C=∠R
などです.
 このうちの「辺の比」の部分は
a:b=a':b' …(*4)
と書くこともできます.(いずれもab'=ba'に対応しており,同じ関係を表す)
 ただし,(*3)の方が「相似比」に対応しており,面積比の問題への応用が楽なので(*3)の方が有利だと考えられます.(筆者の手元にある中学校の教科書はいずれも(*3)の形で書かれています)
【要点】
辺の比は
(こっちの図形):(あっちの図形)
a:a'=b:b' …(*3)
の順に並べるのが標準的
それぞれの図形で対応する辺の順に書いてもよい
a:b=a':b' …(*4)

【要点】
♪〜比例や分数は,相似を主役にすると簡単に示せる
次の(1)(2)(3)の関係は,同じものです.
また,(4)(5)(6)の関係は,同じものです.
相似であることを述べた後,使いやすい形に直せばよい.
(1) 2組の角がそれぞれ等しい
(2) 3組の辺の比がそれぞれ等しい
(3) 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい


2つの三角形は相似
(主役はこの人)

(4)
比例の関係
a:b=x:y
a:x=b:y
(5)
分数の関係

(6)
積の関係
ay=bx

(4)(5)(6)は(3)のうちの「2組の辺の比が等しい」を書き換えたもの.
「相似」ならば(4)(5)(6)は言えるが,(4)(5)(6)から「相似」というためには「間の角が等しい」ことを追加しなければならない.
【例題1】
 異なる4点A, B, C, Dが同一円周上にあって,線分ABと線分CDの交点をPとするとき
PA·PB=PC·PD
が成り立つことを証明してください.(方べきの定理)
(1) Pが円内にあるとき
 1つの弧に対する円周角は等しいから
∠CAB=∠CDB
 対頂角は等しいから,
∠APC=∠DPB
 以上により,△ACP△DBPについて,2組の角がそれぞれ等しいから
△ACP∽△DBP (←相似を示せば)
PA:PC=PD:PB (←比例が言える)
PA·PB=PC·PD (←積に直せる)
(2) Pが円外にあるとき
△APD△BPCについて
∠APD=∠BPC(共通)
∠DAB∠BCDは円に内接する四角形の向かい合う角だから,その和は180°
したがって
∠DAP=∠BCP
 以上により,△APD△BPCについて,2組の角がそれぞれ等しいから
△APD∽△BPC (←相似を示せば)
PA:PD=PC:PB (←比例が言える)
PA·PB=PC·PD (←積に直せる)

** 直線図形・証明問題 **
[1]
 右の図のように,△ABCがある。頂点B, CからそれぞれAC, ABに垂線をひき,辺AC, ABとの交点をそれぞれD, Eとし,線分BDと線分CEとの交点をFとする。
 このとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(1) △BFE∽△CFDであることを証明しなさい。
(2) 略
(茨城県2016年入試問題)
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[2]
 図1のような△ABCにおいて,AB=6cm,AC=4cm とし,AE:EB=1:2, AD:DC=3:1とする。
 このとき,次の各問いに答えなさい。
問1 図1において,△ABC∽△ADEであることを証明しなさい。ただし,証明の中に根拠となることがらを必ず書くこと。
問2 略
(沖縄県2016年入試問題)
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[3]
 右の図のように,△ABCの辺AB上に点D,辺AC上に点Eがあり,
AD:DB=AE:EC=1:3とします。
 次の問いに答えなさい。
問1 略
問2 ED:EB=1:2のとき,△BED∽△CBEを証明しなさい。
(北海道2016年入試問題)
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** 円を含む・証明問題 **
[1]
 右の図は,線分ABを直径とする半円で,点OABの中点である。点C上にあり,点Dは線分BC上にあって,OD⊥BCである。点EODの延長ととの交点,点Fは線分AEと線分BCとの交点である。
 このとき,次の各問いに答えよ。(以下略)
(1) △AFC∽△BEDであることを証明しなさい。
(2) 略
(熊本県2017年入試問題)
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[2]
 右の図で,△ABCは鋭角三角形である。
 頂点Bから辺ACに垂線を引き,辺ACとの交点をD,頂点Cから辺ABに垂線を引き,辺ABとの交点をE,線分BDと線分CEとの交点をFとする。
 点Dと点Eを結ぶ。
 次の各問に答えよ。
[問1][問3] 略
[問2] △ABC∽△ADEであることを証明しなさい。
(東京都2016年入試問題)
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[3]
 右の図のように,3点A, B, Cが円周上にあり,です。また,Aを含まない上に,B, Cと異なる点Dをとります。点Eは2つの線分ADBCの交点です。
 このとき,
BE:AC=ED:CDとなることを証明しなさい。
(岩手県2017年入試問題)
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[4]
 右の図のように,円周上の3点A, B, Cを頂点とする△ABCがあり,AB=ACである。点Aを含まない方の弧BC上に点Dをとり,ADBCの交点をEとする。
 このとき,△ADC∽△ACEであることを証明しなさい。
(栃木県2017年入試問題)
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[5]
 右の図のように,線分ABを直径とする円Oの円周上に,2点A, Bとは異なる点CAC>BCとなるようにとり,線分BCの延長上に点Bとは異なる点DAB=ADとなるようにとる。
 また,点Cをふくまない上に2点A, Bとは異なる点Eをとり,線分ABと線分CEとの交点をFとする。
 さらに,線分AE上に点GAE⊥FGとなるようにとる。
 このとき,三角形ACDと三角形FGEが相似であることを証明しなさい。
(神奈川県2015年入試問題)
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** 直線図形・値を求める問題 **
【問題1】
(選択肢の中から正しいものを1つクリック.解答すれば採点結果と解説が表示されます.)
(1)
右の図で,DE//BCのとき,線分DEの長さを求めなさい。
(岩手県2016年入試問題)
(2)
 右の図で,AD//BCであるとき,xの値を答えなさい。
(新潟県2016年入試問題)

(3)
 右の図のように,平行な2つの直線l, mに2直線が交わっている。xの値を求めなさい。
(栃木県2017年入試問題)
(4)
 右の図のように,AB=6cm, AD=12cm の平行四辺形ABCDがあり,辺DCの延長線上に,CE=2cm となる点Eをとり,線分AEと辺BCの交点をFとする。
 このとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(1) 線分CFの長さを答えなさい。
(2) 略
(新潟県2017年入試問題)

(5)
 右の図のように,平行四辺形ABCDがあり,AB=5cm である。辺AD上に点EAB=DEとなるようにとり,点Eを通り直線ABに平行な直線と対角線ACとの交点をFとすると,EF=2cm であった。また,2点C, Eを通る直線と直線ABとの交点をGとする。
 このとき,次の問い(1)〜(3)に答えよ。
(1) AF:FCを最も簡単な整数の比で表せ。
(2) 線分AGの長さを求めよ。
(3) 略
(京都府2017年入試問題)
(1)
(2)

【問題2】 少し難しい問題
(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
 右の図のように,AB=10cm の平行四辺形ABCDがあります。辺AB上に,AE=4cm となる点Eをとり,線分ECをひきます。線分ECと対角線BDとの交点をFとし,点Fを通って辺BCに平行な直線と辺ABとの交点をGとします。
 このとき,線分EGの長さを求めなさい。
(埼玉県2017年入試問題)
(2)
 図2において, AB//CDAB//EF
BG=GH=HD
AB=2cm,
CD=4cm とし,
EF=xcm とする。
xの値を求めなさい。

(沖縄県2016年入試問題)

(3)
 右の図のように,平行四辺形ABCDがある。辺ABの中点をEとし,点Eを通り線分BDに平行な直線と辺ADとの交点をFとする。また,線分CFと線分ED, BDとの交点をそれぞれG, Hとする。
 このとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(1) 略
(2) CH:HGをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
(茨城県2017年入試問題)
(4)
 右の図において,四角形ABCDは平行四辺形であり,点Eは辺ADの中点である。
 また,点Fは辺BC上の点で,BF:FC=3:1であり,点Gは辺CD上の点で,CG:GD=2:1である。
 線分BGと線分EFとの交点をHとするとき,線分BHと線分HGの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(神奈川県2017年入試問題)

** 円を含む・値を求める問題 **
【問題3】
(選択肢の中から正しいものを1つクリック.解答すれば採点結果と解説が表示されます.)
(1)
 右の図のように,円Oの円周上に点A, B, Cがある。
 ∠BACの二等分線と線分BC,円Oとの交点をそれぞれD, Eとする。
@ △ABE∽△BDEとなることを証明しなさい。
A AB=12cm,BD=8cm,BE=6cm とするとき,線分ADの長さを求めなさい。
(秋田県2015年入試問題)
@ 略(ただし,この結果をAに使う)
A
(2) …(やや難しい)
 右の図のように,線分ABを直径とする円Oがある。円Oの周上に点Cをとり,三角形ABCをつくる。∠ACBの二等分線を引き,∠ACBの二等分線と円Oの交点のうち,点C以外の交点をDとし,線分CDと線分ABの交点をEとする。また,線分ACを点Cの方向へ延長し,その延長線上にCD//FBとなるように点Fをとる。このとき,次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1) 三角形CBFは二等辺三角形であることを証明せよ。
(2) AB=10cm ,AC=8cm とするとき,次の@・Aの問いに答えよ。
 @ 線分AEの長さを求めよ。
 A 線分DEの長さを求めよ。
(高知県2016年入試問題)
(1)
 仮定により,CE∠ACBの二等分線だから
∠ACE=∠BCE
CE//FBで平行線の同位角は等しいから
∠ACE=∠CFB
CE//FBで平行線の錯角は等しいから
∠BCE=∠CBF
以上から
∠CFB=∠CBF
2つの底角が等しいから△CBFは二等辺三角形(証明終)
↓左下に続く

(2)@ (2)A

(3) …(やや難しい)
 下の図1,図2のように,線分ABを直径とする円Oの周上に2点A, Bと異なる点Cがある。円Oの周上の点Pのとり方を(1),(2)のようにしたとき,次の問いに答えなさい。
(1) 右の図1のように,点Cを含まない上に2点A, Bと異なる点Pをとる。
 また,ABCPの交点をDとすると,
AD:DB=3:1
CD:DP=2:3であった。
 このとき,次の問いに答えなさい。
@ 円Oの半径が10cm であるとき,線分CPの長さを求めなさい。
A 略
(富山県2017年入試問題)
@
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