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== 放物線と三角形の面積2(入試問題) ==

【考え方1】
〇三角形の面積は,小学校のときから使っている公式

で求めることができます.
〇右のような図形において, △PAB△PBCの面積比を求めたいとき
ABBCをそれぞれの三角形の底辺に選ぶと,高さPH=hが共通になるので
△PAB:△PBC
= :
=AB:BC
⇒ 高さが共通なら,三角形の面積比は底辺の長さの比に等しい
【例題1】
 右の図で,@は関数, Aは関数y=ax+bのグラフであり,@とAは2点A, Bで交わっている。点A, Bx座標がそれぞれ−3, 6であるとき,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1) 略
(2) 定数a, bの値を求めよ。
(3) 線分AB上に点Pをとり,△OAPの面積が△OPBの面積の2倍となるようにしたい。このとき点Pの座標を求めよ。
(高知県2000年入試問題)
(解答)
(2) 点A, Bのグラフ上にあるから
A : x=−3のとき,
B : x=6のとき,
したがって,A(−3, 6), B(6, 24)
直線y=ax+bは2点A, Bを通るから
A : 6=−3a+b…(i)
B : 24=6a+b…(ii)
この連立方程式(i)(ii)を解いて,a, bを求める.
(ii)−(i)
18=9a
a=2
これを(i)に代入すると,b=12
y=2x+12…(答)
(3)
△OAP△OPBの面積を計算するときに,辺AP, BPを底辺に選ぶと,右図のように高さOHは共通になり等しい.
このとき,△OAP△OPBの面積比は底辺AP, BPの長さの比になる.
右図のように縦線と横線をひくと,相似図形の性質から横線すなわちx座標の差が2 : 1になる.
x座標を
A(−3) → P(3) → B(6)
とするとx座標の差は6:3=2:1になる.
Py=2x+12上にあって,x=3だから
y=2×3+12=18
P(3, 18)…(答)
※元の問題は記述式問題ですが,web上での読者の操作性をよくするために,このサイトでは,独自に選択問題にしています.選択肢の中から正しいものを1つクリックしてください.問題や選択肢に疑問があるときは,原著作者を煩わすことなく,このサイトの管理人に質問してください.
【問題1】
 右の図で,曲線はy=x2のグラフであり,グラフ上に,x座標が−1である点Aをとります。点Aを通る傾き1の直線と曲線との交点をBとし,直線AB上に,x座標が正である点Pをとります。
 △OAB△OBPの面積が等しいとき,点Pの座標を求めなさい。
(埼玉県2000年入試問題)
(正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.別途計算用紙を使って十分考えてから答えてください.)

【考え方2】
 三角形の面積は,小学校のときから使っている公式

で求めることができます.
(1) 右図においてABx軸に平行であるとき
△ABCの面積を求めるには
底辺をx軸に平行なABに選ぶと計算が楽になります.
底辺の長さ:AB=c−a
このとき,高さはA, BCy座標の差だから
高さ:b−f
結局
△ABC=

(2) 右図において△DOFの面積を求めたいとき
△DOE△OFEに分けて求めると,どちらもy軸上の線分OEを底辺に選ぶと計算が楽になります.
△DOEは底辺をOEとすると,高さはDx座標(の符号を正に書き換えたもの)になり
△DOE=
△OFEは底辺をOEとすると,高さはFx座標になり
△OFE=
結局,△DOF==
【問題2】
 右の図で,曲線はのグラフであり,2点A, Bはこの曲線と直線y=8との交点で,点Aからx軸に垂線ACをひきます。また,点Pは,この曲線上を原点Oから点Bまで動きます。△PAC△PABの面積が等しくなるとき,点Pの座標を求めなさい.
(埼玉県1999年入試問題)
(正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.別途計算用紙を使って十分考えてから答えてください.)

【問題3】
 右の図のように,関数のグラフ上に2点A, Bがあり,点A, Bx座標はそれぞれ4, −6である。
関数のグラフ上に点Pをとり,2点A, Pを通る直線がy軸と交わる点をQとするとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。ただし,点Px座標は点Ax座標より大きいものとする。
(1) 点Px座標が6のとき,点Qy座標を求めなさい。
(2) 点Aが線分PQの中点となるとき,△BOP△ABQの面積の比を求めなさい。
(千葉県1999年入試問題)
(1) x=6を代入すると,y=9になるからP(6, 9)
 x=4を代入すると,y=4になるからA(4, 4)
 2点A(4, 4), P(6, 9)を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおいてa, bを求める.
A(4, 4)を通るから4=4a+b…(i)
P(6, 9)を通るから9=6a+b…(ii)
(1),(ii)を解くと
Qy座標は−6…(答)
(2) (正しいものをクリック.だたし,暗算ではできません.)
【問題4】
 右の図は,2つの関数y=x2…(1) y=ax2 (a<0)…(2)のグラフである。
 また,点A, B, C, Dはそれぞれx=2およびx=−1における関数(1),(2)のグラフ上の点である。
 このとき,次の各問いに答えなさい.
問1問2(略)
問3 点(2, 0)E,点(−1, 0)Fとする。台形ABFEと台形CDEFの面積の比が3 : 2となるように,aの値を求めなさい。
(沖縄県2000年入試問題)

【問題5】
 右の図のように,関数のグラフ上に,x座標がそれぞれ−4, 2となる点A, Bをとる。このとき,次の(1),(2)の問いに答えよ。
(1) 直線ABの式を求めよ。
(2) 直線ABy軸との交点をCとする。また,関数
のグラフ上に点Pをとって,△OCPの面積が△OABの面積のになるようにしたい。このとき,点Pの座標を求めよ。ただし,Pは原点OAの間にとるものとする。
(新潟県1999年入試問題)
(1) Ay座標は
  By座標は
 2点ABを通る直線の方程式をy=ax+bとおくと
A(−4, 4)を通るから
4=−4a+b…(i)
B(2, 1)を通るから
1=2a+b…(ii)
(i)(ii)を解くと,
ABを通る直線の方程式は…(答)
(2) (正しいものをクリック.計算用紙が必要です.)
【問題6】
 右の図で放物線(1)はy=2x2,直線(2)はy=ax+ba>0, b>0),直線(3)はy=bのグラフであり,点Pは(2)と(3)の交点,点Q, Rは(1)と(2)の交点,点S, Tは(1)と(3)の交点である。
 次の(1)〜(2)に答えなさい。
(1)(2)略
(3) 点Qx座標が−1△PQT△PRSの面積比が2 : 3のとき,直線(2)の式を求めなさい。
(青森県1999年入試問題)

【問題7】
 右の図のように,関数y=ax2のグラフ上にx座標が−4, 2である2点A, Bがある。
 次の(1),(2)の問いに答さない。
(1) 点Ay座標をaを使って表しなさい。
(2) 直線ABが直線y=−xに平行であるとき,次の@〜Bの問いに答えなさい。
@ aの値を求めなさい。
A △AOBの面積を求めなさい。
B 点Bを通る直線lと線分AOとの交点をCとする。△ACBの面積が3になるとき,直線lの式を求めなさい。
(大分県2000年入試問題)
(1) 16a…(答)
(2) @ A12…(答)
B(次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)

【円錐の体積の公式】
 右図のような,底面の半径がrで高さがhである円錐について
底面積をS,体積をVとおくと
…(1)
底面は円で,底面積はπr2になるから
…(2)

※この公式は高校数学の積分を使えば証明できます.
小中学生では,よく出てくる形だということで,高校で習うものを「先取り」して「覚えて使う」ようにします.
【例題2】
 右のT図のように,関数y=3x2のグラフがある。このグラフ上に点Aからx軸,y軸にひいた垂線と,座標軸との交点をそれぞれB, Cとする。点Ax座標が2であるとき,次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1) △OACy軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(2) 略
(京都府1999年入試問題)
(解答)
(1) 右図のような円錐(上端が底面)になる.
 Ax座標が2だから,y座標は3×22=12
 底面の半径はAC=2
 円錐の高さはCO=12
 円錐の体積は
…(答)


【問題8】
 右の図で放物線(1)はy=2x2,直線(2)はy=ax+ba>0, b>0),直線(3)はy=bのグラフであり,点Pは(2)と(3)の交点,点Q, Rは(1)と(2)の交点,点S, Tは(1)と(3)の交点である。
 次の(1)〜(2)に答えなさい。
(1)(3)略
(2) b=4のとき,△OTPy軸を軸として,1回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし,座標軸の単位の長さを1cmとする。
(青森県1999年入試問題)
(2) 次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)
【問題9】
 右の図のように,関数y=ax2aは定数)のグラフ上に2点A, Bがあり,Aの座標は(−2, −2)である。また,点Oは原点,点Pは直線ABy軸との交点であり,AP:PB=1:2である。このとき,次の各問いに答えなさい。
(1) aの値を求めよ。
(2) 直線ABの式を求めよ。
(3) 3点O, A, Bを頂点とする三角形がx軸を軸として1回転してできる立体の体積を求めよ。ただし,円周率はπとする。
(熊本県2000年入試問題)
(1) 
(2) y=−x−4
(3) 次の選択肢のうちで正しいものをクリック.暗算ではできません.)
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