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== 立体の表面積.展開図(入試問題) ==

【要点1.1】≪円柱の側面積≫
○円柱の表面積は,2つの底面積と側面積の和になります.
○右図のように底面の半径がr,高さがhである円柱の側面は長方形で,側面積は
2πr×h
になります.
※以下に引用している入試問題で,元の問題は記述式ですが,この教材ではWeb上での操作性をよくするために,選択問題にしています.
まぐれ当たりでは力が付きませんので,計算用紙などを使って十分考えてから,選択肢をクリックしてください.
解答すれば,採点結果と解説が出ます.
【1.1 円柱の側面積】
 右の図の長方形を,直線lを軸として1回転したときにできる立体の側面積を求めなさい。
 ただし,円周率はπとする。
(栃木県2000年入試問題)

【要点1.2】≪円錐の側面積≫
○円錐の側面積を求めるには,まず展開図の扇形を描いて,その中心角を求めることから始めるとよい.
○右図のように底面の半径がr,母線の長さがLである円錐の側面は扇形になり
底面の円周と扇形の弧の長さと一致するはずだから

…(1)
次に半径がLで中心角がθ°の扇形の面積は,半径がLの円の面積πL2

だから
…(2)
※この式(2)を覚える必要はないでしょう.(1)で扇形の角度を求めて,(2)で面積を求めるという手順が分かればOKです.
(2)自体は次の図でも示せます.
(他の考え方1)
扇形を細かく分ける.
切り方が少ないと波の凹凸が残るが
無限に細かく刻むと凹凸はほとんどなくなる
底辺は2πr
高さはL
半分を上下逆にして組合せると長方形になる.
底辺はπr
高さはL
S=πrL

右上に続く↑
(他の考え方2)
玉ねぎ形に切って,皮を広げていくと考える.
右図のように
底辺が2πr
高さがL
の三角形になるから,その面積は


【1.2 円錐の側面積】
 右の図のような円すいがあり,点Aは円すいの頂点で,線分BCは底面の直径である。また,点Dは,母線ABの中点である。AB=8 cm,BC=4 cm であるとき,次のア,イの問いに答えなさい。なお,円周率にはπをそのまま用いよ。
ア. この円すいの側面積は何cm2か。
イ. 略
(香川県1999年入試問題)

【要点2】
○三角錐や四角錐の表面積は,底面積と側面積の和になります.
○それぞれ三角形や四角形に分けて求めます.
【2.1 四角すいの表面積】
 右図のように,一辺の長さが2cm である正方形を底面とする正四角すいT-ABCDがあり,TA =TB =TC =TD = 3cm です。
 このとき,次の問いに答えなさい。
(1)
 (ア) 正四角すいT-ABCDの表面積を求めなさい。
以下略
(筑波大駒場高2017年入試問題)
右上に続く↑
【2.2 三角錐の表面積】
 右の図のように,AB=BC=2cm, BF=4cm の直方体ABCD-EFGHがある。この直方体を頂点A, C, Fを通る平面で分けたときにできる三角すいB-AFCの表面積を求めなさい。
(秋田県2017年入試問題)

【2.3 三角錐の表面積】
 右の図は,1辺の長さが3cm の立方体ABCD- EFGHである。この立方体を3点B, D, Eを通る平面で2つの立体に分けるとき,2つの立体の表面積の差は何cm2か。
(鹿児島県2015年入試問題)
右上に続く↑

【要点3】
○展開図において垂線の長さを求めるには,次の例題のように
(1) 「相似図形の性質を使って求める」
(2) 「面積を2通りの方法で表して,それらが等しいことから高さを求める」
などの方法があります.
【例題】
 右の図のような直角三角形ABCにおいて,頂点Bから辺ACに引いた垂線の長さhを求めるには
(考え方1)…相似図形と相似比で考える
図において2つの直角三角形ABCBHCは相似図形だから,斜辺からで示した角度を回って直角に至る順に,CA:AB=CB:BHが成り立つ.すなわち

ゆえに

(考え方2)…面積を2通りの方法で表す
直角三角形ABCの面積をSとおくと


これらは等しいから


【3.1 展開図.垂線の長さ】
 右の図1(略)は,AB=BC=6 cm ,∠ABC=90°の直角二等辺三角形ABCを底面とし,BD=12 cm を高さとする三角すいである。(中略)
(ウ) この三角すいの側面上に,図2のように点Aから辺BDに交わるように辺CD上の点まで,長さが最も短くなるように線を引いたときの線の長さとして正しいものを次の1〜6の中から1つ選び,その番号を答えなさい。



(神奈川県2017年入試問題.一部引用)

【3.2 展開図.円錐の側面】
 図1のように、底面の直径ABと母線の長さPAについてAB= PA= 4 cmの円錐がある。
(1) 略
(2) 線分PBの中点をCとする。図2のように、この円錐の表面に,点Aから点Cまで,ひもをゆるまないようにかける。ひもの長さが最も短くなるとき,その長さを求めなさい。
(長野県2017年入試問題)
【3.2 展開図.円錐の側面】
 右の図のような円すいがあり,点Aは円すいの頂点で,線分BCは底面の直径である。また,点Dは,母線ABの中点である。AB=8 cm,BC=4 cm であるとき,次のア,イの問いに答えなさい。なお,円周率にはπをそのまま用いよ。
ア. 略
イ. 図のように,点Bから側面に沿って,母線ACを横切るように点Dまで線を引く。このような線のうち,最も短い線の長さは何cmか。  
(香川県1999年入試問題)

【3.3 展開図.直角二等辺三角形】
 右の図のように, ∠BAC =∠CAD =∠DAB =90°, AB =AC =AD =cm の三角すいA-BCDがある。このとき,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)(2) 略
(3) 辺BC上に中点Eをとり,辺AC上に点Fをとって,点EFFDをそれぞれ結ぶ。EF+FDの最小値を求めなさい。
(新潟県2000年入試問題)
【3.4 展開図.相似図形】
 図3の立体は,AB=6 cm, AD=2 cm, AE=4 cmの直方体である。
 このとき,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)(2) 略
(3) この直方体において,図5のように,辺AB, BF上の点をP, Qとする。DP+PQ+QGが最小となるときの,三角すいBPQCの体積を求めなさい。  
(静岡県2017年入試問題)

【3.5 展開図.直角二等辺三角形】
 右の図のように,OA= OB= OC= 4 cm ,∠AOB= ∠BOC= ∠COA= 45°の三角すいOABCがある。点Aから辺OBに垂線ADを引き,点Dから辺OCに垂線DEを引き,点Eから辺OAに垂線EFを引く。
 このとき,(1)〜(4)の各問いに答えなさい。
(1)(2)(3) 略
(4) 三角すいOABCに,点Aから点Fまで,辺OB,辺OCの順に交わるようにひもをかける。ひもの長さが最も短くなるとき,ひもの長さを求めなさい。  
(長崎県2017年入試問題)
【3.6 展開図.中線の長さ】
 右の図のように,AD= BD= CD= 4 cm ,∠ADB= ∠ADC= ∠BDC= 90°である三角すいABCDがある。辺ACの中点をEとし,辺CD上を点Cから点Dまで移動する点をFとする。このとき,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)(2) 略
(3) EF+FBの長さが最も短くなるとき,次の@,Aの問いに答えなさい.
@ EF+FBの長さを求めなさい.
A 略
(新潟県2017年入試問題)