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■相似図形を探す、相似図形を作る
 
問題
 右の図のように,AB=4cm,BC=6cmの△ABCがある。辺ABの中点をD,辺BCを三等分する点をE,F,辺ACの中点をG,線分AEとBGの交点をH,線分AEとDGの交点をIとする。
 このとき,次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1) 線分GIの長さを求めよ。また,△ABCの面積は,△GEFの面積の何倍か。
(2) AH:HEを最も簡単な整数の比で表せ。
[H17 京都府公立高校入試問題4の引用]

[答案]
(1)
  GI=
  △ABCの面積は,△GEFの面積の

(2)
  AH:HE=


基本check
上記の問題において,GH:HBを最も簡単な整数の比で表すと
GH:HB=

[ヒント]
(1)
 GはACの中点,DはABの中点だから,GDとCBは平行で,またGDはCBの半分の長さになります。だからGD=3

 次に,CF=FE=EBとGD//CBとからGI:ID=CE:EB=2:1
 これより,GIが求められます。



 次に△GABと△GBCの面積が等しく,△GEFの面積は△GBCの面積の3分の1です。
 つまり,△ABCは△GEFの6個分です。

(2)
 右のようにGBに平行な線分をE,Fから引くと,GCを3等分する。
 次にAGとGCは等しいから,AG:GJ=3:1
 また,AH:HE=AG:GJ

<ポイント>
 AH:HEを求めたいとき,HGに平行な線を引くと,相手側(AG側)の比率で表せる。


GからAEに平行な直線を引くと,Fを通ります。