平方根

(1)　･･･(所要時間の目安：１分程度)･･･が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。 n=	90n=2×3²×5nだから根号内が平方数になるにはnは2と5の倍数
(2)　･･･(所要時間の目安：１分程度)･･･が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。 n=	540n=2²×3³×5nだから根号内が平方数になるにはnは3と5の倍数
(3)　･･･(所要時間の目安：5分程度)･･･が自然数となる自然数ｎを求めなさい。 n=	140-7n=7(20-n)だから根号内が平方数になるには20-nは7の倍数 (ｎは1～19) 　20-n=7，14 　20-n=7のとき7･7は平方数　20-n=14のとき7･14は平方数でない 20-n=7よりn=13
(4)　･･･(所要時間の目安：5分程度)･･･が自然数となる自然数ｎを求めなさい。 n=	根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。　90-6n=6(15-n)だから15-nは6の倍数(ｎは1～14) 　15-n=6，12 　このうち根号が外れるのは15-n=6のとき　15-n=6よりn=9
(5)　･･･(所要時間の目安：5分程度)･･･が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。 n=	根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。　根号内の分母が3だからｎは3の倍数　さらに10n=2･5ｎだからｎは2と5の倍数　n=30
(6)　･･･(所要時間の目安：5分程度)･･･が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。 n=	根号内の分母が7だから約分で整数になるにはｎは7の倍数　さらに20n=2²･5ｎだからｎは5の倍数　n=35
(7)　･･･(所要時間の目安：10分程度)･･･　が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。 n=	18+6n=6(3+n) 　根号内の分母が7だから約分で整数になるには3+ｎは7の倍数　さらに根号内が平方数になるには3+nは6の倍数　3+n=42
(8)　･･･(所要時間の目安：10分程度)･･･　が自然数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。 n=	15n-60=15(n-4) 　根号内の分母が7だから約分で整数になるにはn-4は7の倍数　さらに根号内が平方数になるにはn-4は15の倍数　n-4=105 　※n=4のときは式の値は0となり自然数にならない。
(9)　･･･(所要時間の目安：10分程度)･･･　が整数となる自然数ｎを求めなさい。 n=	根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。 n²+23=m² とおく (n，mは自然数) m²-n²=23 (m+n)(m-n)=23 m+n>m-n で23=23×1だから m+n=23，m-n=1 より求めます
(10)　･･･(所要時間の目安：10分程度)･･･　が整数となる最も大きな自然数ｎを求めなさい。 n=	根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。 n²+35=m² とおく (n，mは自然数) m²-n²=35 (m+n)(m-n)=35 m+n>m-n で35を自然数の積に分ける方法は35×1と7×5 m+n=35，m-n=1 とm+n=7，m-n=5からnの大きい方を答えます

例題１が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。答案　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。　24ｎ=2³･3ｎだから根号の中が平方数になるにはｎは2と3の倍数。　ｎのうちで最小のものは6　・・答 ※ｎ=6のとき上の式の値はとなります。 ※自然数とは正の整数(１，２，３，４，・・・)のこと。０は含まれない。 ※平方数とはある整数の平方(２乗)になっている数のこと。4=2²や9=3²は平方数。	例題２が自然数となる自然数ｎを求めなさい。答案　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。　24-3n=3(8-n) だから根号の中が平方数になるには8-n は3の倍数　8-n=3，6 　このうち根号の中が平方数となるのは8-n=3のとき　n=5　・・答 ※8-n=0，n=8のときは元の式の値は0となり，√0=0となり，整数ではあるが自然数にはなりません。 ※n=5のとき上の式の値は√9=3となります。
例題３が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。答案　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。　根号内の分母が7だから割り切れるためにはｎは7の倍数。　また，24=2³･3だからｎは2，3の倍数。ゆえに，ｎのうち最小のものは7×2×3=42・・答 ※n=42のとき上の式の値は，となります。	例題４が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。答案　24+3n=3(8+n) 　根号内の分母が7だから割り切れるためには8+ｎは7の倍数。　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならないから，8+nは3の倍数。　以上より，8+n=21,42，・・　最小となるのは8+n=21よりn=13・・答 ※n=13のとき上の式の値は3となります。
例題３　 (所要時間長い) が整数となる自然数ｎの値を求めなさい。答案　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。 n²+19=m² とおく (n，mは自然数) m²-n²=19 (m+n)(m-n)=19 m+n>m-n で19=19×1だから m+n=19，m-n=1 よりm=10，n=9・・・答 (※n=9のとき，上の式の値は10になります。)