■ 確率の融合問題

問題1
 右の図のように, A さんの袋には,5,6,7,8の数字が書かれているカードが1枚ずつ入っている。また, B さんの袋には,6,7,8,9の数字が書かれているカードが1枚ずつ入っている。 A さん, B さんが自分の袋からそれぞれ1枚ずつカードを取り出し, A さんが取り出したカードに書かれている数字を xB さんが取り出したカードに書かれている数字を y とする。
 このとき,次の問い(1)・(2)に答えよ。ただし,袋に入っているどのカードの取り出し方も,同様に確からしいものとする。
(1) xy の積が奇数になる確率を求めよ。
(2) 次の数を3辺とする三角形が,直角三角形になる確率を求めよ。
sqrt(x),  sqrt(y),  1
[H17 京都府公立高校入試問題2の引用]

[答案]
(1)



(2)



問題2
  AB が、さいころを1回ずつ振る。 A が出したさいころの目の数を xB が出したさいころの目の数を y とする。ただし、それぞれのさいころにおいて,1〜6のどの数の出方も同様に確からしいものとする。
(1) 出た目の数の差が1となる確率を求めよ。
(2) 次の数を3辺とする三角形が,直角三角形になる確率を求めよ。
 
[答案]
(1)


(2)




問題3
  A の持っているさいころには1〜6の数, B が持っているさいころには2〜7の数が1つずつ書かれている。 AB がさいころを1回ずつ振り, A が出したさいころの目の数を xB が出したさいころの目の数を y とする。ただし、それぞれのさいころにおいて,どの目の出方も同様に確からしいものとする。
(1) xy よりも大きい確率を求めよ。
(2) 次の数を3辺とする三角形が,直角三角形になる確率を求めよ。
[答案]
(1)


(2)




問題4
 右の図のように, A さんの袋には,1,2,3,4,5の数字が書かれているカードが1枚ずつ入っている。また, B さんの袋には,2,3,4,5,6の数字が書か れているカードが1枚ずつ入っている。 A さん, B さんが自分の袋からそれぞれ1枚ずつカードを取り出し, A さんが取り出したカードに書かれている数字を xB さんが取り出したカードに書かれている数字を y とする。
 このとき,次の問い(1)(2)に答えよ。ただし,袋に入っているどのカードの取り出し方も,同様に確からしいものとする。
(1) xy で割り切れる確率を求めよ。
(2) 次の数を3辺とする三角形が,三角形になる確率を求めよ。
xy1

[答案]
(1)



(2)




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[ヒント]
問題1
(1) 奇数×奇数=奇数であるのに対して,
奇数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,偶数×偶数=偶数となるから,
積が奇数となるのは,2つとも奇数の場合

6
7
8
9
5
×

×
6
× × × ×
7
× ×
8
× × × ×





(2) 直角三角形となるのは、辺の長さがa+b
=cの関係を満たすとき。(←→三平方の定理)
 2乗は, x,y,1 となるから,
 xが最大のとき x = y + 1 (下図の)
 yが最大のとき y = x + 1 (下図の)
 1が最大のとき 1 = x + y (このようなことは起こらない)
のいずれかが成り立てばよい。
|y
6
7
8
9
5



6



7



8








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問題2
(1) x,yの差が1となるのは下図の●印のとき
x|y
1
2
3
4
5
6
1
×
× × × ×
2
× × × ×
3
× × × ×
4
× × × ×
5
× × × ×
6
× × × × ×
(2)  直角三角形となるのは、辺の長さがa+b=cの関係を満たすとき。(←→三平方の定理)
 2乗は, x,y,4 となるから,
 xが最大のとき x = y + 4 (下図の)
 yが最大のとき y = x + 4 (下図の)
 4が最大のとき 4 = x + y (下図の)
のいずれかが成り立てばよい。
x|y
1
2
3
4
5
6
1
×
× × ×
2
× × × ×
3
× × × × ×
4
× × × × × ×
5
× × × × ×
6
× × × × ×
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問題3
(1) xがyよりも大きいくなるのは下図の●印のとき
x|y
2
3
4
5
6
7
1
×
× × × × ×
2
× × × × × ×
3
× × × × ×
4
× × × ×
5
× × ×
6
× ×
(2)  直角三角形となるのは、辺の長さがa+b=cの関係を満たすとき。(←→三平方の定理)
 2乗は, x,y,3 となるから,
 xが最大のとき x = y + 3 (下図の)
 yが最大のとき y = x + 3 (下図の)
 3が最大のとき 3 = x + y (下図の)
のいずれかが成り立てばよい。
x|y
2
3
4
5
6
7
1
× × × ×
2
× × × × ×
3
× × × × ×
4
× × × × ×
5
× × × × ×
6
× × × × ×
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問題4
(1) xがyで割り切れるのは下図の●印のとき(割り算をすれば分かります。)
x|y
2
3
4
5
6
1
×
× × × ×
2
× × × ×
3
× × × ×
4
× × ×
5
× × × ×
(2)  三角形となるのは、2辺の和が他の1辺よりも大きくなるとき
 xが3辺の中で最大のとき             x < y + 1 
 yが3辺の中で最大のとき(x=yの場合も含む) y < x + 1 (下図の)
 1が3辺の中で最大のとき            1 < x + y (このようなことは起こらない)
のいずれかが成り立てばよい。
x|y
2
3
4
5
6
1
× × × × ×
2
× × × ×
3
× × × ×
4
× × × ×
5
× × × ×
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