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== 立体の体積(入試問題) ==

【要点】…四角柱,三角柱,円柱の体積
○四角柱,三角柱,円柱の体積Vは,底面積Sと高さhを使って表すことができます.
V=Sh
○特に,円柱については,底面の半径がrであるとき,底面積がS=πr2と書けるから
V=πr2h
と書くこともできます.
※簡単なことのように見えますが,底面と高さとが直角になっている場合だけこの公式が使えます.例えば,右図においてSlはこの立体の体積ではありません.
【要点】…四角錐,三角錐,円錐の体積
○三角錐,四角錐,円錐の体積Vは,それがちょうど入る四角柱,三角柱,円柱の体積のです.

○特に,円錐については,底面の半径がrであるとき,底面積がS=πr2と書けるから

と書くこともできます.

== 三角柱 ==
【例題1】
 図1のように,6つの点A, B, C, D, E, Fを頂点とする三角柱ABC-DEFがあり,AD=6cm, DE=8cm, EF=6cm, ∠ABC=90°である。また,図1において,点Mは辺ABの中点である。このとき,次の問いに答えなさい。
問1 三角柱ABC-DEFの体積は何cm3か。
問2以下 略
(長崎県2000年入試問題.一部引用)
∠ABC=90°だから,底面は直角三角形でその面積は8×6÷2=24(cm2)
三角柱の高さはAD=6cm
したがって,三角柱の体積は24×6=144(cm3)…(答)
選択肢をクリックすると採点結果と解説が表示されます.
【問題1.1】

 図1は,すべての辺の長さが6cmの正三角すいである。この正三角すいの体積を求めよ。

== 四角錐 ==
【例題2】
 右の図のように,1辺の長さが5cmの正方形ABCDを底面とし,高さが4cmの正四角錐OABCDがあります。この四角錐の体積を求めなさい。
(北海道2015年入試問題)
底面ABCDの面積 S=52(cm2)
高さ h=4(cm)
だから,四角錐の体積は
(cm3)…(答)

以下に引用する入試問題は,元々記述用として作られたものですが,このサイトではweb教材として操作性をよくするために選択問題に書き換えています.
選択肢をクリックすると採点結果と解説が表示されます.
暗算ではできません.計算用紙を使って結果を出してから,選択してください.
【問題2.1】

 図1は,すべての辺の長さが6cmの正四角すいである。この正四角すいの体積を求めよ。
(奈良県2017年入試問題)

【問題2.2】
 図で,A, B, C, D, E, F, G, Hを頂点とする立体は立方体であり,Iは線分AG上の点で,IE⊥AGである。
 AB=3cmのとき,次の@,Aの問いに答えなさい。
@ 略
A 四角すいIEFGHの体積は何cm3か,求めなさい。
(愛知県B 2017年入試問題)

【問題2.3】
 図で,A,B,C,D,Eは球の表面上の点であり,立体ABCDEは正四角すいである。
 球の半径が6cm,BC=8cmのとき,次の@,Aの問いに答えなさい。
 ただし,球の中心は正四角すいの中にあるものとする。
@ 略
A 正四角すいABCDEの体積は何cm3か,求めなさい。
(愛知県2015年入試問題)


== 三角錐 ==
【問題3.1】
 右の図のように,点A, B, C, D, E, Fを頂点とし, ∠DEF=90° の直角三角形DEFを底面の1つとする三角柱がある。辺DFの中点をGとし,4点B, E, F, Gを結んで三角すいPを作る。
 辺DEの長さが8cm,辺EFの長さが4cm,辺ADの長さが10cmのとき,次の各問いに答えなさい。
 なお,各問いにおいて,答えの分母にが含まれているときは,分母を有理化しなさい。また,の中をできるだけ小さい自然数にしなさい。
@ 三角すいPの体積を求めなさい。
A 略
(三重県2017年入試問題)

【問題3.2】
 右の図のように,1辺の長さが4cmの立方体があり,辺ABの中点をM,辺BCの中点をNとする。この立方体を4点M, E, G, Nを通る平面で2つの立体に切る。
 このとき,次の(1)〜(5)の各問いに答えなさい。
(4) 2つの立体のうち,頂点Bを含む立体の体積を求めよ。
(1)(2)(3)(5) 略
(佐賀県2000年入試問題)

【問題3.3】
 右の図は,底面が直角三角形で,側面はすべて長方形の三角柱ABC-DEFであり,∠ABC=90°, AB=4cm, BC=6cm, AD=12cmとする。また,点P, Q, Rはそれぞれ辺AD, BE, CF上の点で,AP=6cm, BQ=7cm, CR=3cmとする。このとき,次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1) 略
(2) 3点P, Q, Rを通る平面でこの立体を切って2つに分けるとき,頂点Eをふくむほうの立体の体積を求めよ。
(高知県2000年入試問題)

== 円錐 ==
【例題4】
 のように,半径が3cmで,高さが4cmの円錐がある。
@B 略
A の円すいの体積を求めなさい。ただし,円周率はπとする。
(長野県2015年入試問題)
(cm3)…(答)

【問題4.1】
 右図の立体は,底面の半径が2cm,高さが6cmの円すいである。円周率をπとして,右図の円すいの体積を求めなさい。
(大阪府2017年入試問題)

【問題4.2】
 右の図1は,線分ABを直径とする円Oを底面とし,線分ACを母線とする円すいであり,点Dは線分BCの中点である。
 AB=6cm,AC=10cmのとき,次の問いに答えなさい。ただし,円周率はπとする。
(ア) この円すいの体積を求めなさい。
(イ)(ウ) 略
(神奈川県2015年入試問題)


== 体積比 ==
【問題5.1】
 下の図のように,AB=4cm,BC=3cm,AD=6cm,∠ABC=90°の三角柱P  ,GH=3cm ,HI=4cm ,IJ = 3 cm , ∠GHI = ∠GHJ = 90° の三角錐Q があります。三角柱Pの体積は,三角錐Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
(北海道2017年入試問題)

【問題5.2】
 右の図のように,立体ABCD-EFGHにおいて,面ABCDEFGHは,1辺の長さがそれぞれ2cm,4cmの正方形であり,この2つの面は平行である。また,それ以外の4つの面は,すべて台形でAE=BF=CG=DH=3cmである。
 このとき,次の(1)〜(3)に答えなさい。
(1)(2) 略
(3) 立体ABCD-EFGHの体積を求めなさい。なお,途中経過の計算も書くこと。
(福井県2017年入試問題)

【問題5.3】
 右の図の2つの円すいA,Bは相似で,その相似比は2:3です。円すいAの体積が40cm3のとき,円すいBの体積を求めなさい。
(滋賀県2017年入試問題)

【問題5.4】
 図2のように,立方体の中に,直径が立方体の1辺の長さと等しい球が入っている。このとき,球の体積は立方体の体積の何倍か。ただし,円周率はπとする。
(奈良県2015年入試問題)


== 回転体の体積 ==
【問題6.1】
 右の図Tのように,AC=6cm ,BC=8cm ,AD=5cm ,∠ACB=90°の三角柱がある。このとき,次の各問いに答えなさい。
問1,問3 略
問2 △ADEを,直線ADを軸として1回転してできる立体の体積を求めなさい。
(鳥取県2015年入試問題)

【問題6.2】
 右の図Tのように,AC=6cm ,BC=8cm ,AD=5cm ,∠ACB=90°の三角柱がある。このとき,次の各問いに答えなさい。
問1,問3 略
問2 △ADEを,直線ADを軸として1回転してできる立体の体積を求めなさい。
(鳥取県2015年入試問題)

【問題6.3】
 右の図の台形ABCDを,辺ADを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。(円周率はπを用いなさい。)
(岐阜県2015年入試問題)

【問題6.4】
 右の図のように,半径3cm,中心角90°のおうぎ形OABがある。このとき,と弦ABで囲まれた部分を直線OAを軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(福井県2015年入試問題)

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