直線で囲まれた図形の面積

← PC用は別頁

== 直線で囲まれた図形の面積 ==

【問題１】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=x+1 …(l)
y=−x+5 …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
−2 −1 0 1 2 3

y=x+1 …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=x+1 …(l)にx=0を代入します．
y=0+1=1
したがって，交点のy座標は1になります．
参考までに，交点の座標は(0, 1)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

y=−x+5 …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=−x+5 …(m)にx=0を代入します．
y=0+5=5
したがって，交点のy座標は5になります．
参考までに，交点の座標は(0, 5)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(2, 2) (2, 3) (3, 2) (3, 3)

y=x+1 …(l)とy=−x+5 …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．
x+1=−x+5
2x=4
x=2
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=2+1=35
したがって，交点の座標は(2, 3)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は1で，Rのy座標は5だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=5−1=4

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(2, 3)のx座標は2だから△PQRの高さhは2

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{3}{2}$ 2 3 4 8

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{4\times 2}{2}=\frac{8}{2}=4$ になります

【問題２】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=2x …(l)
y=x+2 …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
−2 −1 0 1 2 3

y=2x …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=2x …(l)にx=0を代入します．
y=2×0=0
したがって，交点のy座標は0になります．
参考までに，交点の座標は原点(0, 0)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

y=x+2 …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=x+2 …(m)にx=0を代入します．
y=0+2=2
したがって，交点のy座標は2になります．
参考までに，交点の座標は(0, 2)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(2, 2) (2, 4) (4, 2) (4, 4)

y=2x …(l)とy=x+2 …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．
2x=x+2
x=2
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=2×2=4
したがって，交点の座標は(2, 4)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは
解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は0で，Rのy座標は2だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=2−0=2

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(2, 4)のx座標は2だから△PQRの高さhは2

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{3}{2}$ 2 3 4 8

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{2\times 2}{2}=\frac{4}{2}=2$ になります

【問題３】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

$y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)
y=−2x−1 …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

$y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるには $y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)にx=0を代入します．
$y=\frac{1}{2}\times 0+ 4=4$
したがって，交点のy座標は4になります．
参考までに，交点の座標は(0, 4)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 −1 −2 −3 −4 −5

y=−2x−1 …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=−2x−1 …(m)にx=0を代入します．
y=0−1=−1
したがって，交点のy座標は−1になります．
参考までに，交点の座標は(0, −1)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(−2, −2) (−2, 3) (2, 3) (−2, −3)

$y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)とy=−2x−1 …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．

$\frac{1}{2}x+ 4=-2x-1$
両辺に2を掛けて分母を払うと
x+8=−4x−2
5x=−10
x=−2
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=3
したがって，交点の座標は(−2, 3)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは
解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は4で，Rのy座標は−1だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=4−(−1)=5

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(−2, 3)のx座標は−2だから△PQRの高さhは，Pのx座標の符号を正の値に直して，2

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{3}{2}$ 2 $\frac{5}{2}$ 4 5

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{5\times 2}{2}=\frac{10}{2}=5$ になります

【問題４】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=2x+1 …(l)

$y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

y=2x+1 …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=2x+1 …(l)にx=0を代入します．
y=0+1=1
したがって，交点のy座標は1になります．
参考までに，交点の座標は(0, 1)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 −1 −2 −3 −4 −5

$y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるには $y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)にx=0を代入します．
y=0−3=−3
したがって，交点のy座標は−3になります．
参考までに，交点の座標は(0, −3)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(−5, −5) (−5, −3) (−3, −5) (−3, −3)

y=2x+1 …(l)と $y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．

$2x+ 1=\frac{2}{3}x-3$
両辺に3を掛けて分母を払うと
6x+3=2x−9
4x=−12
x=−3
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=−5
したがって，交点の座標は(−3, −5)になります．