平方根

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===≪平方根が整数となるｎの値≫===
■解説■

例題１

が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。

答案
　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
　24ｎ=2³･3ｎだから根号の中が平方数になるにはｎは2と3の倍数。
　ｎのうちで最小のものは6　・・答

※ｎ=6のとき上の式の値は

となります。
※自然数とは正の整数(１，２，３，４，・・・)のこと。０は含まれない。
※平方数とはある整数の平方(２乗)になっている数のこと。4=2²や9=3²は平方数。

例題２

が自然数となる自然数ｎを求めなさい。

答案
　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
　24-3n=3(8-n) だから根号の中が平方数になるには8-n は3の倍数
　8-n=3，6
　このうち根号の中が平方数となるのは8-n=3のとき
　n=5　・・答

※8-n=0，n=8のときは元の式の値は0となり，√0=0となり，整数ではあるが自然数にはなりません。
※n=5のとき上の式の値は√9=3となります。

例題３

が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。

答案
　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
　根号内の分母が7だから割り切れるためにはｎは7の倍数。
　また，24=2³･3だからｎは2，3の倍数。
ゆえに，ｎのうち最小のものは7×2×3=42・・答

※n=42のとき上の式の値は，

となります。

例題４

が整数となる自然数ｎのうち，最小のものを求めなさい。

答案
　24+3n=3(8+n)
　根号内の分母が7だから割り切れるためには8+ｎは7の倍数。
　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならないから，8+nは3の倍数。
　以上より，8+n=21,42，・・
　最小となるのは8+n=21よりn=13・・答

※n=13のとき上の式の値は3となります。

例題３　 (所要時間長い)

が整数となる自然数ｎの値を求めなさい。

答案
　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
n²+19=m² とおく (n，mは自然数)
m²-n²=19
(m+n)(m-n)=19
m+n>m-n で19=19×1だから
m+n=19，m-n=1 よりm=10，n=9・・・答
(※n=9のとき，上の式の値は10になります。)

■問題

90n=2×3²×5nだから根号内が平方数になるにはnは2と5の倍数

n=2×5=10

540n=2²×3³×5nだから根号内が平方数になるにはnは3と5の倍数

n=3×5=15

　140-7n=7(20-n)だから根号内が平方数になるには20-nは7の倍数
(ｎは1～19)
　20-n=7，14
　20-n=7のとき7･7は平方数
　20-n=14のとき7･14は平方数でない

20-n=7よりn=13

　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
　90-6n=6(15-n)だから15-nは6の倍数(ｎは1～14)
　15-n=6，12
　このうち根号が外れるのは15-n=6のとき
※　15-n=12のときは，根号の中が6×12となって平方数にならない

15-n=6よりn=9

　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
　根号内の分母が3だからｎは3の倍数
　さらに10n=2･5ｎだからｎは2と5の倍数

n=3×2×5=30

　根号内の分母が7だから約分で整数になるにはｎは7の倍数
　さらに20n=2²･5ｎだからｎは5の倍数

n=7×5=35

　18+6n=6(3+n)
　根号内の分母が7だから約分で整数になるには3+ｎは7の倍数
　さらに根号内が平方数になるには3+nは6の倍数
　3+n=42

n=39

15n-60=15(n-4)
　根号内の分母が7だから約分で整数になるにはn-4は7の倍数
　さらに根号内が平方数になるにはn-4は15の倍数
　n-4=105
　※n=4のときは式の値は0となり自然数にならない。

n=109

　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
n²+23=m² とおく (n，mは自然数)
m²-n²=23
(m+n)(m-n)=23
m+n>m-n で23=23×1だから
m+n=23，m-n=1 より求めます

n=11

　根号が外れるためには，根号の中は，平方数になっていなければならない。
n²+35=m² とおく (n，mは自然数)
m²-n²=35
(m+n)(m-n)=35
m+n>m-n で35を自然数の積に分ける方法は35×1と7×5
m+n=35，m-n=1 とm+n=7，m-n=5からnの大きい方を答えます

m+n=35，m-n=1→m=18,n=17,m+n=7，m-n=5→m=6,n=1
ｎの大きい方はn=17

　根号が外れるためには，根号の中は，整数であってかつ平方数になっていなければならない。
$\sqrt{\frac{60}{n}}=\sqrt{\frac{2^2\times (3\times 5)}{n}}$ だからｎは少なくとも $(3\times 5)=15$
の倍数でなければならない．（3と5が約分で消えなければならない）

n=15

　根号が外れるためには，根号の中は，整数であってかつ平方数になっていなければならない。
$\sqrt{\frac{360}{n}}=\sqrt{\frac{2^3\times 3^2 \times 5}{n}}=\sqrt{\frac{2^2\times 3^2 \times (2\times 5)}{n}}$
だからｎは少なくとも $(2\times 5)=10$ の倍数でなければならない．（2のうちの１つと5が約分で消えなければならない）

n=10

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