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===≪平方根が整数となるnの値≫===
■解説■
例題1
  が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。

答案
 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
 24n=23・3n だから 根号の中が平方数になるにはnは2と3の倍数。
 nのうちで最小のものは6 ・・答


※n=6のとき上の式の値はとなります。
自然数とは正の整数(1,2,3,4,・・・)のこと。0は含まれない。
平方数とはある整数の平方(2乗)になっている数のこと。4=22や9=32は平方数。
例題2
  が自然数となる自然数nを求めなさい。

答案
 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
 24-3n=3(8-n) だから 根号の中が平方数になるには8-n は3の倍数
 8-n=3,6
 このうち根号の中が平方数となるのは8-n=3のとき
 n=5 ・・答


※8-n=0,n=8のときは元の式の値は0となり,√0=0となり,整数ではあるが自然数にはなりません。
※n=5のとき上の式の値は√9=3となります。
例題3
  が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。

答案
 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
 根号内の分母が7だから割り切れるためにはnは7の倍数。
 また,24=23・3だからnは2,3の倍数。
ゆえに,nのうち最小のものは7×2×3=42・・答


※n=42のとき上の式の値は,となります。
例題4
が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。

答案
 24+3n=3(8+n)
 根号内の分母が7だから割り切れるためには8+nは7の倍数。
 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならないから,8+nは3の倍数。
 以上より,8+n=21,42,・・
 最小となるのは8+n=21よりn=13・・答


※n=13のとき上の式の値は3となります。
例題3  (所要時間長い)
が整数となる自然数nの値を求めなさい。
答案
 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
n2+19=m2 とおく (n,mは自然数)
m2-n2=19
(m+n)(m-n)=19
m+n>m-n で19=19×1だから
m+n=19,m-n=1 よりm=10,n=9・・・答

(※n=9のとき,上の式の値は10になります。)


■問題
(1) ・・・(所要時間の目安:1分程度)・・・
  が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。
n=
(2) ・・・(所要時間の目安:1分程度)・・・
が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。
n=
(3) ・・・(所要時間の目安:5分程度)・・・
が自然数となる自然数nを求めなさい。
n=
(4) ・・・(所要時間の目安:5分程度)・・・
が自然数となる自然数nを求めなさい。
n=
(5) ・・・(所要時間の目安:5分程度)・・・
が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。
n=


(6) ・・・(所要時間の目安:5分程度)・・・
が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。
n=
(7) ・・・(所要時間の目安:10分程度)・・・
 が整数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。
n=
(8) ・・・(所要時間の目安:10分程度)・・・
 が自然数となる自然数nのうち,最小のものを求めなさい。
n=
(9) ・・・(所要時間の目安:10分程度)・・・
  が整数となる自然数nを求めなさい。
n=
(10) ・・・(所要時間の目安:10分程度)・・・
  が整数となる最も大きな自然数nを求めなさい。
n=

(11)

が整数となる最も小さな自然数nを求めなさい。
n=
(12)

が整数となる最も小さな自然数nを求めなさい。
n=

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