分母に根号のない形

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■　分母に根号がない形への変形

※分母に根号がない形へ変形することを「分母の有理化」という．
※分母の有理化という用語は中学校の教科書に書いてあるとは限らないので，この教材では「分母に根号がない形」という言い方で進めていきます．

　ほとんどの場合，分母に根号がある形よりも分母に根号がない形の方が使いやすい．
　分母に根号がない形に変形するには，次のようにする．

≪1≫　分母の根号に等しいものを「分母と分子の両方に掛ける」のが基本です．

【例1.1】

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形に変形するには

通分のときと同様に，分数を正しく変形するためには，分母と分子の両方に同じ数を掛けなければならない．
______= , =

分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ を掛けるとよい．
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

分母と分子の両方に根号の式を掛けるのは，根号を２乗すると根号がなくなるからである．

【問題1.1】

以下の問題では，操作性をよくするために選択問題にしていますが，まぐれ当たりでは力が付きませんので，よく考えてから答えてください．
※解答すれば解説を読むことができます．

[1] $\frac{1}{\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形にしてください．

（正しい答をクリックしてください．）

解説やり直す

$\frac{1}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ $\sqrt{3}$

分母と分子の両方に $\sqrt{3}$ を掛けます．
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

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[2] $\frac{1}{\sqrt{6}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\sqrt{6}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$

分母と分子の両方に $\sqrt{6}$ を掛けます．
$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1\times\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

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【例1.2】

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形に変形するには

分子に何と書いてあってもそれは気にせずに，「分母の $\sqrt{3}$ を取り除くためには」ということだけを考えて，

分母と分子の両方に $\sqrt{3}$ を掛けるとよい．
$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

【問題1.2】

[1] $\frac{6}{\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{2}$ $6\sqrt{6}$

分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ を掛けます．
$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}$
$2$ で約分します．
$=3\sqrt{2}$

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[2] $\frac{10}{\sqrt{5}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$2\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$ $2\sqrt{5}$ $5\sqrt{5}$

分母と分子の両方に $\sqrt{5}$ を掛けます．
$\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}$
$5$ で約分します．
$=2\sqrt{5}$

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【例1.3】

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ を分母に根号がない形に変形するには

分子に根号 $\sqrt{3}$ があってもそれは気にせずに，「分母の $\sqrt{5}$ を取り除くためには」ということだけを考えて，

分母と分子の両方に $\sqrt{5}$ を掛けるとよい．
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{3\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

【問題1.3】

[1] $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{7}}{3}$ $\frac{\sqrt{21}}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{7}$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$

分母と分子の両方に $\sqrt{7}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

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[2] $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ $\frac{\sqrt{10}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$

分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

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【例1.4】

$\sqrt{\frac{3}{2}}$ を分母に根号がない形に変形するには

正の数 $a,b$ について成り立つ次の公式を使って，変形してから考えるとよいでしょう．

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

初めに，上の公式を使って変形しておきます．
$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
上記の【例1.3】と同様に分母だけを見て，掛ける数を考えます．
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

【問題1.4】

[1] $\sqrt{\frac{4}{5}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{5}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

初めに，次の形に変形しておきます．
$\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
分母と分子の両方に $\sqrt{5}$ を掛けます．
$\frac{2\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

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[2] $\sqrt{\frac{12}{7}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{2\sqrt{3}}{7}$ $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ $\frac{\sqrt{12}}{7}$ $\frac{2\sqrt{21}}{7}$

初めに，次の形に変形しておきます．
$\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
分母と分子の両方に $\sqrt{7}$ を掛けます．
$\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$

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≪2≫　分母が整数と根号のかけ算になるときは，根号の部分だけを「分母と分子の両方に掛ける」とよい．

【例2.1】

$\frac{1}{2\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形に変形するには

○（お薦めの方法）

分母のうちの「 $\sqrt{3}$ だけが具合が悪い」と考えて，
分母と分子の両方に $\sqrt{3}$ を掛けます．
$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

▲（間違いとは言えないが，まずい方法）

分母と分子の両方に $2\sqrt{3}$ を掛ける．
$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{12}$
このようにすると，分母にも分子にも２を余計にかけてしまっているので，まだ約分できる形になる．これを約分し忘れると減点や誤答になります．
$=\frac{\sqrt{3}}{6}$

※２を掛けてから２で割るのなら，初めから２を掛けない方がよいということ．
能率の観点だけでなく，手順が複雑になると間違いやすくなることも考えると，手順は簡単な方がよい．

【問題2.1】

[1] $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{2\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$

分母のうちの「 $\sqrt{2}$ だけが具合が悪い」と考えて，
分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ を掛けます．
$\frac{1}{3\sqrt{2}}=\fra{1\times\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$

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[2] $\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{5}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{6}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{10}}{15}$ $3\sqrt{2}$

分母のうちの「 $\sqrt{5}$ だけが具合が悪い」と考えて，
分母と分子の両方に $\sqrt{5}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}\times\sqrt{5}}{3\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{50}}{15}$
$=\frac{5\sqrt{2}}{15}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

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【例2.2】

$\frac{2}{\sqrt{18}}$ を分母に根号がない形に変形するには

初めに，分母の根号を簡単にしておきます．
$\frac{2}{3\sqrt{2}}$

分母のうちの「 $\sqrt{2}$ だけが具合が悪い」と考えて，
分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ を掛けます．
$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\times\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{6}$
$=\frac{\sqrt{2}}{3}$

【問題2.2】

[1] $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{27}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\frac{\sqrt{5}}{9}$ $\frac{\sqrt{15}}{9}$ $\frac{\sqrt{15}}{27}$

初めに，分母の根号を簡単にしておきます．
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{27}}=\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$

分母のうちの「 $\sqrt{3}$ だけが具合が悪い」と考えて，
分母と分子の両方に $\sqrt{3}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{9}$

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[2] $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{20}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{10}$ $\frac{3\sqrt{2}}{10}$ $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ $\frac{3\sqrt{10}}{20}$

初めに，分母の根号を簡単にしておきます．
$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{20}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$

分母のうちの「 $\sqrt{5}$ だけが具合が悪い」と考えて，
分母と分子の両方に $\sqrt{5}$ を掛けます．
$\frac{3\sqrt{2}\times\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

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【例2.3】

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}\sqrt{5}}$ を分母に根号がない形に変形するには

分母の $\sqrt{3}$ も $\sqrt{5}$ も整数に変えられるように，分母分子に $\sqrt{3}\times\sqrt{5}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}\times\sqrt{3}\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{5}\times\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{18}\sqrt{5}}{3\times 5}$
$=\frac{3\sqrt{2}\sqrt{5}}{15}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

次のように $\sqrt{3}$ を約分することから始めてもよい．
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

次のように分母を１つの根号にまとめてから計算してもよい．
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{6}\times\sqrt{15}}{\sqrt{15}\times\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{90}}{15}$
$=\frac{3\sqrt{10}}{15}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

【問題2.3】

[1] $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{5}}{6}$ $\frac{\sqrt{10}}{6}$ $\frac{2\sqrt{5}}{6}$ $\frac{\sqrt{30}}{6}$

分母の $\sqrt{2}$ も $\sqrt{3}$ も整数に変えられるように，分母分子に $\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}\times\sqrt{2}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$

[2] $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{5}\sqrt{7}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{6}}{35}$ $\frac{\sqrt{30}}{35}$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$ $\frac{\sqrt{210}}{70}$

分母の $\sqrt{5}$ も $\sqrt{7}$ も整数に変えられるように，分母分子に $\sqrt{5}\times\sqrt{7}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{5}\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{6}\times\sqrt{5}\sqrt{7}}{2\sqrt{5}\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{210}}{70}$

【例2.4】

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形に変形するには

分母と分子の両方に $\sqrt{2}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}$

※このとき，分子の $\sqrt{5}$ にも $\sqrt{3}$ にも $\sqrt{2}$ を掛けることを忘れれないように気を付けましょう．

$=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

【問題2.4】

[1] $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{15}}{3}$

分母の $\sqrt{3}$ を整数に変えられるように，分母分子に $\sqrt{3}$ を掛けます．
$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{15}}{3}$

[2] $\frac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{3}$ $\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$ $\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{12}$ $\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{18}$

分母の $\sqrt{2}$ を整数に変えられるように，分母分子に $\sqrt{2}$ を掛けます．
$\frac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{(2-\sqrt{3})\times\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$

（参考）

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ や $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ のように分母が根号を含む式の和や差になっている式を根号がない形にする変形は中学校では扱いません．必要な人は高校の教材を見てください．

（まとめの問題）

【問題3】

[1] $2\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$3\sqrt{3}$ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

$2\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=(2+\frac{1}{3})\sqrt{3}$
$=\frac{7}{3}\sqrt{3}$

[2] $\sqrt{27}-\frac{9}{\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$-2\sqrt{3}$ $0$ $2\sqrt{3}$ $\frac{14\sqrt{3}}{5}$

$\sqrt{27}-\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$

[3] $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{\sqrt{6}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$ $\frac{\sqrt{6}}{9}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

[4] $\frac{1}{\sqrt{8}}-\frac{4}{\sqrt{2}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$3\sqrt{2}$ $6\sqrt{2}$ $-\frac{7}{2}\sqrt{2}$ $-\frac{7}{4}\sqrt{2}$

$\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{4\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{2}$
$=-\frac{7}{4}\sqrt{2}$

[5] $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{3}{2}}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$-\frac{\sqrt{6}}{6}$ $-\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$

$\frac{\sqrt{10}\times\sqrt{3}\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{5}\times\sqrt{3}\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{150}}{15}-\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}$
$=\frac{5\sqrt{6}}{15}-\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$

[6] $\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3}$ $\frac{2-\sqrt{15}}{3}$ $\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{15}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{15}}{3}$

$\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{5})\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{15}}{3}$

[7] $\frac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{5}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$\frac{2\sqrt{15}-3}{5}$ $\frac{2-3\sqrt{5}}{5}$ $\frac{2\sqrt{15}-3\sqrt{5}}{5}$ $\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{15}}{5}$

$\frac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}}=\frac{(2\sqrt{3}-3)\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}-3\sqrt{5}}{5}$

[8] $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{3\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{6}}$ を分母に根号がない形にしてください．

解説やり直す

$0$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\sqrt{6}$

このように分数が幾つもある問題では「通分する」のではなく，「１つずつ分母に根号のない形にする」方が計算が簡単になります．
$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{3\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{6}}$ $=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}-\frac{3\times\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}-\frac{3\sqrt{6}}{6}=0$

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