扇形の高校入試問題

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【扇形の高校入試問題】
= ♣～弧の長さ～♬ =

【問題1】

　右の図は，半径3cm，中心角60°のおうぎ形です。
　このとき，おうぎ形の弧の長さを求めなさい。
　ただし，円周率はπとします。

（2017年岩手県公立高校入試問題）

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円周の長さLは
　L=2×π×3=6π(cm)
中心角が60°のおうぎ形の弧の長さℓは

　ℓ= $\frac{60}{360}L=\frac{1}{6}\times 6\pi=\pi$ (cm)･･･（答）
→隠す←

【問題2】

　右の図のように，半径が9cm，中心角が60°のおうぎ形OABがあります。このおうぎ形の弧ABの長さを求めなさい。
　ただし，円周率はπを用いなさい。

（2021年北海道公立高校入試問題）

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円周の長さLは
　L=2×π×9=18π(cm)
中心角が60°のおうぎ形の弧の長さℓは

　ℓ= $\frac{60}{360}L=\frac{1}{6}\times 18\pi=3\pi$ (cm)･･･（答）
→隠す←

= ♣～扇形の面積～♬ =

【問題3】
　右の図において，おうぎ形の面積は (cm2)である。
　ただし，円周率はπとする。

（2021年沖縄県公立高校入試問題）

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円の面積Sは
　S=π×32=9π(cm2)
おうぎ形の面積sは

　 $s=\frac{60}{360}S=\frac{1}{6}\times 9\pi=\frac{3}{2}\pi$ (cm2)･･･（答）
→隠す←

【問題4】
　右の図で，おうぎ形の半径は5cm，中心角は240°である。このおうぎ形の面積を求めなさい。ただし，円周率をπとする。

（2021年秋田県公立高校入試問題）

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円の面積Sは
　S=π×52=25π(cm2)
おうぎ形の面積sは

　 $s=\frac{240}{360}S=\frac{2}{3}\times 25\pi=\frac{50}{3}\pi$ (cm2)･･･（答）
→隠す←

= ♣～扇形の中心角～♬ =

【問題5】
　右の図は，母線の長さが8cm，底面の円の半径が3cmの円錐の展開図です。図のおうぎ形OABの中心角の大きさを求めなさい。

（2021年埼玉県公立高校入試問題）

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底面の円周の長さは
　L=2π×3=6π(cm)
おうぎ形の中心角をθとおくと

　 $L=\frac{\theta}{360}\times 2\times 8\times \pi=\frac{2\theta}{45}\pi$ (cm)
したがって
　 $\frac{2\theta}{45}\pi=6\pi$
　 $\theta=135^{\circ}$ ･･･（答）
→隠す←

【問題6】
　右の図のように，底面の半径が3cm，高さ4cm，母線の長さが5cmの円錐がある。
　次の(1)，(2)に答えなさい。
(1)　略
(2)　この円錐の展開図を作図したとき，側面のおうぎ形の形として最も近いものを，次のア～エの中から１つ選び，その記号をかきなさい。

（2018年和歌山県公立高校入試問題）

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底面の円周の長さは
　L=2π×3=6π(cm)
おうぎ形の中心角をθとおくと

　 $L=\frac{\theta}{360}\times 2\times 5\times \pi=\frac{\theta}{36}\pi$ (cm)
したがって
　 $\frac{\theta}{36}\pi=6\pi$
　 $\theta=216^{\circ}$ →ア･･･（答）
→隠す←

【問題7】
　図1のように，底面の直径ABと母線の長さPAについて，AB=PA=4cmの円錐がある。
(1)　この円錐の側面の展開図はおうぎ形になる。その展開図として正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号を書きなさい。

（2017年長野県公立高校入試問題）

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底面の円周の長さは
　L=2π×2=4π(cm)
おうぎ形の中心角をθとおくと

　 $L=\frac{\theta}{360}\times 2\times 4\times \pi=\frac{\theta}{45}\pi$ (cm)
したがって
　 $\frac{\theta}{45}\pi=4\pi$
　 $\theta=180^{\circ}$ →エ･･･（答）
→隠す←

= ♣～類題～♬ =

【問題8】
　図のように，半径6cmで中心角60°であるおうぎ形をA，半径6cmで弧の長さが6cmであるおうぎ形をB，一片の長さが半径6cmの正三角形をCとする。

　A, B, Cの面積について，次のa，bにあてはまる語句の組み合わせとして正しいものを，下のア～エから一つ選び，記号で答えなさい。

• Aの面積よりもBの面積の方がa。
• Aの面積よりもCの面積の方がb。

ア　a：大きい，b：大きい
イ　a：大きい，b：小さい
ウ　a：小さい，b：大きい
エ　a：小さい，b：小さい

（2023年山口県公立高校入試問題）

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Aについて
• 中心角がθ°のおうぎ形の面積をSAとすると，おうぎ形の面積は中心角に比例するから
$\pi r^2\hspace{3}:\hspace{3}S=360\hspace{3}:\hspace{3}\theta$
$360S=\pi r^2\theta$
$S=\pi r^2\times\frac{\theta}{360}$
• 半径が6(cm)，中心角が60°のとき

$S_A=6^2\pi\times\frac{60}{360}=6\pi$ ≒6×3.14=18.84(cm2)

Bについて
• 弧の長さがlのおうぎ形の面積をSBとすると
$\pi r^2\hspace{3}:\hspace{3}S=2\pi r\hspace{3}:\hspace{3}l$
$2\pi rS=\pi r^2l$
$S=\frac{rl}{2}$
• 半径が6(cm)，弧の長さが6(cm)のとき

$S_B=\frac{36}{2}=18$ (cm2)

Cについて･･･［中学3年生で習う三平方の定理を使う］

• 一辺の長さが6(cm)の正三角形の面積をSCとする
• 右図の直角三角形PQHにおいて，三平方の定理により
$\rm{PH}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

$S_c=\frac{6\times3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ ≒9×1.73=15.57(cm2)

以上から，SA>SB>SC
　エ･･･（答）
→隠す←

【問題9】
　右の図1のように，円すいを底面に平行な平面で切ってできる２つの立体のうち，底面をふくむ立体をPとする。円すいの底面の半径は3cm，切り口の円の半径は2cmである。また，線分ABは円すいの母線の一部分であり，その長さは10cmである。
　このとき，次の問いに答えなさい。
　ただし，円周率はπとする。
(1)　立体Pの高さを求めなさい。
　ただし，立体Pの高さとは，円すいの底面の円の中心と切り口の円の中心を結んだ線分の長さである。
(2)　立体Pの体積を求めなさい。
(3)　右の図2のように，立体Pをたおして平面上に置き，すべらないように転がしたところ，立体Pは，点Oを中心とする２つの円の間を何回か回転しながら1周して，もとの位置にもどった。このとき，立体Pは何回の回転をしたか求めなさい。

（2023年富山県公立高校入試問題）

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(1)

右図の直角三角形ABHにおいて，三平方の定理を使うと
$h=\sqrt{10^2-1^2}=\sqrt{99}$
$=3\sqrt{11}$ (cm)･･･（答）
(2)
大きい円柱の体積は
$V_1=\frac{3^2\pi\times9\sqrt{11}}{3}=27\sqrt{11}\pi$
小さい円柱の体積は
$V_1=\frac{2^2\pi\times6\sqrt{11}}{3}=8\sqrt{11}\pi$
それらの差を求めると
$V_1-V_2=19\sqrt{11}\pi$ ･･･（答）
(3)
図1の円すいの頂点からAまでの長さは，30(cm)
したがって，図2の大きい円の半径は30(cm)で，その１周の長さは
　2×π30=60π(cm)
立体Pの底面の半径は3(cm)で，その１周の長さは
　2×π3=6π(cm)
ゆえに，10周･･･（答）
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【問題10】
　右の図1は，線分ABを直径とする円Oを底面とし，線分ACを母線とする円すいである。
　また，点Dは線分BCの中点である。
　さらに，点Eは円Oの周上の点である。
　AB=8cm, AC=10cm, ∠AOE=60°のとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率はπとする。
(ア)　この円すいの表面積として正しいものを次の1～6の中から1つ選び，その番号を答えなさい。
　1.　24πcm2　　2.　28πcm2　　3.　40πcm2
　4.　48πcm2　　5.　56πcm2　　6.　84πcm2
(イ)　この円すいにおいて，2点D, E間の距離として正しいものを次の1～6の中から1つ選び，その番号を答えなさい。
　1.　　 $\sqrt{43}$ cm　　2.　　7cm　　　3.　 $5\sqrt{2}$ cm
　4.　　 $\sqrt{57}$ cm　　5.　　 $3\sqrt{7}$ cm　　6.　8cm

(ウ)　次のの中の「せ」「そ」にあてはまる数字をそれぞれ0～9の中から1つずつ選び，その数字を答えなさい。
　点Fが線分ACの中点であるとき，この円すいの側面上に，図2のように点Eから線分BCと交わるように，点Fまで線を引く。このような線のうち，長さが最も短くなるように引いた線の長さは
せ $\sqrt{\hspace{20}}$ そcmである。

（2023年神奈川県公立高校入試問題）

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(ア)
側面のおうぎ形の中心角を求める
底面は，半径が4cmの円だから，その円周の長さは
　2π×4=8π(cm)
側面は，半径が10cmの円の一部からなるおうぎ形で，その中心角をθ°とすると，弧の長さが底面の円周と一致するから
$2\pi\times 10\times\frac{\theta}{360}=8\pi$
$\frac{\theta}{360}=\frac{2}{5}$ …(1)
底面は，半径が4cmの円だから，その面積は
　π×42=16π(cm2)
(1)により，側面は，半径が10cmの円の2/5だから，その面積は
$10^2\pi\times \frac{2}{5}=40\pi$ (cm2)
表面積は
　16π+40π=56π(cm2)→5…（答）

(イ)
図1において，PQ=4, PE= $2\sqrt{3}$ であるから三平方の定理により
　EQ= $\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+ 12}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
また，直角三角形BDQにおいて，BD=5, QB=2だから，三平方の定理により
　DQ= $\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$
さらに，直角三角形DEQにおいて，三平方の定理により

　DE= $\sqrt{(2\sqrt{7})^2+(\sqrt{21})^2}=\sqrt{28+ 21}=\sqrt{49}=7$ →2…(答)

(ウ)

弧の長さAA'は，もとの円すいの底面の円周に等しいから，
　AA'=2π×4=8π
弧の長さAEは，もとの円すいの底面の円周の1/6に等しいから，
　AE $=8\pi\times\frac{1}{6}=\frac{4}{3}\pi$

計算が長過ぎて，試験会場で書き切れない～
･･･泣きですわ～

おうぎ形CAA'の中心角をθとすると
　360°:θ=20π:8π
　 $\theta=\frac{8}{20}\times 360^{\circ}=144^{\circ}$
おうぎ形CAEの中心角をθ1とすると

　 $\theta_1=\frac{1}{6}\times \theta=24^{\circ}$
おうぎ形CEA'の中心角をθ2とすると
　θ2=144°−24°=120°
直角三角形CHEにおいて，CH=5, CE=10, ∠ECH=60°だから，三平方の定理により
　 $\rm{EH}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
次に，直角三角形FHEにおいて，FH=10, HE= $5\sqrt{3}$ だから，三平方の定理により
　 $\rm{FE}=\sqrt{10^2+(5\sqrt{3})^3}=\sqrt{100+ 75}=\sqrt{175}$
　 $=5\sqrt{7}$ cm…（答）
→隠す←