反比例のグラフの高校入試問題

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【反比例のグラフの高校入試問題】

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★：基本，★★：普通，★★★：やや難しい

= ♣～反比例のグラフ→式～♬ =

【問題1】★
　右の図は，yがxに反比例する関数のグラフである。yをxの式で表しなさい。

（2021年栃木県公立高校入試問題）

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反比例の式は， $y=\frac{a}{x}$ の形に書ける．（aは定数）
グラフが，点(3, 6)を通るから
$6=\frac{a}{3}$
a=18になるから

$y=\frac{18}{x}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2】★
　右の図のような，点(−5, 2)を通る反比例のグラフがあります。このグラフ上の，x座標が3である点のy座標を求めなさい。

（2022年宮城県公立高校入試問題）

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反比例の式は， $y=\frac{a}{x}$ の形に書ける．（aは定数）
グラフが，点(−5, 2)を通るから
$2=\frac{a}{-5}$
a=−10になる
このグラフでx=3のとき

$y=-\frac{10}{3}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★
　右の図の双曲線は，ある反比例のグラフである。この反比例について，yをxの式で表しなさい。

（2021年群馬県公立高校入試問題）

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反比例の式は， $y=\frac{a}{x}$ の形に書ける．（aは定数）
グラフが，点(−2, 2)を通るから･･･点(2, −2)でもよい
$2=\frac{a}{-2}$
a=−4になるから

$y=-\frac{4}{x}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

= ♥～変域など～♪ =

$y=\frac{a}{x}$ $y=\frac{a}{x}$

【問題4】★★
　右の図は，反比例の関係 $y=\frac{a}{x}$ のグラフです。ただし，aは正の定数とし，点Oは原点とします。①～③に答えなさい。
①　yがxに反比例するものは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。
ア　面積が20cm2の平行四辺形の底辺xcmと高さycm
イ　1辺がxcmの正六角形の周の長さycm
ウ　1000mの道のりを毎分xmの速さで進むときにかかる時間y分
エ　半径xcm，中心角120°のおうぎ形の面積ycm2
②　グラフが点(4, 3)を通るとき，(1)，(2)に答えなさい。
(1)　aの値を求めなさい。
(2)　xの変域が3≦x≦8のとき，yの変域を求めなさい。
③　aは6以下の正の整数とします。グラフ上の点のうち，x座標とy座標がともに整数である点が4個となるようなaの値を，すべて求めなさい。

（2021年岡山県公立高校入試問題）

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①

ア→xy=20だから，反比例〇
イ→y=6xだから，比例 ×
ウ→xy=1000だから，反比例〇

エ→ $y=\frac{1}{3}\pi x^2$ だから，x2に比例 ×

以上から，反比例になるのは，アとウ･･･（答）
②

$3=\frac{a}{4}$
より，a=12･･･（答）
3≦x≦8のとき， $\frac{12}{3}\underset{=}{\gt}y\underset{=}{\gt}\frac{12}{8}$
$\frac{3}{2}\underset{=}{\lt}y\underset{=}{\lt}4$ ･･･（答）

③

※aの値を順に決めたら「お絵描き」の遊びになる♪♩♫♬♪

右図で
赤は $y=\frac{1}{x}$
青は $y=\frac{2}{x}$
緑は $y=\frac{3}{x}$
シアンは $y=\frac{4}{x}$
マゼンタは $y=\frac{5}{x}$
オレンジは $y=\frac{6}{x}$
x座標とy座標がともに整数である点が4個となるのは，a=2, 3, 5のとき･･･（答） →解説を隠す←

= ♦～反比例のグラフと直線～♩ =

【問題5】★
　右の図のにおいて，直線は一次関数y=ax+bのグラフで，曲線は関数 $y=\frac{c}{x}$ のグラフです。
　座標軸とグラフが，右の図のように交わっているとき，a, b, cの正負の組み合わせとして正しいものを，次のア～クの中から一つ選び，その記号を書きなさい。

ア　a>0, b>0, c>0　　イ　a>0, b>0, c<0
ウ　a>0, b<0, c>0　　エ　a>0, b<0, c<0
オ　a<0, b>0, c>0　　カ　a<0, b>0, c<0
キ　a<0, b<0, c>0　　ク　a<0, b<0, c<0

（2022年埼玉県公立高校入試問題）

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直線は，右下がりだからa<0
　　切片のy座標は正だから，b>0
曲線は，x<0,y>0の部分とx>0,y<0の部分にあるから，c<0→カ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題6】★★
　右の図において，曲線は関数 $y=\frac{6}{x}$ のグラフで，曲線上の2点A, Bのx座標はそれぞれ−6, 2です。
　2点A, Bを通る直線の式を求めなさい。

（2023年埼玉県公立高校入試問題）

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$y=\frac{6}{x}$ にx=−6を代入すると，y=−1 ⇒ A(−6, −1)
$y=\frac{6}{x}$ にx=2を代入すると，y=3 ⇒ B(2, 3)
A, Bを通る直線の式をy=ax+bとおくと
A(−6, −1)を通るから
　−1=−6a+b
B(2, 3)を通るから
　3=2a+b
この連立方程式を解くと
　 $a=\frac{1}{2},\hspace{3}b=2$
A, Bを通る直線の式は
　 $y=\frac{1}{2}x+ 2$ …（答）
→解説を隠す←

【問題7】★★★
　右の図のように，y軸上に点A(0, 5)があり，関数 $y=\frac{a}{x}$ のグラフ上に，y座標が5より大きい範囲で動く点Bとy座標が2である点Cがあります。直線ABとx軸との交点をDとします。また，点Cからx軸に垂線を引き，x軸との交点をEとします。ただし，a>0とします。
　次の(1)・(2)に答えなさい。
(1)　a=8のとき，点Cのx座標を求めなさい。
(2)　DA=AB, DE=9となるとき，aの値を求めなさい。

（2021年広島県公立高校入試問題）

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(1)
a=8のとき， $2=\frac{8}{x}$ より
　x=4･･･（答）
(2)
Bのx座標をtとおくと，
　DA=ABのとき，Bのy座標は10となるから
$\frac{a}{t}=10$
　a=10t･･･①
また，OD=tとなるから，Cのx座標は9−t
$\frac{a}{9-t}=2$
　a=2(9−t)･･･②
①②の連立方程式を解くと
$t=\frac{3}{2}$
　a=15･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★★
　右の図において，①は原点Oを通る直線，②は関数 $y=\frac{6}{x}$ のグラフである。①と②は2つの交点をもつものとし，そのうちのx座標が正である点をAとする。AO=ABとなる点Bをx軸上にとり，三角形AOBを作る。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1)　点Aのx座標が2のとき，点Aの点y座標を求めよ。
(2)　三角形AOBが直角二等辺三角形となるときの直線①の式を求めよ。
(3)　三角形AOBの面積は，点Aが②のグラフ上のどの位置にあっても，常に同じ値であることが言える。
　点Aのx座標をmとすると，mがどんな値であっても，三角形AOBの面積は一定であることを，言葉と式を使って説明せよ。

（2021年高知県公立高校入試問題）

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(1)
$y=\frac{6}{x}$ にx=2を代入すると，y=3･･･（答）
(2)
直線①の傾きが1になるから，y=x･･･（答）
(3)
$A(m,\hspace{3}\frac{6}{m})$ とおくと，B(2m, 0)となるから，△OABの面積は

$2m\times\frac{6}{m}\div 2=6$ となるから，mがどんな値であっても，面積は一定である →解説を隠す←

【問題9】★★★
　図のように，関数 $y=\frac{a}{x}$ …①のグラフ上に2点A, Bがあり，点Aの座標は(−2, 6)，点Bのx座標は4である。また，点C(4, 9)をとり，直線BCとx軸との交点をDとする。
　直線AB, ACをひくとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1)　aの値を求めなさい。
(2)　△ABCの辺AC上にある点のうち，x座標，y座標がともに整数である点は，頂点A, Cも含めて，全部で何個あるか求めなさい。
(3)　点Dを通り，△ABCの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

（2021年宮崎県公立高校入試問題）

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(1)
$6=\frac{a}{-2}$ を変形すると，a=−12…（答）
(2)
2点A(−2, 6), C(4, 9)を通る直線の式をy=ax+bとおくと
点A(−2, 6)を通るから
　6=−2a+b…(#1)
点C(4, 9)を通るから
　9=4a+b…(#2)
連立方程式(#1)(#2)を解くと
$a=\frac{1}{2},\hspace{3}b=7$
直線ACの式は
$y=\frac{1}{2}x+ 7$
頂点A, Cも含めて，辺AC上にある点は，−2≦x≦4の範囲だから，x座標，y座標がともに整数となるのは
　x=−2, 0, 2, 4の4個･･･（答）
(3)
　求める直線が直線ACと交わる点をEとおく
　△ABCの面積は，12×6÷2=36 だから，△EDCの面積が18になるようにする
　CD=9だから，EからCDに引いた垂線の長さ（△EDCの高さ）が4になればよい
　Eのx座標は0
$y=\frac{1}{2}x+ 7$ にx=0を代入すると，y=7
　Eの座標は(0, 7)
2点D(4, 0), E(0, 7)を直線の式を求めると，傾きが $-\frac{7}{4}$ で切片が7だから
$y=-\frac{7}{4}x+ 7$ …（答）
→解説を隠す←

【問題10】★★★
　右の図で，曲線は関数 $y=\frac{6}{x}$ のグラフである。2点A, Bの座標はそれぞれ(−6, −1), (−3, −5)である。点Cは曲線上を動く点であり，点Dはx軸上を動く点である。2点C, Dのx座標はどちらも正の数である。原点をOとして，各問いに答えよ。
(1)　点Cのx座標が1であるとき，点Cのy座標を求めよ。
(2)　2点C, DがOC=CDを保ちながら動くとき，点Cのx座標が大きくなるにつれて，△OCDの面積はどのようになるか。次のア～オのうち，正しいものを1つ選び，その記号を書け。

ア　大きくなる。　イ　大きくなってから小さくなる。
ウ　小さくなる。　エ　小さくなってから大きくなる。
オ　一定である。

(3)　△OABの面積と△OBDの面積が等しくなるように点Dをとるとき，点Dのx座標を求めよ。
(4)　四角形ABDCが平行四辺形になるように2点C, Dをとるとき，2点B, Dを通る直線の式を求めよ。

（2022年奈良県公立高校入試問題）

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(1)
$y=\frac{6}{x}$ にx=1を代入すると，y=6…（答）
(2)
　OC=CDのとき，Dのx座標はCのx座標の2倍になるから， $C(x,\hspace{3}\frac{6}{x}),\hspace{3}D(2x,\hspace{3}0)$ とおける．このとき，
　 $\Delta\rm{OCD}=2x\times\frac{6}{x}\div 2=6$
となるから，「面積は一定である」→オ･･･（答）

(3)
D(x, 0)とおくと，△OBDの面積は，x×5÷2
四角形OEABの面積は，(1+5)×3÷2 +5×3÷2=33÷2
三角形OEAの面積は，1×6÷2=3
したがって，三角形OABの面積は，33÷2−3=27÷2
$\frac{5}{2}x=\frac{27}{2}$
$x=\frac{27}{5}$ ･･･（答）
(4)

〇平行四辺形であるための条件は，「AC∥BDかつAB∥CDを傾きの計算で示す」方法以外に「ADとBCの中点が一致することを示す」方法がある←こちらの方が計算が簡単

〇問題文が「前提 (1)(2)(3)(4)」の形になっているとき，(1)(2)(3)の仮定は(4)には関係ない．

$\rm{A}(-6,\hspace{3}-1),\hspace{3}\rm{B}(-3,\hspace{3}-5),\hspace{3}\rm{C}(c,\hspace{3}\frac{6}{c}),\hspace{3}\rm{D}(d,\hspace{3}0)$
とおくと
ADの中点の座標は， $(\frac{-6+ d}{2},\frac{-1}{2})$
BCの中点の座標は， $(\frac{-3+ c}{2},\frac{\frac{6}{c}-5}{2})$

　こんな長い答案を，試験会場で書いている時間がない！泣きそー💧

　分数計算もコテコテだぞー!!
　ブツブツ･･･

これらが一致するから
$-6+ d=-3+ c$
$-1=\frac{6}{c}-5$
この連立方程式を解くと
$c=\frac{3}{2},d=\frac{9}{2}$
したがって
$\rm{B}(-3,-5),\hspace{3}\rm{D}(\frac{9}{2},0)$

直線BDの式をy=ax+bとおくと
$-3a+ b=-5$
$\frac{9}{2}a+ b=0$
この連立方程式を解くと
$a=\frac{2}{3},\hspace{3}b=-3$
結局，直線BDの式は

$y=\frac{2}{3}x-3$ …（答）
→解説を隠す←

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