■三平方の定理の応用 → 携帯版は別頁

【三平方の定理】
 右図のような直角三角形については
b2+c2=a2
が成り立つ.
○三平方の定理を使えば,直角三角形の2辺の長さが分かれば残りの1辺の長さが求められる.
たとえば右図では,
b , c が分かっていれば a が求められる.
a , c が分かっていれば b が求められる.
a , b が分かっていれば c が求められる.
例1 右図で黄色の三角形について三平方の定理を使うとAHの長さが求めることができ,
 さらに求めたAHの長さとCHの長さを使って青色の三角形について三平方の定理を使うと辺ACの長さを求めることができる.
22+x2=(2)2
4+x2=20
x2=16
x=4 (>0)
さらに 42+32=y2
y2=25
y=5 (>0)
問題1 右図において x , y の長さを求めなさい.
x=
y=
採点する やり直す
問題2 右図において CD の長さ x を求めなさい.
x=
採点する やり直す
例2 長方形の向かい合う辺の長さは等しいので,右図で AH=DC になる.
 このAH の長さとAB の長さから三角形ABH について三平方の定理を使うと辺BH が求まり,HC,AD の長さが分かる.
AH=DC=
ABH に三平方の定理を適用すると
()2+BH2=()2
3+BH2=7
BH2=4
BH=2 (>0)
したがって
CH=3
x=3
問題3 右図において CD の長さ x を求めなさい.
x=
採点する やり直す
例3 右図で AC の長さは三平方の定理で求められるが,
 さらに相似図形の性質を使えば,AC:BC=AB:x になるので,x が求められる.(相似図形の性質をまだ習っていないときはこちらを先に読む)
直角三角形ABC に三平方の定理を適用すると
202+152=AC2
AC2=400+225=625=252
AC=25 (>0)
ABC と△ADB は直角三角形で1つの角A が共通だから「2つの角がそれぞれ等しい」.したがって△ABC∽△ADB
相似三角形の2組の辺の比は等しいから
対応する辺の組み合わせを間違わないことが大切
A は共通
A+ACB=90°
A+ABD=90°
だから,AC, CB ; AB, BD の順に組にする.
AC:CB=AB:x
25:20=15:x
25x=300
x=12

(別解)
 この問題については,△ABC の面積S を2通りの方法で表して,それらが等しいことからx を求める方法もある.(1つの方法で行き詰ったときのために,別ルートも覚えておくと助かることがある.)
AB · BC / 2 = S = AC · x / 2
AB · BC = 2S = AC · x
15 · 20 = 2S = 25 · x
x=12
問題4 右図において BD の長さ x を求めなさい.
x=
採点する やり直す
例4 二等辺三角形では,頂点から底辺に引いた垂線は底辺を二等分するので,直角三角形を使って高さを求めることができる.
 さらに相似図形の性質を使えば,右図 DC の長さも求められる.
 △ABCAB=AC の二等辺三角形だから,A からBC に垂線BE をひくとAEBCBE=EC=3 になる.
 直角三角形ABE に三平方の定理を適用すると
32+AE2=92
AE2=72
AE=6 (>0)
ABE と△BCD は直角三角形で1つの角B が共通だから「2つの角がそれぞれ等しい」.したがって△ABE∽△BCD
相似三角形の2組の辺の比は等しいから
BA:AE=BC:CD
9:6=6:x
9x=36
x=4

(別解)
 △ABC の面積をS とおくと
AE · BC / 2 = S = AB · x / 2
6 · 6 / 2 = 9 · x / 2
両辺を2倍して分母をはらうと
36= 9 · x
x=4
問題5 右図の二等辺三角形ABC において頂点 C からAB にひいた垂線の長さ x を求めなさい.
x=
採点する やり直す
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