■2次関数のグラフと直線→ 携帯版は別頁 → 印刷用PDF版は別頁

【例1】
y=x2のグラフ上に2点A,Bがあります.A,Bのx座標がそれぞれ−1, 3であるとき,次の問いに答えなさい.
(1)2点A,Bの座標を求めなさい.
(2)2点A,Bを通る直線の方程式を求めなさい.
(3)2点A,Bを通る直線がy軸と交わる点Pの座標を求めなさい.
(4)△POBの面積を求めなさい.
(解答)
(1)
x=−1y=x2に代入するとy=(−1)2=1となるから,点Aの座標は(−1, 1)…(答)
x=3y=x2に代入するとy=32=9となるから,点Bの座標は(3, 9)…(答)
(2)
求める直線の方程式をy=ax+b…(A)とおくと,
点A(−1, 1)がこの直線上にあるから,
1=−a+b…(B)
また,点B(3, 9)がこの直線上にあるから,
9=3a+b…(C)
(B)(C)を係数a, bを求めるための連立方程式として解く.
1=−a+b…(B)
−)9=3a+b…(C)
−8=−4a
a=2…(D)
(D)を(B)に代入
b=3
(A)にこれらa, bの値を代入すると
y=2x+3…(答)
(3)
y=2x+3の方程式にx=0に代入するとy=3となるから,点Pの座標は(0, 3)…(答)
(4)
△POBにおいてPOを底辺と見ると,底辺の長さは3.このとき,高さはBのx座標3になるから,△POBの面積は
(底辺)×(高さ)÷2=…(答)
【問1】
y=2x2のグラフ上に2点A,Bがあります.A,Bのx座標がそれぞれ−1, 2であるとき,次の問いに答えなさい.
(1)2点A,Bの座標を求めなさい.
(2)2点A,Bを通る直線の方程式を求めなさい.
(3)2点A,Bを通る直線がy軸と交わる点Pの座標を求めなさい.
(4)△AOPの面積を求めなさい.
(解答)*** 以下の問題で,Tabキーを押せば空欄を順に移ることができます. ***
(1)
x=−1y=2x2に代入してy座標を求める.
点Aの座標は(, )
x=2y=2x2に代入してy座標を求める.
点Bの座標は(, )
採点する やり直す
(2)
求める直線の方程式をy=ax+bとおいて,上で求めたA,Bの座標x, yを代入し,a, bの連立方程式を作る.
これを解くと直線の方程式が定まる.
y=x+
採点する やり直す
(3)
上で得られた直線の方程式にx=0を代入すると点Pのy座標が得られる.
点Pの座標は(, )
採点する やり直す
(4)
△AOPにおいてPOを底辺と見ると,高さはAのx座標の絶対値(符号を正に変えたもの)になるから,△AOPの面積は
(底辺)×(高さ)÷2=
採点する やり直す
【例2】
右図のように2次関数y=ax2のグラフと直線y=x+bのグラフが2点A,Bで交わり,点Aの座標が(−2, 2)であるとき,次の問いに答えなさい.

(1)定数aの値を求めなさい.
(2)定数bの値を求めなさい.
(3)点Bの座標を求めなさい.
(4)△AOBの面積を求めなさい.

(解答)
(1)
点Aの座標x=−2, y=2を方程式y=ax2に代入すると
2=a×(−2)2=4aより,a=…(答)
(2)
点Aの座標x=−2, y=2を方程式y=x+bに代入すると,
2=−2+b
b=4…(答)
(3)
A,Bはy=x2…(A)とy=x+4…(B)の交点だから,
(A)(B)を連立方程式として解くと座標が求まる.
y=x2…(A)
y=x+4…(B)
(A)(B)からyを消去すると
x2=x+4
x2=2x+8
x2−2x−8=0
(x+2)(x−4)=0
x=−2, 4
図よりx=−2が点Aのx座標,x=4が点Bのx座標を表している.
点Bのy座標はx=4を(B)に代入すれば求まる.
(4, 8)…(答)
(4)
直線(B)とy軸との交点をPとすると,△AOB=△AOP+△POB
POを底辺と見ると,底辺の長さは4.このとき,△AOPの高さはAのx座標−2の符号を正に変えて2
△AOP=4×2÷2=4
△POBの高さはBのx座標4
△POB=4×4÷2=8
△AOB=△AOP+△POB=4+8=12…(答)
【問2】
右図のように2次関数y=ax2のグラフと直線y=bx+3のグラフが2点A,Bで交わり,点Aの座標が(−2, 2)であるとき,次の問いに答えなさい.

(1)定数aの値を求めなさい.
(2)定数bの値を求めなさい.
(3)点Bの座標を求めなさい.
(4)△AOBの面積を求めなさい.

(解答)
(1)
x=−2, y=2y=ax2に代入してaを求める.
.a=
採点する やり直す
(2)
x=−2, y=2y=bx+3に代入してbを求める.
b=
採点する やり直す
(3)
(1)(2)から2次関数と直線の方程式が決まるので,それらを連立方程式として解くと交点の座標が求まる.2つの解のうちでx>0となる値がBのx座標になる.
点Bの座標は(, )
採点する やり直す
(4)
直線とy軸との交点をPとすると,△AOBを2つの三角形△AOP,△POBに分けて求める.
△AOB=
採点する やり直す
【例3】
右図のように2次関数y=x2のグラフと直線のグラフが2点ABで交わり,点ABx座標がそれぞれ−2, 1であるとき,次の問いに答えなさい.

(1)2点ABの座標を求めなさい.
(2)2点ABを通る直線の方程式を求めなさい.
(3)2点ABを通る直線がx軸と交わる点をCとするとき点Cの座標を求めなさい.
(4)BOCの面積を求めなさい.

(解答)
(1)
x=−2を方程式y=x2に代入するとy=4
x=1を方程式y=x2に代入するとy=1
Aの座標は(−2, 4),点Bの座標は(1, 1)…(答)
(2)
求める直線の方程式をy=ax+b…(A)とおくと,
A(−2, 4)がこの直線上にあるから,
4=−2a+b…(B)
また,点B(1, 1)がこの直線上にあるから,
1=a+b…(C)
(B)(C)を係数a, bを求めるための連立方程式として解く.
4=−2a+b…(B)
−)1=a+b…(C)
3=−3a
a=−1…(D)
(D)を(B)に代入
b=2
(A)にこれらa, bの値を代入すると
y=−x+2…(答)
(3)
y=−x+2y座標が0となるときのxの値を求めると
−x+2=0よりx=2
Cの座標は(2, 0)…(答)
(4)
BOCの底辺をOCとするとOC=2
このとき高さはBy座標1
BOC=2×1÷2=1…(答)
【問3】
右図のように2次関数y=x2のグラフと直線のグラフが2点ABで交わり,点ABx座標がそれぞれ−4, 2であるとき,次の問いに答えなさい.

(1)2点ABの座標を求めなさい.
(2)2点ABを通る直線の方程式を求めなさい.
(3)2点ABを通る直線がx軸と交わる点をCとするとき点Cの座標を求めなさい.
(4)BOCの面積を求めなさい.

(解答)
(1)
x=−4x=2を方程式y=x2に代入するとそれぞれのy座標が求まる.
Aの座標は, )
Bの座標は, )
採点する やり直す
(2)
求める直線の方程式をy=ax+bとおいてa, bを求める.
y=x+
採点する やり直す
(3)
(2)で求めた直線の方程式でy=0となるxの値を求める.
Cの座標は(, )
採点する やり直す
(4)
BOCの底辺をOC,高さをBy座標と考えると
BOC=
採点する やり直す
【例4】
右図のように2次関数y=x2のグラフと直線y=x+2のグラフがx軸,y軸と交わる点をそれぞれDCとするとき,次の問いに答えなさい.

(1)CDの座標を求めなさい.
(2)Pは2次関数y=x2のグラフ上でx<0の部分を動くものとする.△PDOの面積が△CPOの面積の2倍となるとき,点Px座標を求めなさい.

(解答)
(1)
y=x+2x=0を代入するとy=2
y=x+2y=0を代入するとx=−2
Cの座標は(0, 2),点Dの座標は(−2, 0)…(答)
(2)
P(x, x2)とおく.
PDOについて底辺をDO=2とすると,高さはPy座標x2になるから,面積は2×x2÷2=x2
CPOについて底辺をCO=2とすると,高さはPx座標x(<0)の符号を変えたものになるから,面積は2×(−x)÷2=−x
x2=2(−x)
x(x+2)=0 (x<0)
x<0だからx=−2…(答)
【問4】
右図のように2次関数y=2x2のグラフと直線y=2x+4のグラフがx軸,y軸と交わる点をそれぞれDCとするとき,次の問いに答えなさい.

(1)CDの座標を求めなさい.
(2)Pは2次関数y=2x2のグラフ上でx<0の部分を動くものとする.△PDOの面積が△CPOの面積と等しくなるとき,点Px座標を求めなさい.

(解答)
(1)
Cの座標は(, )
Dの座標は(, )
採点する やり直す
(2)
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■[個別の頁からの質問に対する回答][2次関数のグラフと直線について/17.3.28]
例題2と同じ問題で 直線ABとy軸との交点をCとしグラフ上に点Pをとる。△OPCの面積が△AOBの面積の二分の一となる点Pのx座標は、??と?であるの?のところがわかりませんもしよろしければ教えてください
=>[作者]:連絡ありがとう.△AOB=(4×2)÷2+(4×4)÷2=12だから△OPC=6になるようにする
4×x÷2=6よりx=3.左右どちらでもよいからx=±3