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※なお高校生以上向きの2次方程式,3次以上の方程式については次の教材があります.

2次方程式の解の公式(虚数解含む) 3次方程式

フリ−ソフトwxMaximaによる高次,連立方程式の解き方

===根号計算(約分)===
 2次方程式の解の公式を使うためには,根号計算,特に「根号を含む分数」の約分が正確にできなければなりません.この頁では解の公式を使ったときに登場する「根号を含む分数」の約分を練習します.
【例1】次の式を約分して簡単にしてください.

【解答】
=
(注意) 分母を3で割るときは,分子のどの項もすべて3で割らなければなりません.次の例はよくある間違いで,分子の内の一部分だけを3で割っているところが間違いです.
 は間違い
 は間違い
※上のような間違いを避けるために,「約分する前には必ず( )でくくる」(かっこでくくっていない式は約分しない)と決めると安全に約分ができます.
==
 次の式を約分して簡単にしてください.(正しいものを下の選択肢から選んでください.)
【問1】


【問2】


1±3
【問3】


−3± −1±3
【問4】


2±6 3±4 4±3 12±
【問5】


−2±9 −6±9 −2±3 −2±9 −6±3

【例2】次の式を約分して簡単にしてください.

【解答】
==
 根号の中の数を素因数分解したときに2個ある数は,根号の外に出したときに1個になります.
==2
根号の中に3個ある数は,2個だけ出せます.
==3
根号の中に4個ある数は,根号の外に出したときに2個になります.
==22=4
2種類以上の数字が外に出ることもあります.
==2×3=6
【問6】


【問7】


12±1
【問8】


−4± −4± −4± −8± −8±


【例3】次の式を約分して簡単にしてください.

【解答】
=だから−1, 2

根号が完全にはずれるもの ⇒ 分ければ簡単になる.
分ければ簡単になるものは分けて答える

根号の中に数字が残るもの ⇒ 分けても簡単にならない.
分けても簡単にならないものは±のまま答える
は2つの数字, をまとめて書いたものなので,
==−1
==2
のように「分けて書けば簡単になります」.
 このように
 分ければ簡単になるものは,分けて答えます.
 これに対して,上で扱ってきたのような数字は,
分けてもにしかなりませんので,
もととほとんど同じになり分ける値打がありません.
【問9】


1, 2 5, 7 ,
【問10】


2, 3 12, 18
【問11】


−10, 0 , 0

【例4】次の式を約分して簡単にしてください.

【解答】
=

※ 分母は「なるべく」正の数になるようにします.(高校以上では様々な場面で,分母を負の数のまま使うこともありますが,中学校の基本の段階では,「分母は正の数にする」ように決める方がよい.)
※ 上の式で,分母と分子を−2で割ると,それぞれ符号が変わりますので
分子は−13
分母は2
となりますが,順序を問題にしないときは単に

と書けばよい.

※高校で連立方程式の解を表すときなどにおいて,
(−3, 4), (3, −4)のような組をまとめて書くときは,
(±3, 4)(複号同順)
と書きます.これは±という複号を読むときに,上と上,下と下が組であることを表しています.だから(±3, 4)(複号同順)と書かれているときに(−3, −4), (3, 4)は入りません.
 同様にして(±3, ±4)(複号同順)と書かれているときは(−3, −4), (3, 4)の組を表しています.

中学校で,解の公式を使って2つの数字の組が出てきただけなら順序は問題にならないので,複号同順などと書く必要はなく,左の解答のように順序を気にすることはなく,±を負の数で割っても±のまま使えばよい.
【問12】


【問13】


−15±2

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