中１／反比例のグラフ

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【例題1】
　２つの変数x, yの間に， $y=\frac{a}{x}$ （ただし，aは0でない定数）の関係が成り立つとき，yはxに反比例するといい，このaを比例定数といいます．
　反比例の関係
$y=-\frac{6}{x}$
において比例定数はいくらですか．

（解答）
$y=\frac{-6}{x}$
と変形すると，a=−6になるから，比例定数は−6 …（答）

※以下，正しいものをクリックしてください．

【問題1】
　反比例の関係
$y=\frac{3}{x}$
において比例定数はいくらですか．

解説やり直す

$3$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{x}$ $\frac{3}{x}$

$y=\frac{a}{x}$
の形の式でa=3とおいたものになっているから，比例定数は3 …（答）

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【例題2】
　次の式で示されるx, yの関係のうちで，yがxに反比例する関係になっているものを選んでください．

(1) $y=-6x$ (2) $x+ y=6$ (3) $x-y=6$

(4) $y=\frac{x}{6}$ (5) $xy=6$ (6) $\frac{y}{x}=6$
（解答）
■　定数 $a$ を使って

$y=ax$ または $\frac{y}{x}=a$ で表されるとき，
$y$ は $x$ に「比例する」といいます．

(1)は $y=ax$ において $a=-6$ とおいたものだから比例の関係です．

(4)は $y=ax$ において $a=\frac{1}{6}$ とおいたものだから比例の関係です．

(6)は $\frac{y}{x}=ax$ において $a=6$ とおいたものだから比例の関係です．

■　定数 $a$ を使って

$y=\frac{a}{x}$ または $xy=a$ で表されるとき，
$y$ は $x$ に「反比例する」といいます．

(5)は $xy=a$ において $a=6$ とおいたものだから
反比例の関係です．…（答）

■(2)(3)は比例でもなく反比例でもありません．

(2)は $y=-x+ 6$ と書くこともでき，中学校２年生で習う１次関数です．（ $+ 6$ という形で足し算になっているものは比例とは呼ばない）
(3) $y=x-6$ と書くこともでき，中学校２年生で習う１次関数です．（ $-6$ という形で引き算になっているものは比例とは呼ばない）

【問題2】
　次の式で示されるx, yの関係のうちで，yがxに反比例する関係になっているものを選んでください．

解説やり直す

(1) $2x-y=0$ (2) $2x+ y=10$ (3) $y=-\frac{x}{2}$

(4) $y=-\frac{2}{x}$ (5) $\frac{y}{x}=-2$

(1)は $y=2x$ と書けるから比例の関係です．（×）
(2)は $y=-2x+ 10$ と書けるから１次関数です．（×）

(3)は $y=(-\frac{1}{2})x$ と書けるから比例の関係です．（×）
(4)は $y=\frac{-2}{x}$ と書けるから反比例の関係です．（○）
(5)は $y=-2x$ と書けるから比例の関係です．（×）

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【例題3】
　yがxに反比例し，x=2のときy=−3になる．このとき比例定数の値を求めてください．

（解答）
yがxに反比例するとき
$y=\frac{a}{x}$
の形に書けます．（aは比例定数）
$-3=\frac{a}{2}$
より，a=−6 …（答）

【問題3】
　yがxに反比例し， $x=6$ のとき $y=-\frac{1}{2}$ になる．このとき比例定数の値を求めてください．

解説やり直す

$-12$ $-3$ $2$ $12$

yがxに反比例するとき
$y=\frac{a}{x}$
の形に書けます．（aは比例定数）
$-\frac{1}{2}=\frac{a}{6}$
より，a=−3 …（答）

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【例題4】
　yがxに反比例し，x=−6のときy=2になる．このときyをxの式で表してください．

（解答）
yがxに反比例するとき
$y=\frac{a}{x}$
の形に書けます．（aは比例定数）
$2=\frac{a}{-6}$
より，両辺に−6を掛けて分母を払うと，a=−12
したがって，
$y=-\frac{12}{x}$ …（答）

【問題4】
　yがxに反比例し，x=8のとき $y=\frac{1}{2}$ になる．このときyをxの式で表してください．

解説やり直す

$y=\frac{x}{4}$ $y=\frac{x}{16}$ $y=\frac{4}{x}$ $y=\frac{16}{x}$

yがxに反比例するとき
$y=\frac{a}{x}$
の形に書けます．（aは比例定数）
$\frac{1}{2}=\frac{a}{8}$
より，両辺に8を掛けて分母を払うとa=4
したがって，
$y=\frac{4}{x}$ …（答）

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【例題5】
　yがxに反比例し，x=4のときy=−3になる．x=2のときyの値を求めてください．

（解答）
yがxに反比例するとき
$y=\frac{a}{x}$
の形に書けます．（aは比例定数）
$-3=\frac{a}{4}$
より，両辺に4を掛けて分母を払うと，a=−12
したがって，

$y=-\frac{12}{x}$
x=2のとき $y=-\frac{12}{2}=-6$ …（答）

【問題5】
　yがxに反比例し，x=−3のときy=12になる．x=4のときyの値を求めてください．

解説やり直す

$-1$ $-4$ $-6$ $-9$

yがxに反比例するとき
$y=\frac{a}{x}$
の形に書けます．（aは比例定数）
$12=\frac{a}{-3}$
より，両辺に−3を掛けて分母を払うと，a=−36
したがって，

$y=-\frac{36}{x}$
x=4のとき $y=-\frac{36}{4}=-9$ …（答）

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【例題6】
　2（l）の水をx（人）に等分したら，１人当たりy（l）になるとする．yをxの式で表してください．

（解答）
$y=\frac{2}{x}$ …（答）

【例題7】
　縦の長さがx（m），横の長さがy（m）の長方形の面積が18（m²）になるとき，yをxの式で表してください．

（解答）
$xy=18$ より $y=\frac{18}{x}$ …（答）

【例題8】
　20（km）の道のりを時速x（km/h）の速さで歩くとy（時間）かかるとき，yをxの式で表してください．

（解答）
$xy=20$ より $y=\frac{20}{x}$ …（答）

【問題6】
　15（kg）の米をx（人）に等分したら，１人当たりy（kg）になるとする．yをxの式で表してください．

解説やり直す

$y=15x$ $y=\frac{15}{x}$ $y=\frac{x}{15}$ $y=15-x$

$y=\frac{15}{x}$ …（答）

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【問題7】
　底辺の長さがx（m），高さがy（m）の三角形の面積が24（m²）になるとき，yをxの式で表してください．

解説やり直す

$y=\frac{12}{x}$ $y=\frac{24}{x}$ $y=\frac{48}{x}$ $y=24-x$

（三角形の面積）=（底辺）×（高さ）÷２になるから
$24=\frac{xy}{2}$
分母を払うと
$xy=48$
したがって

$y=\frac{48}{x}$ …（答）

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【問題8】
　a（km）の道のりを時速b（km/h）の速さで歩くとc（時間）かかるとき，３つの変数a, b, cのうちで反比例の関係になるのはどの変数とどの変数ですか．

解説やり直す

aとb bとc cとa

$bc=a$
すなわち
$c=\frac{a}{b}$
だから，bとcは反比例の関係になる． …（答）

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