図のように，ＡＤＢＣ，ＡＤ＝３cm，ＢＣ＝１０cmの台形ＡＢＣＤがある．対角線ＡＣ，ＤＢの交点をＥとする．また，ＡＣ，ＤＢの中点をそれぞれＦ，Ｇとし，ＡＧの延長とＢＣの交点をＨとする． 　次の問に答えなさい． (1)　線分ＢＨの長さを求めなさい． (2)　線分ＧＦの長さを求めなさい． (3)　△ＡＧＥの面積をＳ，△ＤＥＣの面積をＴとするとき，ＳとＴの比を最も簡単な整数の比で表わしなさい． （「兵庫県　平成11年度」問題の引用）

ＧはＤＢの中点で，ＧＦＨＣＡＤです． 　ＧＦの延長とＡＢとの交点をＰとおくと，ＰＧの長さはいくらになりますか．　１，　1.5，　２−−−(ア)
上の(ア)の値を用いると，ＢＨの長さはいくらになりますか．２，　３，　４−−−(1)
△ＡＢＣにおいて，Ｐ，Ｆは，それぞれＡＢ，ＡＣの中点です．ＰＦの長さはいくらですか．　３，４，５，６，７−−−(イ)
(ア)(イ)から，ＧＦの長さはいくらですか．３，　3.5,　４，　4.5,　５−−−(2)

(準備体操) 　三角形の面積＝(底辺)×(高さ)÷２です． 　だから，底辺の長さが等しい右図の２つの三角形△ＡＢＣと△ＤＣＢでは，面積の比は，高さの比に等しくなります． 　また，右図のＡＣＤが直線でＡＣ：ＣＤ＝５：３のとき，「相似図形」の性質として，高さの比ＡＥ：ＤＦは斜辺の比ＡＣ：ＣＤに等しいので，△ＡＢＣ：△ＤＣＢの面積比は５：３となります．
さらに，底辺も高さも異なる右図のような三角形では，底辺の比が７：３で，高さの比は５：４なので，Ｓ：Ｔ＝３５：１２となります．−−−(ウ)

さて，底辺の長さも，高さも異なる右図の△ＡＧＥと△ＤＥＣの面積比を求めるために，まずＧＥ：ＥＤを考えます．
△ＧＦＥと△ＤＡＥは相似なのでＧＥ：ＥＤ＝ＧＦ：ＤＡです．したがって，ＧＥ：ＥＤはいくらですか．２：３,　３：３,　3.5：３,　４：３,　５：３ −−−(エ)
次に，△ＡＥＤと△ＣＥＢは相似なので，ＡＥ：ＥＣ＝ＡＤ：ＣＢです． したがって，ＡＥ：ＥＣは３：５，３：７，３：10−−−(オ) 　(ウ)で用いた方法に(エ)(オ)を適用すると △ＡＧＥ：△ＤＥＣが求まります．−−−(３)

 (1)　３　(2)　3.5　(3)　７：２０
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