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== 二次関数の変域(入試問題) ==

【例題1】
関数で,xの変域が−3≦x≦2のとき,yの変域を求めよ。
(茨城県2015年入試問題)
(解答)
x=−3のとき,…(A)
x=2のとき,y=2…(B)
x=0のとき,y=0…(C)
グラフは右図のようになるから
…(答)
【要点】
1. 2次関数y=ax2で,a>0
とき(この問題では),グラフは右図のように谷型(下に凸)になります.
2. xの変域が与えられたとき,yの変域は,右図で赤●青●緑●で示した3つの点,すなわち「左端」「右端」「頂点」のy座標のうちで最小値から最大値までです.
 (1) まず左端,右端以外に頂点の値も候補に入れて,そのうち2つの値を答えることになります.(候補者3人のうちで当選するのは2人だけです)
  中間になる値(右図では緑●)はyの変域に影響しません.
 (2) xの変域が頂点を含んでいるときは,頂点のy座標が最小値になります.
 (3) 問題に書かれたxの値の順に関係なく,変域としてyの値の順に並べることが重要です.

※以下に引用する高校入試問題で,元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題1】 (画面上で解答するには,選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
関数について,xの変域が−1≦x≦4のときのyの変域を求めよ。
(奈良県2015年入試問題)
(2)
関数y=3x2について,xの変域が−4≦x≦2のときのyの変域はa≦x≦bである。このとき,a, bの値をそれぞれ求めよ。
(高知県2015年入試問題)

(3)
関数y=x2について,xの変域が−5≦x≦4のときのyの変域を,次のア〜エのうちから選び,記号で答えよ。
ア −25≦y≦16
イ 0≦y≦16

ウ 0≦y≦25
エ 16≦y≦25

(東京都2015年入試問題)
(4)
関数について,xの変域が−1≦x≦3のときのyの変域を求めよ。
(福岡県2015年入試問題)

【例題2】
関数y=−x2について,xの変域が1≦x≦3のときのyの変域を求めなさい。
(栃木県2015年入試問題)
(解答)
x=1のとき,y=−1…(A)
x=3のとき,y=−9…(B)
グラフは図のようになるから
−9≦y≦−1…(答)
【要点】
1. 2次関数y=ax2で,a<0
とき(この問題ではa=−1),グラフは右図のように山型(上に凸)になります.
2. xの変域が与えられたとき,yの変域は,右図で赤●緑●で示した2つの点,すなわち「左端」「右端」のy座標のうちで最小値から最大値までです.
 (1) 頂点の値(右図では青×)はyの変域に影響しません.
 (2) この問題のように減少関数(xが増えたらyが減る)になるような変域もありますので,問題に書かれたxの値の順に関係なく,変域としてyの値の順に並べることが重要です.

※以下に引用する高校入試問題で,元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題2】 (画面上で解答するには,選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
関数y=−x2について,xの変域が−2≦x≦1のときのyの変域を求めなさい。
(岩手県2000年入試問題)
(2)
関数y=−x2について,xの変域が−3≦x≦aのとき,yの変域が−16≦x≦bである。このとき,a, bの値を求めなさい。
(神奈川県1999年入試問題)

(3)
xの変域が−1≦x≦3のとき,関数y=−4x2yの変域を求めよ。
(広島県1999年入試問題)
(4)
xの変域が−3≦x≦−1のとき,関数y=−2x2yの変域を求めよ。
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