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華麗な整数の舞い−−角谷予想no.3
 (2) 次の表は元の奇数系列と次の系列のグラフです.(元の奇数として200までをとったときのグラフ)
 
 一見,数本の直線に見えますが,実は無限個の直線になります.(限りなく新しい系列が誕生します.)

(3) 元の系列から次に来る系列への対応は,ルール作りがむずかしそうなので,逆にして,次に来る系列からもとの系列への対応を考えますと次の表のようになります.
  (A) N=6n+1 のとき 元の系列が (N×4−1)/3 のものは Nに渡ります.(n=1,2,3,..;k=1,2,3,...)
  (B) N=6n+5 のとき 元の系列が (2×N×4k-1−1)/3 のものは Nに渡ります.(n=1,2,3,..;k=1,2,3,...)
 下の表はこの最初の部分を示したものです.

(A)(B)の証明は次のとおりです.
(A) (N×4−1)/3は奇数なので,3倍して1加えますとN×4となり,2で割りつづけて,Nになります.
(B) (2×N×4k-1−1)/3は奇数なので,3倍して1加えますと2×N×4k-1となり,2で割りつづけて,Nになります.
6n+1                                  
次に来る奇数系列 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103
元の系列の1番 5 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137
元の系列の2番 21 37 69 101 133 165 197 229 261 293 325 357 389 421 453 485 517 549
元の系列の3番 85 149 277 405 533 661 789 917 1045 1173 1301 1429 1557 1685 1813 1941 2069 2197
元の系列の4番 341 597 1109 1621 2133 2645 3157 3669 4181 4693 5205 5717 6229 6741 7253 7765 8277 8789
元の系列の5番 1365 2389 4437 6485 8533 10581 12629 14677 16725 18773 20821 22869 24917 26965 29013 31061 33109 35157
元の系列の6番 5461 9557 17749 25941 34133 42325 50517 58709 66901 75093 83285 91477 99669 107861 116053 124245 132437 140629
6n+5                                  
次に来る奇数系列 5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101
元の系列の1番 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67
元の系列の2番 13 29 45 61 77 93 109 125 141 157 173 189 205 221 237 253 269
元の系列の3番 53 117 181 245 309 373 437 501 565 629 693 757 821 885 949 1013 1077
元の系列の4番 213 469 725 981 1237 1493 1749 2005 2261 2517 2773 3029 3285 3541 3797 4053 4309
元の系列の5番 853 1877 2901 3925 4949 5973 6997 8021 9045 10069 11093 12117 13141 14165 15189 16213 17237
元の系列の6番 3413 7509 11605 15701 19797 23893 27989 32085 36181 40277 44373 48469 52565 56661 60757 64853 68949

 ところで,すべての整数は6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5のいずれかに分類されます.
 次に,ここでは奇数だけの系列を取り上げれば十分だから,6n+1,6n+3,6n+5だけ検討すればよいことになります.
 さらに,次の系列で3の倍数となるものは検討不要です.
 以上により,次の系列として,6N+1,6n+5の検討で十分です.

(4)
 一般に,7→11のように元の数よりも大きくなってしまうものの取り扱い,すなわち6n+5の第1番の存在が,取り扱いを難しくしていたわけですが,問題を整理すると,

 この表の中にすべての奇数があること.
 3,7,11,15,19,...:一般に元の奇数4n+3が自分より小さな数に行き着くこと.

が示されればよいことになります.


 ■ 上昇気流に乗って,大飛行する整数の軌跡を幾つか見てみましょう.27は,小さく生まれて大きく育つ最初の数です.
このホームページでの記述にそって,奇数のみ取り出すと次の通りです.
2けたの整数で,滞空時間の長いものは,早早に 27→41→31→47 のいずれかの数に合流するため,後ろの形が皆同じです.
たとえば,整数55の軌跡も27の後をたどったものであり,異なるのは初めの3数だけです.

 一般に,ある整数を通れば,残りの軌跡はただ一通りに決まります.最後が・・・→35→53→5→1となる整数27とまったく異なる軌跡となるものをさがすには,上記の表6N+5のうち,次が5の系列中53以外のもの,例えば13となるものをさがすとよい.
比較的小さな整数中,対空時間が長く出て,・・・13→5→1となるものには,443があります.しかし,出発点の高さにもかかわらず,上昇気流に乗り切れないため,27の勇姿とは比べ物になりません.
整数447は大きな上昇気流3回(4回?)に乗って,大飛行を遂げます.
 


■ 連続上昇は何回まで可能か

 一般に行われている考え方では,偶数も含めて考えるので,連続して上昇することはなく,偶数が登場するたびに(2回に1回以上)一度は減少します.しかし,このホームページでは,偶数をすべて省略し,奇数系列のみ取り上げることとしているので,連続上昇という場合があり得ます.(通常の考え方に直すには,間に偶数を補えばよい.)上に示したグラフには,7回という例がありますが,「連続上昇は何回まで可能か」という疑問に答えてみます.・・・ここで言う,連続上昇には中休みを含みません.

 上記(3)に示した表によれば,連続上昇となるのは,

4n+3 の数 →6n+5 の数 
 に繰り返し該当する場合であることが分かります. 
4a+3
6a+5
 
 
 
 
=4b+3
6b+5
 
 
 
 
=4c+3
6c+5
 
     
 ・・・
・・・

 ある数が6a+5にも4b+3にも書くことができるためには,

 6a+5=4b+3
 したがって,
3a+1=2b
 でなければなりません.
 これを
3(a+1)=2(b+1)
 と変形しておきます.
さらに,2回目以後も上昇するためには
3(b+1)=2(c+1)
・・・
となり,n回で
(a+1)(b+1)(c+1)・・・=2(b+1)(c+1)(d+1)・・・(a+1)

となります.下線部を消去すると 3(a+1)=2(a+1)
左辺の3には2が一つも入っていないので, a+1が2で割り切れなければなりません.

以上の変形をもっと簡単に行うには,高校で習う「数列の漸化式」を用います.
結局,a=k×2−1 が条件となります.

(なお,1つの文字aで,4n+3→6n+5のように1回上昇するので,上の計算ではn+1回上昇します.簡単にするために,次の実例では,6a+5 すなわち 4b+3から初めています.正確にはこの前にもう一つ付け加えることができます.)



次に実例を示します.斜体字は減少に変化したものを表わします.

n :6×(2n-1)+5 での実例

1: 11→17 13
2: 23→35→53 →5→
3: 47→71→107→161 →121→
4: 95→143→215→323→485 →91→
5: 191→287→431→647→971→1457 →1093→
6: 383→575→863→1295→1943→2915→4373 →205→
7: 767→1151→1727→2591→3887→5831→8747→13121 →9841→
8: 1535→2303→3455→5183→7775→11663→17495→26243→39365 →7381→
9: 3071→4607→6911→10367→15551→23327→34991→52487→78731→118097 →88573→
10: 6143→9215→13823→20735→31103→46655→69983→104975→157463→236195→354293 →33215 →



n:6×(3×2n-1)+5 での実例

1: 35→53 →5→
2: 71→107→161 →121→
3: 143→215→323→485 →91→
4: 287→431→647→971→1457 →1093→
5: 575→863→1295→1943→2915→4373 →205→
6: 1151→1727→2591→3887→5831→8747→13121 →9841→
7: 2303→3455→5183→7775→11663→17495→26243→39365 →7381→
8: 4607→6911→10367→15551→23327→34991→52487→78731→118097 →88573→
9: 9215→13823→20735→31103→46655→69983→104975→157463→236195→354293 →33215→
10: 18431→27647→41471→62207→93311→139967→209951→314927→472391→708587→1062881 →797161→



n:6×(5×2n-1)+5 での実例

1: 59→89 →67→
2: 119→179→269 →101→
3: 239→359→539→809 →607→
4: 479→719→1079→1619→2429 →911→
5: 959→1439→2159→3239→4859→7289 →8201→
6: 1919→2879→4319→6479→9719→14579→21869 →8201→
7: 3839→5759→8639→12959→19439→29159→43739→65609 →49207→
8: 7679→11519→17279→25919→38879→58319→87479→131219→196829 →73811→
9: 15359→23039→34559→51839→77759→116639→174959→262439→393659→590489 →442867→
10: 30719→46079→69119→103679→155519→233279→349919→524879→787319→1180979→1771469 →664301→
 
 

 以上の解説は,連続上昇が何回でも可能であることを示していますが,角谷予想が成立しない例(無限成長の例)にはなっていません.具体的に,ある数が与えられれば,上記のnは有限になります.
  


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