↑↑メニューに戻る  ↑前ページに戻る
華麗な整数の舞い−−角谷予想no.2

 前ページで,ノコギリ型が各区分ごとに減るのが気になる所ですが,これはアにおいて,2で割れなければ1加えるとしたためです.
実は,2で割り切れるようにするには,1引く方法もあり,この操作(前ページの表ではイの操作)によれば,次のグラフのように各区分ごとに増加する分布となります.



■ さて,角谷の予想では,なぜ2で割ったのでしょうか.日本に紹介した角谷教授なり,もとの問題を考案したアメリカ(ドイツ?)人なりに聞いてみることもできませんが,「3以上の数で割ると,問題が複雑になって面白くない」ことが予想されます.
 例えば,3で割って割り切れるかどうかで場合分けすることを考えてみますと(前ページの表ではウの操作),割り切れないときにどうするかで,すっきりしなくなります.
 
 3で割れるようにしつつ(1に向かわせつつ),増加させる要因と対抗させることに「整数の舞い」を作るカラクリがあるわけですから,3で割れなければ,次に3で割れるようにしなければいけません.
 そこで,ウの場合,(増加要因として×2を選ぶと,2(3N+1)=6N+2なので,元の数が3N+1なら2掛けて1加えます.また,2(3N+2)=6N+4なので,元の数が3N+2なら2掛けて2加えます.)問題は次のようになります.
「3以上のどんな整数でもよいから考える.

 (1) 3で割って割り切れたら割ります.
 (2) 3で割り切れないとき
   その1 1余るときは,2掛けて1加えます.
   その2 2余るときは,2掛けて2加えます.
 これを繰り返したとき,3以上のどんな整数から初めても1か2に落ち着くか?」

この結果を元の数1〜100までについて,同様にグラフにすると次の図のようになります.
これを見ると,アの場合と同様にノコギリ型が各区分ごとに減るグラフになります.
これは,本来の角谷予想と割る数,掛ける数を取り替えたものとなっており,興味を引く所ですが,問題文のたどたどしさがどうしても一般受けしないと思います.



 さて,2で割って割り切れないときに,本来の角谷予想ではなぜ3を掛けたのでしょう.当然,2や4を掛けては堂々巡りで話にならないので,他の奇数ということになりますが,3でなくて5ではどうなるでしょうか.

 やってみますと,

 エ a=2,b=5,c=1の場合
  元の数として5から始めると
  5 → 26 → 13 → 66 → 33 → 166 → 83 → 416 → 208 → 104 → 52 → 26
 となり,循環を生じてしまい,「予想は成立しない」ことになります.

 オ  a=2,b=5,c=−1の場合
 1に落ち着く数もたくさんありますが,多くの数でパソコンの処理能力を超えてしまいますので,無限に成長するのではないかと思われます.
 


3 角谷予想の証明の試み(まだ,完成していません.興味を持っていただければ幸いです.)

 (1) 角谷予想の場合について,前と同様に滞空時間のグラフを作ってみます.



 《問題》
 どんな滞空時間を指定されても,これに対応する数が少なくとも1つはあります(例えば,滞空時間500の数字).これを証明してください.(→答を見る)


 一定の系統的な規則性は見えますが,このままではアの場合のように簡単に証明できるようなものではありません.専門家が困るような問題はさすがに手強いのです.
 そこで,問題を単純化して「各数の滞空時間の一般公式」を求める問題から,角谷予想を証明するために必要なことだけに限定することを考えます.
 本来の問題は「どの数から始めても1に落ち着くかどうか,証明せよ.」ということです.裏返して言えば,上のエやオの場合のように,「循環することはない」「無限に成長することもない」ことの証明に限定するのです.
 例えば,偶数は2で割っていけば,いずれ元の数よりも小さな奇数となります.「どの奇数から始めても1に行き着く(ただし,途中はしばしば偶数となります.)」の証明で十分です.こうして,すべての正の整数を奇数をベースに系列(川のようなもの)に分類します.
 
2n+1の値 ×2 ×22 ×23 ×24 ×25 ×26 ×27 ×28 ×29 ×210 ×211
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144
5 10 20 40 80 160 320 640 1280 2560 5120 10240
7 14 28 56 112 224 448 896 1792 3584 7168 14336
9 18 36 72 144 288 576 1152 2304 4608 9216 18432
11 22 44 88 176 352 704 1408 2816 5632 11264 22528
13 26 52 104 208 416 832 1664 3328 6656 13312 26624
15 30 60 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720
17 34 68 136 272 544 1088 2176 4352 8704 17408 34816
19 38 76 152 304 608 1216 2432 4864 9728 19456 38912
21 42 84 168 336 672 1344 2688 5376 10752 21504 43008
23 46 92 184 368 736 1472 2944 5888 11776 23552 47104
25 50 100 200 400 800 1600 3200 6400 12800 25600 51200
27 54 108 216 432 864 1728 3456 6912 13824 27648 55296
29 58 116 232 464 928 1856 3712 7424 14848 29696 59392
31 62 124 248 496 992 1984 3968 7936 15872 31744 63488
33 66 132 264 528 1056 2112 4224 8448 16896 33792 67584
35 70 140 280 560 1120 2240 4480 8960 17920 35840 71680
37 74 148 296 592 1184 2368 4736 9472 18944 37888 75776
39 78 156 312 624 1248 2496 4992 9984 19968 39936 79872
41 82 164 328 656 1312 2624 5248 10496 20992 41984 83968
43 86 172 344 688 1376 2752 5504 11008 22016 44032 88064
45 90 180 360 720 1440 2880 5760 11520 23040 46080 92160
47 94 188 376 752 1504 3008 6016 12032 24064 48128 96256
49 98 196 392 784 1568 3136 6272 12544 25088 50176 100352

 さらに,どの系統からどの系統にわたるかを調べます.つまり,滞空時間そのものでなく,何本の川を渡るかを調べ,それが無限には成長せず,巡回しないことをいうこととします.次の表では,元の系列から始めて右端で奇数となったときに渡る系列を示しています.
 なお,「次の系列が3の倍数となることはありません.」《問題》左の「」内を証明してみてください.(→答を見る)
次の系列
もとの系列
                   
1 1                    
5 3 10 5                
1 5 16 8 4 2 1          
11 7 22 11                
7 9 28 14 7              
17 11 34 17                
5 13 40 20 10 5            
23 15 46 23                
13 17 52 26 13              
29 19 58 29                
1 21 64 32 16 8 4 2 1      
35 23 70 35                
19 25 76 38 19              
41 27 82 41                
11 29 88 44 22 11            
47 31 94 47                
25 33 100 50 25              
53 35 106 53                
7 37 112 56 28 14 7          
59 39 118 59                
31 41 124 62 31              
65 43 130 65                
17 45 136 68 34 17            
71 47 142 71                
37 49 148 74 37              
77 51 154 77                
5 53 160 80 40 20 10 5        
83 55 166 83                
43 57 172 86 43              
89 59 178 89                
23 61 184 92 46 23            
95 63 190 95                
49 65 196 98 49              
101 67 202 101                
13 69 208 104 52 26 13          
107 71 214 107                
55 73 220 110 55              
113 75 226 113                
29 77 232 116 58 29            
119 79 238 119                
61 81 244 122 61              
125 83 250 125                
2 85 256 128 64 32 16 8 4 2 1  
131 87 262 131                
67 89 268 134 67              
137 91 274 137                
35 93 280 140 70 35            
143 95 286 143                
73 97 292 146 73              
149 99 298 149                

→次のページに進む
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




 滞空時間nの数字の例:2


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 2N+1に3を掛けて1加えると,3(2N+1)+1=6N+4=2(3N+2)となるので,2で割ったとき,3N+2の形の数となります.
 N自身が2で割り切れなければ,これで次の系列に入ります.
 N自身が2の倍数ならば,3×2M+2→3M+1となります.