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== 置き換えによる因数分解 ==

○同じ式が何度も(2回でも!)登場するときは,その式を1つの文字(Aなど)で表すと,見やすく因数分解しやすくなります.
【例1】
a(x+y)−b(x+y)を因数分解してください.
(解答)
(x+y)が2回登場するからこれを1つの文字Aで表します.
aA−bA
共通因数Aでくくります
(a−b)A
これでできたと思ってこのまま答えにしてはいけません.(x+y)=Aとしたのは,回答者の都合で他の人は(x+y)=Bとしているかもしれませんし,採点官は(x+y)=Cとしているかもしれません.
だから,最終形は問題文に使われていた文字だけで書きます.
Aを元に戻すと
(a−b)(x+y)…(答)
※上の解説では,見た通りに(x+y)=Aとしましたが,慣れてくればx+y=Aと書いてもよい.
問題集などの模範解答ではx+y=Aと書く方が多い.

※中学校で式の変形を習ったときに「何でもかんでもバラバラに展開してしまう」くせがついてしまう場合があります.上の問題を
ax+ay−bx−by
などと展開してしまうと,そこから先をどう変形したらよいのか展望がつかめません.
展開するのではなくて,問題文のままでジロっとにらんで「同じ式が2回登場したら1つの文字(Aなど)に置き換える」のが秘訣です.
○次の式を因数分解してください.
○各自で計算用紙を使ってゆっくり考えてから,下の選択肢のうちの1つをクリックしてください.
【問題1】
a(x−y)+b(x−y)
【問題2】
x(x−1)−y(x−1)
【問題3】
(a+b)x−3(a+b)

 
【例2】
(a+b)x−2a−2bを因数分解してください.
(解答)
このままでは同じものがないように見えますが
(a+b)x−2(a+b)と変形すると(a+b)が2回登場しますので,(a+b)=Aとおきます.
Ax−2A
共通因数Aでくくります
A(x−2)
Aを元に戻すと
(a+b)(x−2)…(答)
【問題4】
3x+6y−a(x+2y)
【問題5】
a(x−y)+(y−x)
【問題6】
(a+b)2+(a+b)

 
【例3】
(a+b)2−2(a+b)−8を因数分解してください.
(解答)
(a+b)が2回登場しますので,(a+b)=Aとおきます.
A2−2A−8
Aの2次式として因数分解し,積が−8和が−2となる2つの数を探すと−42だから
(A−4)(A+2)
Aを元に戻すと
(a+b−4)(a+b+2)…(答)
【問題7】
(x−2y)2+(x−2y)−6
【問題8】
(a−b)2+(b−a)−2
【問題9】
(2x+3y)2−8x−12y+4
【問題10】
(x+y)(x+y−1)−2


 
【例4】
(a+b)2−(x+y)2を因数分解してください.
(解答)
(a+b)2=(a+b)(a+b)では(a+b)2回登場すると数えます.同様に,(x+y)2=(x+y)(x+y)では(x+y)2回登場すると数えます.
そこで「文字を2つ使って」(a+b)=A, (x+y)=Bとおきます.
A2−B2
2乗−2乗の因数分解公式 a2−b2=(a+b)(a−b) が使えるから
(A+B)(A−B)
A, Bを元に戻すと
((a+b)+(x+y))((a+b)−(x+y))
=(a+b+x+y)(a+b−x−y)
…(答)
【問題11】
(a+b)(x−y)−(y−x)
【問題12】
(a+b)(x−y+1)+(a+b)(x−y−2)

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