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== 変化の割合(入試問題) ==

【要点】
yxの関数であるとき,xの値がx1からx2に変化したとき,yの値がy1からy2に変化する場合,
yの増加量
xの増加量
すなわち

変化の割合といいます.
図1
(補足説明)
1.xの増加量は,xの最後の値x2からxの最初の値x1を引いたもの,すなわち
xの増加量)=x2−x1
によって定義されます.
 この引き方の順序を間違わないように気を付けましょう.
【例】
(1) xの値が1から3に変化するとき,
xの増加量)=3−1=2
(2) xの値が−1から5に変化するとき,
xの増加量)=5−(−1)=6
xの増加量は,xの最後の値x2からxの最初の値x1を引いたもの,によって定義されますので,理屈の上ではx2<x1の場合でも,(xの増加量)として負の数を考えればよいのですが,中学生向けの教材では,ほとんどが(xの増加量)は正の数になっています.
※これに対して,次に述べる(yの増加量)は正の数になる場合も,負の数になる場合もあります.
2.yの増加量は,yの最後の値y2からyの最初の値y1を引いたもの,すなわち
yの増加量)=y2−y1
によって定義されます.
【例】
(1) yの値が2から6に変化するとき,
yの増加量)=6−2=4
(2) yの値が2から−1に変化するとき,
yの増加量)=(−1)−2=−3
※この(2)の例のように,最後の値が最初の値よりも小さいときは,実際にはyの値は減少していますが,このような場合でも(yの増加量)といい,負の値で表します.
※文章題をやっている場合のように国語的に考える場合は,(2)の例では「yの減少量が3」と言っても同じ内容を表しますが,数学ではこのような場合でも,
yの増加量)=−3の形で減少する場合を符号で示すことが多い.
右上に続く↑
図2
3.変化の割合は
yの増加量
xの増加量
で定義されているので,分子にyの増加量を,分母にxの増加量をもって来なければなりません.
図1においては,分母は横の長さAC,分母は縦の長さBC,すなわち
なので,「変化の割合」は「線分ABの傾き」を表しています.
図2においても同様ですが,図2においては,yの増加量として,BCの長さに負の符号を付けて考えています.この場合,「変化の割合」が負の値になることは「線分ABの傾き」が負の値になること,すなわち右下がりになることに対応しています.
図3
4.変化の割合は

によって,すなわち最初の点の座標(x1, y1)と最後の点の座標(x2, y2)だけで決まるので,途中の経路がどうなっているのかに関係なく定まります.
 右図3において,赤で示した経路1であっても,青で示した経路2であっても,緑で示した経路3であっても,変化の割合はすべて等しくなります.
図4
【例】 右図4で示されるように,関数y=x2についてxの値が−1から2まで増加するときの変化の割合は

になり,途中で減ってから増えているという経路は考慮しません.この変化の割合は点A(−1, 1)と点B(2, 4)を結んだ線分ABの変化の割合と全く同じものです.
【例題1】
 関数について,xの値が6から9まで増加するときの変化の割合を求めよ。
(東京都2015年入試問題)
(解答)
x=6のとき,y=12
x=9のとき,y=27
変化の割合は
…(答)
4種類の数字が登場するので,落ち着いて,「最後のx」「最初のx」「最後のy」「最初のy」と確認しながら書き込むようにします.

※以下に引用する高校入試問題で,元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題1】 (画面上で解答するには,選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
関数y=−3x2について,xの値が1から3まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(愛知県A 2017年入試問題)
(2)
関数y=−x2について,xの値が1から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(宮崎県2017年入試問題)

(3)
関数y=2x2で,xの値が0から2まで増加するときの,変化の割合は4である。xの値が−2から0まで増加するときの,変化の割合を求めなさい。
(岐阜県2000年入試問題)
(4)
関数y=2x2について,xの値が−1から3まで増加するときの変化の割合はである。
(長崎県2000年入試問題)
2 4 8 9

【例題2】
 関数y=ax2について,xの値が1から4まで増加するときの変化の割合が−15であった。このとき,aの値を求めなさい。
(東京都2015年入試問題)
(解答)
x=1のとき,y=a
x=4のとき,y=16a
変化の割合は

5a=−15
a=−3 …(答)

※以下に引用する高校入試問題で,元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題2】 (画面上で解答するには,選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
関数y=x2で,xの値がaからa+2まで増加するときの変化の割合は4である。このとき,aの値を求めなさい。
(福井県2000年入試問題)
(2)
関数y=ax2について,xの値が−2から4まで変化するときの変化の割合を,aを用いて表しなさい。
(静岡県1999年入試問題)
a 2a 4a 6a

(3)
関数y=ax2aは定数)について,xの値が1から4まで変化するときの変化の割合は,xの値が0から1まで変化するときの変化の割合よりも2大きい。このとき,aの値を求めなさい。
(愛知県A 1999年入試問題)
(4)
関数y=x2について,xの値が−1から2まで変化するときの変化の割合と,xの値が0からaまで変化するときの変化の割合が等しいとき,aの値を求めなさい。
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