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== 円周角の定理(入試問題) ==

【例題1】
 右の図のように,円Oの周上に点A, B, Cがある。
 このとき,xの大きさを求めなさい。
(富山県2015年入試問題)
(解答)
△OCAは,二等辺三角形だから2つの底角は等しい.(右図の緑で示した角x
 同様にして,△OABも二等辺三角形だから2つの底角は等しい.(右図の黄色で示した角37°
 次に,円周角は中心角の半分だから

x=18°…(答)
【要点】
一般に,高校入試問題では「円周角の定理」を覚えているだけでは,問題は解けません.この問題では,次の2つの定理を組み合わせて解いています.
(1) 二等辺三角形の2つの底角は等しい.
(2) 円周角は中心角の半分になる.
特に,(1)を使って元の角xの代わりに,他の角BACで計算する方法が使えるようにしましょう.

【問題1】
(1)
 右の図において,点A, B, Cは円周上の点である。xの大きさを求めなさい。
(栃木県2015年入試問題)
x=° 採点する
(2)
 右の図において,3点A, B, Cは円Oの周上の点である。ABO=25°, BOC=134°のとき,xの大きさを求めなさい。
(秋田県2017年入試問題)
x=° 採点する

【例題2】
 右の図のような円があり,異なる3点A, B, Cは円周上の点である。線分AC上に,2点A, Cと異なる点Dをとる。また,2点B, Dを通る直線と円との交点のうち,点Bと異なる点をEとする。
 ABE=35°, CDE=80°であるとき,BECの大きさは何度か。
(香川県2017年入試問題)
(解答)
ABEACEは,一つの弧に対する円周角だから等しい.(右図の緑で示した角)
 次に,三角形の内角の和は180°だから
80°+35°+DEC=180°
DEC=65°…(答)
【要点】
一般に,高校入試問題では「円周角の定理」を覚えているだけでは,問題は解けません.この問題では,次の2つの定理を組み合わせて解いています.
(1) 一つの弧に対する円周角は等しい.
(2) 三角形の内角の和は180°になる.

【問題2】
(1)
 右の図のように,円周上に4点A, B, C, Dがあり,線分ACと線分BDの交点をEとします。ACD=35°, AEB=95°のとき,BACの大きさは何度ですか。
(広島県2017年入試問題)
BAC=° 採点する
(2)
 右の図において,4点A, B, C, Dは円Oの周上にあり,線分AC, BDの交点をEとする。BEC=110°, ACD=60°のとき,BACの大きさを求めなさい。
(山梨県2017年入試問題)
BAC=° 採点する

【例題3】
 右の図Tにおいて,ACが円Oの直径であるとき,xの大きさを求めなさい。
(鳥取県2015年入試問題)
(解答)
 右図のように線分CEをひくとCDBCEBは,1つの弧に対する円周角だから等しい.(右図の緑で示した角)
この問題では,線分ADをひいて,CDA=90°を利用してもよい
 次に,CEAは,直径に対する円周角だから90°
x+36°=90°
x=54°…(答)
【要点】
 直径という条件の使い方:「円周角が90°になる」

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【問題3】
(1)
 右の図Tのような円において,ABCの大きさを求めよ。
(長崎県2015年入試問題)
ABC=° 採点する
(2)
 図Tのように,円Oの周上に3点A, B, Cがあり,BCは直径である。xの大きさは何度か,求めなさい。
(兵庫県2015年入試問題)
x=° 採点する

(3)
 右の図のように,円Oの円周上に3つの点A, B, Cがあり,BOC=74°であるとき,xの大きさを答えなさい。
(新潟県2015年入試問題)
x=° 採点する
(4)
 右の図は,線分ABを直径とする半円で,2点C, D上にあって,CD//ABである。点E上にあり,点Fは線分AEと線分BCとの交点である。
 BAE=37°, AED=108°のとき,BFEの大きさを求めなさい。
(熊本県2015年入試問題)
BFE=° 採点する

(5)
 右の図において,線分ABは円Oの直径であり,2点C, Dは円Oの周上の点である。
 このとき,ABCの大きさを求めなさい。
(神奈川県2015年入試問題)
ABC=° 採点する
(6)
 右の図のように,円Oの円周上に4点A, B, C, Dがあり,線分BDは円Oの直径です。
 AC=AD, AOB=66°のとき,BDCの大きさxを求めなさい。
(埼玉県2015年入試問題)
x=° 採点する

(7)
 右の図は,線分ABを直径とする半円で,点Cは,上にある。点Dは線分AC上にあって,DC=BCである。また,点EBDの延長ととの交点である。
 BAD=28°であるとき,DCEの大きさを求めなさい。
(熊本県2017年入試問題)
DCE=° 採点する
(8)
 右の図のように,円Oの円周上に5つの点A, B, C, D, Eがあり,線分ACBDは円の中心Oで交わっている。AED=134°であるとき,xの大きさを答えなさい。
(新潟県2017年入試問題)
x=° 採点する

【問題4】
(1)
 右の図Tにおいて,xの大きさを求めなさい。ただし,PA, PBは円Oの接線で,点A, Bはその接点である。また,点Cは円Oの周上の点である。
(鳥取県2017年入試問題)
x=° 採点する
(2)
 右の図のように,円周上に4点A, B, C, Dがあるとき,x=°である。
(岡山県2015年入試問題)
x=° 採点する

(3)
 図1のような円Oにおいて,線分ABは円Oの直径である。円Oの周上の点Cを通る接線と直線ABとの交点をDとする。ABC=25°のとき,BDCの大きさを求めよ。
(長崎県2017年入試問題)
BDC=° 採点する

【問題5】
(1)
 右の図で,a+b+c+d+eの大きさを求めなさい。
° 採点する
(2)
 右の図で,a+b+c+d+e+f+gの大きさを求めなさい。
(山梨県2015年入試問題)
° 採点する

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(3)
 右の図のように,円に内接する五角形ABCDEがある。BAC=50°, ACB=37°, AB=CDのとき,AEDの大きさを求めなさい。
(新潟県2000年入試問題)
AED=° 採点する
(4)
 図2で,円周上の12点は円周を12等分している。xの大きさを求めよ。
(奈良県2000年入試問題)
x=° 採点する
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