外角,多角形携帯版は別頁
多角形の外角
図1のように、多角形の1つの辺とこれに隣接する辺の延長とがなす角を外角という.

外角は内角の補角である.
(内角)+(外角)=180°
(外角)=180°−(内角)
よくある間違い:
外角は図2のような角ではない.

注意:
各内角には2つの外角があるが,外角の大きさというときにはそのうちの1つだけを指す.
図 1
図 2
図 3
多角形の外角の和
多角形の外角の和は360°である.
(証明)
外角を辺に沿って集めると,1点の周りの角になる.
1点のまわりの角は360°であるから,外角の和は360°になる.
(クリック)→集める
(クリック)→外角に分ける
図 4
n角形の内角の和
n角形の内角の和は180°×(n−2).
(証明 1)
n角形の頂点の個数はn個である. (図5)
n個の内角とn個の外角の総和は,
180°×n …(1)
外角の和は
360° …(2)
したがって, 内角の和は (1)−(2)
180°×n−360°=180°×(n−2)
図5
(証明 2)
1つの三角形の内角の和は180°.
図6で示されるように, n角形はn−2個の三角形に分けられるから,内角の和は(n−2)×180°.
辺の数 3 4 5 n
三角形 四角形 五角形 n角形
内角の和 180° 360° 540° (n−2)×180°
図 6
問題 1
1.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

2.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

3.x+y+zの大きさを求めなさい.
x+y+z=°

採点消す

4.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

5.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

正多角形
すべての辺の長さが等しく,すべての内角の大きさが等しい多角形を正多角形という.
正多角形の1つの外角の大きさは

正多角形の1つの内角の大きさは
180°−
(証明)
多角形の外角の和は360°.
正多角形のすべての内角の大きさは等しく,すべての外角の大きさは等しい.
したがって,正n角形の1つの外角の大きさは


(内角)=180°−(外角)
したがって,正n角形の1つの内角
180°−

(別の証明)
多角形の内角の和は
180°×(n−2).
正多角形のすべての内角の大きさは等しいから,正n角形の1つの内角の大きさは
=180°−

• 正三角形
外角= =120°
内角=180°−120° =60°
• 正方形
外角= =90°
内角=180°−90° =90°
• 正五角形
外角= =72°
内角=180°−72° =108°
問題 2
1.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

2.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

3.xの大きさを求めなさい.
x=°

採点消す

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