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== 関数の値と変化の割合 ==

■関数の値
○ 関数の値(yの値)は、それぞれのxの値に応じて決まります … xの値が与えられなければ関数の値は決まりません。

○ このyの値は右図1のように、x軸からの「縦の長さ」を表します。ただし、符号を付けて考え、x軸よりも下にあるときは負の数で表します。

 図1は関数y=2x+1のグラフです。このグラフにおいて、それぞれのxの値に対するyの値は、例えば次のように求めることができます。
x=0のとき、y=2×0+1=1
x=1のとき、y=2×1+1=3
x=2のとき、y=2×2+1=5
……
図1

≪問題1≫ 各々正しいものを選択肢から選んでください。

(1) 関数y=2x+3においてx=2のときのyの値は

2 3 5 6 7

(2) 関数y=−3x+5においてx=4のときのyの値は

−7 −3 −1 2 11


(3) 次の図は関数y=−x+3のグラフです。このグラフにおいてx=2のときのyの値を表しているのは、次のうちどの長さですか。

A B C D



 ■関数の「変化の割合」
○ 関数の「変化の割合」は、それぞれの変域に応じて決まります … 1つのxだけでは変化の割合は決まりません。

○ 関数の「変化の割合」は


で定義されます。
 図2においてx1から4まで増加するときの変化の割合は

に対応しています。

○ 一次関数の「変化の割合」は、図形的には「直線の傾き」を表しています。
 図2においてx1から4まで増加するときの変化の割合は、図形的には線分(直線を切り取ったもの)ABの傾きで示されます。
図2

このグラフにおいてx1から4まで増加するときの変化の割合は

=

≪問題2≫ 各々正しいものを選択肢から選んでください。

(1) 関数y=2x+3においてxの値が1から4まで増加したときの変化の割合は

2 5 6  

(2) 関数y=−3x+4においてxの値が0から2まで増加したときの変化の割合は

−6 −3 −1 3 6  


(3) 次の図は関数y=2x−3のグラフです。このグラフにおいてxの値が2から4まで増加したときの変化の割合は、次のうちどの比で表されますか。



 



 ■変化の割合と途中経過
○ 上で述べたように、関数の「変化の割合」は



で定義され、図形的には2点を結ぶ直線(線分)の傾きを表しています。
 このことは、変化の割合は「初めの点」と「終りの点」だけで決まり、途中経過には関係ないということを示しています。
 図3は、A , B2人の人が500(m)の山に登ったときの時間と高さをグラフに表したものとします。
 Aさんは初めの1時間で300(m)の高さまで登っていますが、残り3時間かけて200(m)登っているので、合計500(m)を4時間かけて登ったことになります。
 Bさんは初め2時間かけて100(m)しか登っていませんが、残り2時間で400(m)登っているので、合計500(m)を4時間かけて登ったことになります。
 このとき、2人とも4時間で500(m)登っているので、1時間当たりに登った高さ(高さの変化の割合)は500÷4=125(m/時)で、等しくなります。
図3

 4時間かけて500(m)登っていることは同じだから、Aさんのように登っても、Bさんのように登っても、登山口から頂上までに1時間当たりに登った高さ(高さの変化の割合)は等しい。
 しかし、初めから1時間後までを比較するとAさんの方が1時間当たりに登った高さ(高さの変化の割合)は大きい。
 逆に、頂上の前の1時間を見るとBさんの方が1時間当たりに登った高さ(高さの変化の割合)は大きい。

≪問題3≫ 次の図4はある人が初め30分間は徒歩で行き、残りの10分間は自転車で進んだときの、出発してからの時間と道のりの関係をグラフに表したものです。

図4

(1) 最初の30分間について分速(km/分)を求めてください。
0.1 0.3 3 10
 

(2) 最後の10分間について分速(km/分)を求めてください。
0.2 0.5 5 8
 

(3) 40分間の全体を通した分速(km/分)を求めてください。
0.2 0.3 0.5 5 8
 

≪問題4≫ 次の図5はA , B , C , Dの4人が2年間に読んだ図書の合計を記録したものとします。この図について、各々正しいものを選択肢から選んでください。
図5

(1) 最初の1年間に読んだ本の変化の割合が最も大きい人は誰ですか。
A B C D
 

(2) 2年目の1年間に読んだ本の変化の割合が最も大きい人は誰ですか。
A B C D
 

(3) 2年間に読んだ本の変化の割合が最も大きい人は誰ですか。
A B C D
 

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