文字式の表し方

== 文字式の表し方 ==

【要点】
文字を使った式を表すときは，次の約束で書きます．

1. 文字式では，かけ算×の結果（積）は×を省略して書く．

1)　足し算+の結果（和）や引き算−の結果（差）では，+や−を省略できない．
2)　２つ以上の文字の積は，原則としてアルファベットの順に書く（特別な事情があればbaなどと書いてもよい）

2. 文字と数の積では，数を文字の前に書く．

これには例外があります
1)　1a, 1xは，a, xと書く．
2)　−1a, −1xは，−a, −xと書く．
3)　0.1a, −0.01xのように，1を取り除いてしまうと変なものになってしまうものは，そのまま0.1a, −0.01xと書く．
4)　0a, 0xなどは，単に0と書く．どんな数でも0をかけたら0になるからです．

3. 同じ文字の積は，指数を使って書く．
4. 文字式では，割り算÷の結果は分数で表す．

(割られる数)÷(割る数)を分数に直すには，(割られる数)を分子に，(割る数)を分母にします．
例 $3\div 7=\frac{3}{7},\hspace{10}a\div b=\frac{a}{b}$

（解説と例）

1.1) 文字式では，かけ算×の結果（積）は×を省略して書く．

【例1.1】
［この約束に当てはまる例］

(1) $a\times b$ は $ab$ と書きます
(2) $3\times x$ は $3x$ と書きます

［この約束に当てはまらない例］

(3) $a+ b$ は $ab$ とは書きません．足し算の記号 $+$ は省略できないので， $a+ b$ は $a+ b$ のままです．
(4) $x-y$ は $xy$ とは書きません．引き算の記号 $\hspace{1}-$ は省略できないので， $x-y$ は $x-y$ のままです．
(5) $3\times 5$ は $35$ とは書きません．数字のかけ算は，かけ算の規則に従って１つの数字に直したもの，この計算の場合は $15$ を使います．
(＊) 「ややこしい話」
小学校で習う「帯分数」$1\frac{2}{3}$などは，整数と分数の掛け算の省略 $\color{red}{1\times\frac{2}{3}}$ ではなくて，整数と分数の足し算の省略 $\color{blue}{1+\frac{2}{3}}$ です

【※覚えておきたいもの】

（引用：学校図書,数研出版）

「4. 文字式では，割り算÷の結果は分数で表す」に関連するもの

（◎よい例　悪い例×）

（参考）

◎$\frac{x}{3}$　◎$\frac{1}{3}x$
◎$\frac{a+b}{2}$　◎$\frac{1}{2}(a+b)$

$x\div 3$は$x\times\frac{1}{3}$と同じだから，$\frac{x}{3}$も$\frac{1}{3}x$も使える．
$\frac{a+b}{2}$も同様

◎$\frac{3x}{4}$　◎$\frac{3}{4}x$

$3x\div 4$は$x\times\frac{3}{4}$と同じだから，$\frac{3x}{4}$も$\frac{3}{4}x$も使える．

◎$\frac{5a}{b}$　×$5\frac{a}{b}$
◎$\frac{5}{3}a$　×$1\frac{2}{3}a$

文字式では，「帯分数」「帯分数風の書き方」は使わない

【問題1.1】　次のうちで文字式の表し方として，適切なものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$a+ b=ab$ $a-b=ab$

$a\times b=ab$ $a\div b=ab$

解説やり直す

文字式では，かけ算×の結果（積）は×を省略して書きますので， $a\times b=ab$ になります…（答）

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(2)
$x+ y+ z=xyz$ $x+ y\times z=xyz$

$x\times y+ z=xyz$ $x\times y\times z=xyz$

解説やり直す

文字式で，+,−,×のうちで省略できるのは×だけです．
$x\times y\times z=xyz$ になります…（答）

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（解説と例）

1.2) ２つ以上の文字の積は，原則としてアルファベットの順に書く．

　「原則としてアルファベットの順に書く」とは，特別な事情がなければ，アルファベットの順(a, b, c, d, …, x, y, z)に書くということです．
　この約束を絶対に守らければ間違いになるというほどの強いルールではありませんが，文字はアルファベットの順に書いてある方が「見やすく」「間違いにくくなる」ので，このルールに従った方がよいということです．
【例1.2】

(1) $b\times a\times c$ は $abc$ と書きます
(2) $y\times x$ は $xy$ と書きます

※特別な事情があって，アルファベットの順に書かない場合とは，例えば次のような場合です．
(1) サイクリックな順（輪のように回る順）に書くとき
$ab+ bc+ ca$
♦ ♪ ♫ ♥ ♬ ♣ ∃ ♠
（こぶた）→（たぬき）→（きつね）→（ねこ）
(2) 前後の文脈から，並べ替えない方が見やすいもの
$m(a+ b)=ma+ mb$

【問題1.2】　２つ以上の文字の積はアルファベットの順に書くとき，適切なものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$b\times a\times c=bac$ $c\times a\times b=cab$

$z\times y\times x=xyz$ $y\times x\times z=yxz$

解説やり直す

アルファベットの順ではa, b, c, d, …, x, y, zに並べます．
$z\times y\times x=xyz$ になります…（答）

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(2)
$c\times a-b\times a=ca-ab$ $c\times b- c\times a=cb-ca$

$z\times y-y\times x=zy-yx$ $y\times x-y\times z=xy-yz$

解説やり直す

アルファベットの順ではa, b, c, d, …, x, y, zに並べます．
$y\times x-y\times z=xy-yz$ になります…（答）

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（解説と例）

2. 文字と数の積では，数を文字の前に書く．

ただし，1×の1は省略します．
1)　1a, 1xは，a, xと書く．
2)　−1a, −1xは，−a, −xと書く．

【例2】

(1) $a\times 3$ は $3a$ と書きます
(2) $x\times(-5)$ は $-5x$ と書きます

≪ただし≫

(3) $1\times a\times b$ は $ab$ と書きます
(4) $a\times (-1)\times b$ は $-ab$ と書きます

≪危険な落とし穴≫

(5)0.1a, −0.01xは，そのまま0.1a, −0.01xと書きます
(6)0a, 0xは，どちらも単に0と書きます

【問題2】　次のうちで文字式の表し方として，適切なものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$a\times 3=a3$ $a\times 5=5a$

$x\times y\times (-3)=xy-3$ $y\times 5\times x=y5x$

解説やり直す

文字と数の積では，数を文字の前に書きます
$a\times 3=3a$
$a\times 5=5a$ ←◎これが答
$x\time y\times (-3)=-3xy$
$y\times 5\times x=5xy$
になります …（答）
※ $x\time y\times (-3)=xy-3$ という間違いを時々見かけますので気をつけましょう

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(2)
$a\times 1\times b=1ab$ $b\times c\times(-1)=bc-1$

$1\times y\times x=yx$ $z\times(-1)x=-xz$

解説やり直す

文字と数の積では，数を文字の前に書きます
1×の１は省略します.−1×は単に−にします．
$a\times 1\times b=ab$
$b\times c\times(-1)=-bc$
$1\times y\times x=xy$ ←アルファベットの順
$z\times(-1)x=-xz$ ←◎これが答
になります …（答）

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(3)
$x\times y\times 0.1=0.xy$ $b\times(-0.01)\times a=-0.0ab$

$-0.1\times s\times t=-0.1st$ $cd\times 0.01=0.0cd$

解説やり直す

文字式にかける数字の1は省略します.−1×は単に−にします．
しかし，小数の0.1や0.01の1は省略できません．
$x\times y\times 0.1=0.1xy$
$b\times(-0.01)\times a=-0.01ab$
$-0.1\times s\times t=-0.1st$ ←◎これが答
$cd\times 0.01=0.01cd$
になります …（答）

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(4)
$0\times a\times b=ab$ $c\times 0\times d=0$

$1-s\times t=-st$ $x\times y\times 1=0xy$

解説やり直す

文字式にかける数字の1は省略します.−1×は単に−にします．
0a, 0xなどは，単に0と書きます．どんな数でも0をかけたら0になるからです．
$0\times a\times b=0$
$c\times 0\times d=0$ ←◎これが答
$1-s\times t=1-st$
$x\times y\times 1=xy$
になります …（答）

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（解説と例）

3. 同じ文字の積は，指数を使って書く．

指数（右肩に付ける数字）は「かけてある同じものの個数」を表します．

【例3】

(1) $a\times a$ は $a^2$ と書きます
(2) $x\times x\times x$ は $x^3$ と書きます
(3) $3\times a\times a$ は $3a^2$ と書きます
(4) $-5\times x\times x\times x$ は $-5x^3$ と書きます
(5) $2\times a\times a\times 3\times b$ は $6a^2b$ と書きます
（数の部分はかけて１つの数にします）

【問題3】　次のうちで文字式の表し方として正しいものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$x\times x\times x=3x$ $a\times(-a)\times(-b)\times b=-a^2b^2$

$x\times y\times (-x)=-x^2y$ $a\times b\times a=a^3$

解説やり直す

指数は「かけてある同じものの個数」
$x$ が3個かけてある
$x\times x\times x=x^3$
$a$ が2個， $b$ が2個，符号は(−)2個で+
$a\times(-a)\times(-b)\times b=a^2b^2$
$x$ が2個， $y$ が1個，符号は(−)1個で−
$x\times y\times (-x)=-x^2y$ ←◎これが答
$a$ が2個， $b$ が1個
$a\times b\times a=a^2b$
になります …（答）

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(2)
$b\times(-a)\times b\times a\times b=a^2b^3$

$(-b)\times b\times a\times(-b)\times b=-ab^4$

$(-b)\times (-a)\times (-a)\times b\times a=-a^3b^2$

$a\times (-a)\times (-a)\times(-b)\times(-a)=-a^4b$

解説やり直す

指数は「かけてある同じものの個数」
符号は(−)を「奇数個かけたら−」「偶数個かけたら+」

$a$ が2個， $b$ が3個，符号は(−)1個で−
$b\times(-a)\times b\times a\times b=-a^2b^3$
$a$ が1個， $b$ が4個，符号は(−)2個で+
$(-b)\times b\times a\times(-b)\times b=ab^4$
$a$ が3個， $b$ が2個，符号は(−)3個で−
$(-b)\times (-a)\times (-a)\times b\times a=-a^3b^2$ ←◎これが答
$a$ が4個， $b$ が1個，符号は(−)4個で+
$a\times (-a)\times (-a)\times(-b)\times(-a)=a^4b$
になります …（答）

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（解説と例）

4. 文字式では，割り算÷の結果は分数で表す．

(割られる数)÷(割る数)を分数に直すには，(割られる数)を分子に，(割る数)を分母にします．
例 $3\div 7=\frac{3}{7},\hspace{10}a\div b=\frac{a}{b}$

【例4】

(1) $x\div y$ は $\frac{x}{y}$ と書きます
(2) $3\div x$ は $\frac{3}{x}$ と書きます

2つ以上のかけ算，割り算が組み合わされているとき，かっこがない限り１つの演算はその直後の数字，文字だけに働きます．

(3) $a\div b\times c$ は $\frac{ac}{b}$ になります

(4) $a\div b\div c$ は $\frac{a}{bc}$ になります

(5) $a\times b\div c$ は $\frac{ab}{c}$ になります

【問題4】　次のうちで正しい変形を選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$x+ y\div z=\frac{x+ y}{z}$ $x\div y\times z=\frac{x}{yz}$

$x\div y\div z=\frac{x}{yz}$ $x-y\div z=\frac{x-y}{z}$

解説やり直す

足し算よりも割り算を先に行うので
$x+ y\div z=x+\frac{y}{z}$
÷は直後の $y$ だけに働くので
$x\div y\times z=\frac{xz}{y}$
$y$ で割り， $z$ でも割るので
$x\div y\div z=\frac{x}{yz}$ ←◎これが答
引き算よりも割り算を先に行うので
$x-y\div z=x-\frac{y}{z}$
になります
…（答）

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(2)
$a\times b\div 3\times c=\frac{ab}{3c}$ $a\div b\div 3\times c=\frac{a}{3bc}$

$a\times b\div 3\div c=\frac{abc}{3}$ $a\div b\times 3\div c=\frac{3a}{bc}$

解説やり直す

÷は直後の $3$ だけに働くので
$a\times b\div 3\times c=\frac{abc}{3}$
$b$ と $3$ で割るので
$a\div b\div 3\times c=\frac{ac}{3b}$
$3$ と $c$ で割るので
$a\times b\div 3\div c=\frac{ab}{3c}$
$b$ と $c$ で割るので
$a\div b\times 3\div c=\frac{3a}{bc}$ ←◎これが答
になります
…（答）

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*** まとめのチェックテスト ***
【問題5】　次の式を文字式の表し方にしたがって書くとき，正しいものを下の選択肢から選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$a\times b-c\div d$

$ab-\frac{c}{d}$ $\frac{ab}{cd}$ $-\frac{abc}{d}$ $abd-c$

解説やり直す

×を略して，÷を分数にします．引き算は省略できない
$a\times b-c\div d=ab-\frac{c}{d}$ …（答）

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(2)
$a+ b\div c-d$

$\frac{a+ b}{c-d}$ $a+ \frac{b}{c}-d$ $a+ \frac{b}{c-d}$ $\frac{a+ b}{c}-d$

解説やり直す

÷を分数にします．足し算と引き算は省略できない
$a+ b\div c-d=a+ \frac{b}{c}-d$ …（答）

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(3)
$a\times 1\times a-b\times 1+ 0\times c$

$1a^2-1b+ c$ $a^2-1b+ c$

$a^2-b+ c$ $a^2-b$

解説やり直す

$1a^2$ は $a^2$ と書きます．
$-1b$ は $-b$ と書きます．
$0c$ は $0$ ですが， $+ 0$ は書きません．
$a^2-b$ …（答）

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(4)
$a\times b\times (-2)\times a\times (-a)$

$-2a^3b$ $2a^3b$ $ab-2a^2$ $ab+ 2a^2$

解説やり直す

$-2$ は引き算ではありません．負の数のかけ算です．
$-a$ も引き算ではありません．負の数のかけ算です．
$\times(-2)$ と $\times(-a)$ で負の数を2個かけるので，符号は正になります．
$a\times b\times (-2)\times a\times (-a)=2a^3b$ …（答）

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【ややこしい話】
　中学１年の段階では，文字式について，次の基本を確実に身に着けることが重要です．

かけ算×の結果（積）は×を省略して書く．
［例］ $a\times b=ab$ …(1)
割り算÷の結果（商）は分数で表す．
［例］ $a\div b=\frac{a}{b}$ …(2)

　これらの基本が十分身に着いていない場合は，以下の話を読むと混乱するかもしれませんが，十分身に着いたという自信があれば読んでください．
　どんな場合でも， $a\times b$ の書いてある場所を $ab$ に書き換えてもよいとか， $a\div b$ と書いてある場所を $\frac{a}{b}$ に書き換えてもとよいというのは言い過ぎなのです．　

　そもそも，かけ算 $3\times 5$ や $a\times b$ は２つの数$3$と$5$，$a$と$b$をかける計算で，「かける前には２つの数（$3$と$5$，$a$と$b$ ）があります」．
　これに対して，かけ算の結果（積） $15$ や $ab$ は１つの数です．
　そこで， $4\div 3\times 5$ や $c\div a\times b$ のように，他のかけ算や割り算と組み合わされた場合に $3\times 5$ や $a\times b$ の計算を先に行う場合ばかりではないのです．
　これに対して， $4\div 15$ や $c\div ab$ の場合，$15$ や $ab$ はすでに１つの数になっているので，離れることはありません．
$4\div 3\times 5=\frac{20}{3},\hspace{10}c\div a\times b=\frac{bc}{a}$
$4\div 15=\frac{4}{15},\hspace{30}c\div ab=\frac{c}{ab}$

　こういうことが起こる原因を考えると，かけ算，割り算は，足し算，引き算よりも優先順位が高く，先に行うことになっていますが，かけ算と割り算は優先順位が同じなので，「2つ以上の演算が並んでいる場合は，前から順に処理する」ことになっているからです．だから， $a\times b$ の前に $c$ が，かけ算や割り算として入ると
$c\times a\times b=(c\times a)\times b$
$c\div a\times b=(c\div a)\times b$
の順に計算を行うのに対して，積 $ab$ という計算の結果として１つの数を表したものの前に $c$ が，かけ算や割り算として入っても
$c\times ab=abc$
$c\div ab=\frac{c}{ab}$
のように $ab$ が離れることはありません．

　３つの数のかけ算，割り算で，結果が異なるのは，次の赤で示した場合です．かっこは先に計算することを表します．

$c\times a\times b=(c\times a)\times b=abc$
$c\times ab=abc$
だから $c\times a\times b=c\times ab$
$c\times a\div b=(c\times a)\div b=\frac{ac}{b}$
$c\times\frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$
だから $c\times a\div b=c\times\frac{a}{b}$
$c\div a\times b=(c\div a)\times b=\frac{bc}{a}$
$c\div ab=\frac{c}{ab}$
だから $c\div a\times b$ は $c\div ab$ と違う
$c\div a\div b=(c\div a)\div b=\frac{c}{a}\div b=\frac{c}{ab}$
$c\div\frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a}$
だから $c\div a\div b$ は $c\div\frac{a}{b}$ と違う
【要約】前に割り算が来たら要注意

【問題6】　かっこ(　　)の中は先に計算すること，また $ab$ や $\frac{a}{b}$は１つの数と見なすことに注意して，次の文字式と等しいものを下の選択肢のうちから選んでください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$3x\div(y\div z)$

$3x\div(y\times z)$ $3x\times (y\div z)$

$3x\div y\div z$ $3x\div y\times z$

解説やり直す

$3x\div(y\div z)=3x\div\frac{y}{z}=3x\times\frac{z}{y}=\frac{3xz}{y}$
$3x\div(y\times z)=3x\div yz=\frac{3x}{yz}$
$3x\times (y\div z)=3x\times\frac{y}{z}=\frac{3xy}{z}$
$3x\div y\div z=\frac{3x}{y}\div z=\frac{3x}{yz}$
$3x\div y\times z=\frac{3x}{y}\times z=\frac{3xz}{y}$ …（答）

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