■変化の割合 → 携帯版は別頁
1.基本
x増加量)=(x終りの値)−(x初めの値
y増加量)=(y終りの値)−(y初めの値
(関数の変化の割合)=
【例1】
xの値が,3から5に変化したとき,
x増加量は,53=2になります.

≪注意1≫
 増加量を考えるときは,必ず終りの値から初めの値を引きます.
 上の【例1】のような場合に,図の流れのままに3−5=−2としてしまう間違いが多いので,気をつけましょう.

日常用語では「減少量」が5
数学用語では「増加量」が−5
【例2】
xの値が,7から2に変化したとき,
x増加量は,27=−5になります.
≪注意2≫
 日常生活では「体重の増加量」「貯金の減少量」などと増加という用語も減少と言う用語もどちらも使いますが,数学では増加量が好んで使われ,減っているときはマイナスの値で示します.
⇒ 値が減少していても増加量と言う

【例3】
yの値が,−2から3に変化したとき,
y増加量は,3−(−2)=5になります.
【例4】
関数y=2x+1においてxの値が1から4まで変化するとき
x=1のときy=3x=4のときy=9だから
xの増加量は4−1=3
yの増加量は9−3=6
変化の割合は=2になります
「変化の割合」は(縦)÷(横) 
≪縦横とも±付き≫

【例5】
関数y=−3x+2においてxの値が−1から4まで変化するとき
x=−1のときy=5
x=4のときy=−10だから
xの増加量は4−(−1)=5
yの増加量は−10−5=−15
変化の割合は=−3になります
「変化の割合」は(縦)÷(横)
≪縦横とも±付き≫


2.例と答
計算と答を消す ⇒ OFF
計算と答を出す ⇒ ON
○1次関数
番号 例題 計算
1 1次関数y=3x+2においてxの値が0から4まで変化するとき
(1) xの増加量
(2) yの増加量
(3) 変化の割合
(1)4−0=4
(2) x=0 → x=4
.y=2 → y=14
だからyの増加量は14−2=12
(3) =3
(1) 4
(2) 12
(3) 3
2 1次関数y=−2x+4においてxの値が3から5まで変化するとき
(1) xの増加量
(2) yの増加量
(3) 変化の割合
(1)5−3=2
(2) x=3 → x=5
.y=−2 → y=−6
だからyの増加量は(−6)−(−2)=−4
(3) =−2
(1) 2
(2) −4
(3) −2
3 1次関数y=4x−1においてxの値が−3から1まで変化するとき
(1) xの増加量
(2) yの増加量
(3) 変化の割合
(1)1−(−3)=4
(2) x=−3 → x=1
.y=−13 → y=3
だからyの増加量は3−(−13)=16
(3) =4
(1) 4
(2) 16
(3) 4
○2 反比例
4 反比例の関数y=
おいてxの値が1から3まで変化するとき
(1) xの増加量
(2) yの増加量
(3) 変化の割合
(1)3−1=2
(2) x=1 → x=3
.y=6 → y=2
だからyの増加量は2−6=−4
(3) =−2
(1) 2
(2) −4
(3) −2
5 反比例の関数y=−
おいてxの値が2から6まで変化するとき
(1) xの増加量
(2) yの増加量
(3) 変化の割合
(1)6−2=4
(2) x=2 → x=6
.y=−6 → y=−2
だからyの増加量は(−2)−(−6)=4
(3) =1
(1) 4
(2) 4
(3) 1
6 反比例の関数y=
おいてxの値が2から8まで変化するとき
(1) xの増加量
(2) yの増加量
(3) 変化の割合
(1)8−2=6
(2) x=2 → x=8
.y=12 → y=3
だからyの増加量は3−12=−9
(3) =−
(1) 6
(2) −9
(3)
※反比例で変化の割合があるのなら,比例でも変化の割合があるはずだというのはその通りです.比例の関数は1次関数で定数項を0にした場合なので,1〜3の方法でできます.

3.傾き
【傾きと変化の割合】
 1次関数y=ax+bについては,xの増加量が変わればyの増加量も変わるが,「変化の割合は,つねに傾きa」に等しい.
(解説)
例えば,関数y=2x−1において,
(A) x1から2まで変化するときの変化の割合
(B) x1から4まで変化するときの変化の割合
を比較してみると,
(A)
x1 → 2
y1 → 3
xの増加量
[横方向=]2−1=1
yの増加量
[縦方向=]3−1=2
変化の割合は(縦)÷(横)だから2÷1=2

(B)
x1 → 4
y1 → 7
xの増加量
[横方向=]4−1=3
yの増加量
[縦方向=]7−1=6
変化の割合は(縦)÷(横)だから6÷3=2

 上の例から分かるように,変化の割合はどこで測っても等しくなる.
○理由:右図のように1次関数は直線になるので,階段のように縦横の線で切りだすと,
(縦)÷(横)
は「相似図形の縦横の比」だからすべて等しくなる.
○(縦)÷(横)は「傾き」と呼ばれるので,「1次関数の変化の割合」は「直線の傾き」を表している.

例と答
【例1】
 1次関数y=3x+4の変化の割合を求めてください.
[答]
 3
 xがどこからどこまで変化するのか,yがどこからどこまで変化するのか,何も書いてないのにどうやって変化の割合を求めるのかと不思議に思った人は「そこそこよく考えている人」です.
 しかし,上には上があって,この問題では「どこで測っても同じになる」から,「xyの変化する範囲が書いてなくても答が出る」ようになっています.
 自分で試しに,xの範囲を何通りか書いてみると,全部同じ答になることが分かります.
x0 → 1
y4 → 7

変化の割合は=3

x1 → 3
y7 → 13

変化の割合は=3

【例2】

 1次関数y=−4x+5の変化の割合を求めてください.
[答]
 −4
前の問題と同様に幾つか試してみると
x0 → 1
y5 → 1

変化の割合は=−4

x1 → 3
y1 → −7

変化の割合は=−4


問題
【問題】 正しいものをクリック
(1)1次関数y=3x+4においてxの値が1から5まで変化するとき,変化の割合を求めてください.
1 2 3 4 5
(2)1次関数y=−2x+3においてxの値が1から4まで変化するとき,変化の割合を求めてください.
(3)反比例の関数y=においてxの値が2から6まで
変化するとき,変化の割合を求めてください.
(4)反比例の関数y=−においてxの値が1から3まで
変化するとき,変化の割合を求めてください.
(5)1次関数y=−3x+2の変化の割合を求めてください.
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