*** 高卒から大学初年度程度 ***
合成関数 逆関数 逆三角関数

双曲線関数 数列,関数の極限 関数の連続性

　無理方程式=x−2を両辺を２乗して解くと，
となって，正しい解x=4以外に，原方程式の解でないもの（無縁根，無縁解）x=1も混ざってきます．
　これは，２乗すると原方程式を満たすもの以外に
−=x−2を満たすものが入って来るためで，グラフで言えば図１の赤色の曲線y=と黄色の直線y=x−2の交点x=4, y=2という原方程式の解に相当するものの他に，灰色の曲線y=−と黄色の直線y=x−2の交点x=1, y=−1という無関係なものも混入するためです．


　このことと関連して，無理不等式>x−2を，不注意に両辺を２乗してx>(x−2)2で解いてしまうと，1<x<4という間違った範囲が得られます．（図１で赤色の曲線が黄色の直線よりも上にある範囲は0≦x<4）
　同様にして，無理不等式<x−2を，不注意に両辺を２乗してx<(x−2)2で解いてしまうと，x<1, 4<xという間違った範囲が得られます．（図１で赤色の曲線が黄色の直線よりも下にある範囲は4<x）

　この頁では，無理不等式の解き方について の２つを紹介します．

・ が定義されるためにはx≧0でなければなりません．（２つのものの大小関係が言えるためには，両方とも定義されていなければなりません．）
・ さらに，x−2≧0も成り立つときは，０以上の２つのものは２乗比較してよいから，原不等式はx>(x−2)2に書き換えることができます．
・ x≧0であって，かつ，x−2<0のときは２乗するまでもなく，（０以上の数）>（負の数）が成り立ちます．
以上の内容は次のようにまとめられます．

>x−2 ⇔

(1) x≧0 x−2≧0 x>(x−2)2 または (2) x≧0 x−2<0

(1)からは，x≧0かつx≧2かつ1<x<4となって，2≦x<4が得られます．
(2)からは，x≧0かつx<2となって，0≦x<2が得られます．
これらは，x=2のところでつながるので，結局0≦x<4が解となります．

【要点】

>g(x) ⇔

(1) f(x)≧0 g(x)≧0 f(x)>{g(x)}2 または (2) f(x)≧0 g(x)<0

※f(x)が定義されることを前提として，
(1) g(x)≧0なら２乗比較する
(2) g(x)<0なら当然成立する

・ が定義されるためにはx≧0でなければなりません．（２つのものの大小関係が言えるためには，両方とも定義されていなければなりません．）
・ 左辺は０以上だからx−2=0では不等式は成り立ちませんが，x−2>0が成り立つとき，０以上の２つのものは２乗比較してよいから，原不等式はx<(x−2)2に書き換えることができます．
・ x−2<0のときは成り立ちません．
以上の内容は次のようにまとめられます．

<x−2 ⇔

x≧0 x−2>0 x<(x−2)2

これらからx≧0かつx>2かつx<1, 4<xとなって，結局x>4が得られます．

【要点】

<g(x) ⇔

f(x)≧0 g(x)>0 f(x)<{g(x)}2

※f(x)が定義されることを前提として，
(1) g(x)>0なら２乗比較する
(*) g(x)≦0なら解はない

【要点】
　グラフを使えば簡単

[第1問 / 全４問]次の問題
問題次の不等式を解いてください．
（答が分数になるときは2/3のように記入するものとし，負の分数になるときは−2/3のように記入するものとします．）

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