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== 解と係数の関係 ==

【要点】
(1) 2次方程式ax2+bx+c=0 (a≠0)の解をα, βとするとき

α+β=−
αβ=
(2) x=α,βを解とする2次方程式(のうちでx2の係数が1であるもの)
x2−(α+β)x+αβ=0

【要点】
(3) 3次方程式ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0)の解をα,β,γとするとき

α+β+γ=−
αβ+βγ+γα=
αβγ= −
(4) x=α,β,γを解とする3次方程式(のうちでx3の係数が1であるもの)
x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ=0

【例1】
2次方程式x2+px+q=0の解をα,βとするとき,α22を解とする2次方程式を求めてください.
(解説)
x2+px+q=0の解がα,βだから,解と係数の関係により
α+β=−p
αβ=q
このとき
α22=(α+β)2−2αβ=p2−2q
α2β2=q2
したがって,求める2次方程式(のうちでx3の係数が1であるもの)は
x2−(p2−2q)x+q2=0

【例2】
3次方程式x3+ax+b=0の解をα,β,γとするとき,
2α−1,2β−1,2γ−1を解とする2次方程式を求めてください.
(解説)
x3+ax+b=0の解がα,β,γだから,解と係数の関係により
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=a
αβγ=−b
このとき
(2α−1)+(2β−1)+(2γ−1)=2(α+β+γ)−3=−3
(2α−1)(2β−1)+(2β−1)(2γ−1)+(2γ−1)(2α−1)
=4(αβ+βγ+γα)−4(α+β+γ)+3
=4a+3
(2α−1)(2β−1)(2γ−1)
=8αβγ−4(αβ+βγ+γα)+2(α+β+γ)−1
=−4a−8b−1
したがって,求める3次方程式(のうちでx3の係数が1であるもの)は
x3+3x2+(4a+3)x+4a+8b+1=0


【問題1】
2次方程式x2−px+q=0の解をα, βとするとき,α−1, β−1を解とする2次方程式は,次のうちどれですか.

1x2−(p−2)x+q−1=0 2x2−(p−2)x+q−p+1=0

3x2−(p+1)x+q+1=0 4x2−(p+2)x+p−q+1=0




【問題2】
2次方程式ax2−2x+b=0 (a≠0)の解をα, βとするとき,2α, 2βを解とする2次方程式は,次のうちどれですか.

1ax2−2x+2b=0 2ax2−4x+b2=0

3ax2−4x+4b=0 4ax2−4x+4b2=0




【問題3】
3次方程式x3−ax2+b=0の解をα, β, γとするとき,αβ, βγ, γαを解とする3次方程式は,次のうちどれですか.

1x3−abx−b2=0 2x3−a3=0

3x3−a2b2x2+abx−b2=0 4x3−ax2+bx−ab=0




【問題4】
3次方程式x3+3px+q=0の解をα, β, γとするとき,α222を解とする3次方程式は,次のうちどれですか.

1x3+9p2x+q2=0 2x3+9p2x−q3=0

3x3+6px2+9p2x−q2=0 4x3+6px2+9p2x+q3=0





【例3】
実数p, qに対し,x3−px+q=0の解がすべて実数なら(すなわち虚数解を持たないなら),x3−2px2+p2x−q2=0の解もすべて実数であることを示せ.
(京都大学)
(解説)
x3−px+q=0の解をα,β,γ(実数)とすると,解と係数の関係により
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=−p
αβγ=q
このとき
α222=(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)=2p
α2β22γ22α2=(αβ+βγ+γα)2−2αβγ(α+β+γ)=p2
α2β2γ2=(αβγ)2=q2
だから,α2, β2, γ2を解とする3次方程式(のうちでx3の係数が1であるもの)は
x3−2px2+p2x−q2=0
となる.
この方程式の解は,α2, β2, γ2だから実数になる.
≪なぜα2, β2, γ2を思いつくのか?≫
 上のように答案を示されると,何の抵抗もないが,なぜα2, β2, γ2を思いつくのか?ということはむずかしい.
 定数項が−q2となることから−(αβγ)2すなわちα2, β2, γ2を解とする3次方程式を”試してみる”くらいかな〜
 実際には,α,β,γの対称式は基本対称式:α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγで表されるが,そうでなければ表されるとは限らないので,とりあえず対称式の組αβ, βγ, γαを”試してみて”,当たればよかったという進め方が考えられます.
 数学でも因数分解の係数決めなど「まぐれ当たり」「当てもん」的なやり方が必要なものは,他でもあります.
【問題5】
2次方程式x2+ax+b=0の解をα, βとするとき,2次方程式x2+(a+2)x+(a+b+1)=0の解は,次のどれに対応しますか.

1α−1, β−1 2α+1, β+1

32α−1, 2β−1 42α+1, 2β+1



【問題6】
3次方程式ax3+bx2+c=0 (a≠0)の解をα,β,γとするとき,3次方程式a2x3+bcx−c2=0 (a≠0)の解は,次のどれに対応しますか.

1α−1, β−1, γ−1 2α+1, β+1, γ+1

3αβ, βγ, γα 4α2, β2, γ2



【問題7】
実数a,b,cに対し,x3+ax2+bx+c=0の3つの解がすべて正の実数であるとき,x3−bx2+acx−c2=0の解について,次のうちで正しいものを選んでください.ただし,二重解は2つと数え,三重解は3つと数えるものとします.

11つは正の実数で2つは負の実数

22つは正の実数で1つは負の実数

33つとも正の実数

41つは実数で2つは虚数





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