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■三角形を解くとは
○三角形には3つの角と3つの辺があります.これらの内の幾つかの要素が与えられたとき,残りの要素を求めることを「三角形を解く」といいます.
相似図形の性質を考えると分かるように,三角形が決まるためには(=三角形が解けるためには)少なくとも1つの辺の長さが与えられて(分かって)いなければなりません.3つの角だけが与えられた場合には,大きさの異なる相似な三角形がいくらでも描けて,三角形の辺の長さが決まりません.

○「三角形を解く」という問題は辺の長さが何個分かっているかで分類すると,きれいに分けられます.
[1]辺の長さが1つ分かっている問題
(1.1)
[1辺とその両端の2角](2角きょう辺ともいう)
→残りの2辺と1角を求める
≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
abc
ABC

A=180°−(B+C)
b=
c=
(1.2)
[1辺とその両端ではない2つの角]
→残りの2辺と1角を求める
…三角形の決定条件には当てはまらないが,2角が分かると残りの1角はただで求まるから,2辺とその間の角も分かることになり≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
abc
ABC

B=180°−(A+C)
b=
c=
[2]辺の長さが2つ分かっている問題
(2.1)
[2辺とその間の角](2辺きょう角ともいう)
→残りの1辺と2角を求める
≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
abc
ABC

c2=a2+b2−2ab cos C
(以後は正弦定理でも余弦定理でも解ける)
(余弦定理なら角度は1つに定まる)
A
B
→右上に続く
(2.2)
[2辺とその間にない角]
→残りの1辺と2角を求める
≪答が2通り出る場合がある≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
abc
ABC

sin B=
(これを満たす角0°<B<180°の値は通常2つあるが,A+B≧180°となる組は三角形にならない.そこで,2つ求まったBのうち片方がA+B≧180°となる場合は解が1つになり,2つ求まったBのどちらもA+B<180°となる場合は解が2つになる)
C=180°−(A+B)
c2=a2+b2−2ab cos C

※次のように余弦定理から2次方程式を作って解いても,上記と同じ結果が得られる.
a2=b2+c2−2bc cos Ac
(これを満たすcの値は通常2つあるが,c<0となる組は三角形にならない.そこで,c<0となる解が含まれていれば三角形は1つになり,cの解が2つとも正なら三角形は2つになる)
B
C
[3]辺の長さが3つ分かっている問題
(3.1)
[3辺]
→残りの3つの角を求める
≪1通りだけ決まる≫
【例】 …青文字:既知,赤文字:未知とする
abc
ABC

A
B
C

※少なくとも1つの辺を含む3つの要素が与えられると三角形は解けますので,問題の形としては上に述べたものだけになります.(さらに,内接円の半径や外接円の半径を求めさせる問題はあり得ます)
なかには
A=30°, B=45°, a=5, c=7…(*)
のように4つ以上の要素が与えられている問題もありますが,4個目の要素は書いてなくても解けます.(*)の問題のように4個目の要素をいい加減に書いた場合には,他の3つの要素から決まる値と矛盾してしまい,そのような三角形は描けず,問題が解けないことがあります.

≪自由研究≫ …あなたの解きたい問題を書いてください.
解答は小数表示になります.(四捨五入の都合で,合計が180°ちょうどにならないことがあります)
例えばb, C, Aが分かっている問題を解くには,次の結果でラベルを入れ替えてa, B, Cの問題として解いてください.
[1](1.1)[1辺とその両端の2角が分かる場合]
a=, B=°, C=°のとき,この三角形を
解く消す



[1](1.2)[1辺とその両端ではない2つの角が分かる場合]
a=, A=°, C=°のとき,この三角形を
解く消す



[2](2.1)[2辺とその間の角が分かる場合]
a=, b=, C=°のとき,この三角形を
解く消す



[2](2.2)[2辺とその間にない角が分かる場合]
a=, b=, A=°のとき,この三角形を
解く消す



[3](3.1)[3辺が分かる場合]
a=, b=, c=のとき,この三角形を
解く消す



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■[個別の頁からの質問に対する回答][三角形を解くとはについて/17.1.31]
三角形のB角の式 Cos B=b^+c^-b^/2ac となっていますが Cos B=a^+c^-b^/2ac ではないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.メールソフトが故障していたため,約1か月半の間連絡の文章が行先不明になっていましたが,フォルダの検査で生き返りました.入力ミスを訂正しました.(2017.3.6)
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角形を解くとはについて/17.1.11]
2辺とその間の角(2角きょう辺ともいう) →2辺とその間の角(2辺きょう角ともいう) ではないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.小見出しがあやしいコピペになっていて,数か所引きずっていたようですので訂正しました.