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== いろいろな数列の和 ==

【よく使う公式一覧】
(1) 定数項の和
(cはkと無関係な定数)

(2) 1次式の和

(3) 2次式の和

(4) 3次式の和

【解説】
(1)←

だから,成り立つ
(参考)
なお,積分(和の極限)との対応について


が成り立つことは,まったく問題ないでしょう.
ところが,
の省略記号なので,

が成り立つと,教科書に明示的に書かれているのに対して,今の教科書では
の省略記号とは書かれていない.すなわち,

の記号は,大手3社の教科書にはなく,必ず明示的に


と書かれています.
≪要約≫
省略記号として使う
最近,見かけない
昔,使っていたような気がするが,定かではない

【例1-1】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
…(答)
【例1-2】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
…(答)
【例1-3】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
…(答)
【問題1】 次の和を求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)


【解説】
(2)←

は初項1,公差1,項数nの等差数列の和だから,右図のように裏向きのものと組み合わせると,全体の和の2倍のものが,縦n+1個×横n個=n(n+1)個になる.


したがって


【例2-1】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
多項式の形をした数列の和は,次の公式を使って「展開して,既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です.
【公式】


…(答)
※例外的に「階段状の関数」になっているものなど,うまい公式があるものについては後で述べます.
【例2-2】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
多項式の形をした数列の和は,次の公式を使って「展開して,既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です.
【公式】


※ここで,「そんな公式は習っていない#」と言い張る生徒がいて,困ったことがあります.

が公式なら,次のようなことは「自動的に」言えます.(当然です!)
←公式のnの代わりにn-1を代入
←公式のnの代わりにn+1を代入

したがって,
(原式)

【問題2】 次の和を求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
※問題2以後の問題は暗算では無理です.計算用紙で計算してから答えてください.
(1)

(2)


【解説】
(3)←
の証明
ア) 一般に,n+1次式の隣り合う2項の差が,n次式になることを利用して,n次式の和を求めることができます.

を作ってみると.





すなわち


他方



したがって

この式を変形すると

【例3-1】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
多項式の形をした数列の和は,「展開して,既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です.





【例3-2】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
多項式の形をした数列の和は,「展開して,既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です.

kを内部変数とするΣ記号の内部では,nは単なる定数として扱います.(外に出た結果では変数です)





【問題3】 次の和を求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)

(3)


【解説】
(4)←
の証明
ア) を利用して,


が等しいことから,を求めることができます.ただし,

です.
イ) 和を求めやすい階乗型関数を利用する方法は,このページに示しています.
ウ) 数学的帰納法を使えば,次のように証明できます.
(T) n=1のとき


だから

は成立する.
(U) n=mのとき

が成立すると仮定すると,
両辺にを足すと
(左辺)
(右辺)


よって,n=m+1のときも成立する.
(T)(U)より,すべての自然数nについて成立する.
【例4-1】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
多項式の形をした数列の和は,「展開して,既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です.






【例4-2】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
多項式の形をした数列の和は,「展開して,既にある公式を組み合わせて求める」のが基本です.

kを内部変数とするΣ記号の内部では,nは単なる定数として扱います.(外に出た結果では変数です)






【問題4】 次の和を求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)


【結果でなくやり方を覚えておく方がよいもの】
(5) 等比数列の和
など
(6) 等差×等比形の数列の和
など
(7) (fn)−f(n−1)形の数列の和:階乗型関数を含む
など
【解説】
(5)←
など
Σ記号から等比数列の和を求めるには,のときのように機械的に当てはめるだけでは無理で,
初項a公比r項数nの3要素に分けて読み取り,「等比数列の和の公式」
…(*)
に代入するようにします.

【例5-1】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
初項を求めるには,を代入します.

公比を求めるには,を代入して,それぞれ何倍になるか調べます.

から,公比は2であることが分かります.
項数を求めるには,からまで何項あるか調べます.

以上により,求める等比数列の和は

【例5-2】 次の式を簡単にしてください.
(解答)
初項を求めるには,を代入します.

公比を求めるには,を代入して,それぞれ何倍になるか調べます.

から,公比は1/2であることが分かります.
項数を求めるには,からまで何項あるか調べます.

以上により,求める等比数列の和は

【問題5】 次の和を求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)


【解説】
(6)←
など
このページを読んでください.
(7)←
など
このページを読んでください.
【例6-1】 のとき,次の和を求めてください.
(解答)

とおくと

だから
を,(等比数列の和)から求めることができる.





※この証明は,母関数を
として,両辺を微分しても得られる.
【例6-2】 次の和を求めてください.
(解答)
ア)のとき

は,初項が1,公差が2,項数がnの等差数列の和だから

イ)のとき

のとき

だから
を,(等比数列の和)から求めることができる.





※この証明は,【例6-1】の結果を使ってもできます.


を通分すればできます.

【例7-1】 次の和を求めてください.
(解答)

だから






のように中間項が消えるから

※この問題は「部分分数分解による解法」の入門的なものですが,単に「部分分数分解」だなと紋切型に暗記していると落とし穴があります
正確には,元の分数

の分母がkの2次式だから,元の分数はkの−2次式.
そこで,積分計算のときに,原始関数として次数が1次高い関数を持ってくるときを思い浮かべながら,「kの−2次式」の次数が1次高い式を考えると「kの−1次式」となり

この式で隣の項

との差で表すということです.
そこで

とすると,上記のように中間項が消えるから,簡単になるのです.
※この注意書きは,次のような分母が3項の積になっている場合や,分数ではなく多項式の積になっている場合にズバリ当てはまります.

とするのではなく

とする.

は分数ではないから部分分数分解という用語には当てはまらないが


とできる.(後の解説参照)
【例7-2】 次の和を求めてください.
(解答)
分母がkの2次式,分数全体はkの−2次式だから,kの−1次式の差で表す.
のままではと合わないから,定数倍する.
とおいて定数A,Bを求める.(通分して係数を比較する)

となるから









【例7-3】 次の和を求めてください.
(解答)
分母がkの3次式,分数全体はkの−3次式だから,kの−2次式の差で表す.
必ず2つの分数の差にすること.3つの分数に分けてしまったら,プラス軍団とマイナス軍団のどちらかが多くなるから,中間項が消えないことに注意
とおいて定数A,Bを求める.(通分して係数を比較する)

となるから

※慣れないうちは,例1,例2のように縦書きにすると,安全確実に中間項を消せるが,受験参考書などでは次のようにスマートに仕上げることが多い.そもそも何を計算しているのかが分かってきたら,真似するのもよい.





【例7-4】 次の和を求めてください.
(解答)
部分分数分解という紋切型の暗記だけでは,この問題の解き方が上記と同じだということに気付かないが,実は同じ.
kの2次式だから,kの3次式の差で表す.


だから





※分かりにくいときは,ていねいに縦書きにすると,消えるべき中間項が見えます.
※一般に階乗型関数の和は,1次次数の高い階乗型関数になる.

【例7-5】 次の和を求めてください.
(解答)
kの3次式だから,kの4次式の差で表す.
解答のみ示す:
【例7-6】 次の和を求めてください.
(解答)

だから




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