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== 内分点の内分点 ==

■[解説]
 △ABCにおいてA,B,Cの位置ベクトルを各々
 とするとき,

で表される点Pは,

と変形することにより
(割って掛ければ変わらない)
ABを2:1に内分する点D()を用いて,

と表されます。
したがって,PはDCを4:3に内分する点となります。

【要約】
で表される点Pは,ABを2:1に内分する点をDとするとき,DCを4:3に内分する点。
 この結果を使って,次のような三角形の面積比を答えさせる問題がよく見られます。
△ADP=4tとおくと、△ACP=3t
(高さが共通,底辺が4:3)
 △BDP=2t(△ADPの半分)
 △BCP=1.5t(△ACPの半分)
となるから
△ABP:△BCP:△CAPの面積比は,6t:1.5t:3t=12:3:6=4:1:2
(分子の係数の比:向かい側)

【一般に】

で表される点は,ABl:kに内分する点をDとするとき,DCm:(k+l)に内分する点となります。
(解説)
まず,内分点の公式により,ABl:kに内分する点Dの位置ベクトルを求めると
…(1)
さらに,内分点の公式により,DCm:(l+k)に内分する点Pの位置ベクトルを求めると
…(2)
(1)を(2)に代入すると



(参考)
 BCm:lに内分する点をEとするとき,EAk:(l+m)に内分する点と述べても同じです。
…(3)
…(4)
より


同様にして,

と変形すると,ACm:kに内分する点をFとするとき,FBl:(m+k)に内分する点を表しているとも言えます。
【ここが変形のポイント】


■[問題]
 
 △ABCにおいてA,B,Cの位置ベクトルを各々 とするとき,
 で表される点Pについて,次の空欄を埋めなさい。
(最も簡単な整数比で答えなさい。)
ABを に内分する点をDとするとき,PはDCを に内分する点である。
また,
△ABP:△BCP:△CAPの面積比は,
 である。

 




 △ABCにおいてA,B,Cの位置ベクトルを各々 とするとき,
 で表される点Pについて,次の空欄を埋めなさい。
(最も簡単な整数比で答えなさい。)
ABを に内分する点をDとするとき,PはDCを に内分する点である。
また,
△ABP:△BCP:△CAPの面積比は,
 である。




 △ABCの内部に点Pがあり,が成り立つとき,
(最も簡単な整数比で答えなさい。)
ABを に内分する点をDとするとき,PはDCを に内分する点である。
また,
△ABP:△BCP:△CAPの面積比は,
 である。




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