PC用は別頁

== 整数係数の方程式の作り方 ==

(準備)
【例】
 が1つの解となる「整数係数の」2次方程式を作りたいとき
▼この式の両辺を2乗してしまうと
となって,が残ります.
が1つの解となる整数係数の2次方程式は次のように作ることができます.

(移項する)→
(両辺を2乗する)→
【要点】  だけを右辺に残して2乗する.
【類題】
 が1つの解となる「整数係数の」2次方程式を作ってください
(解答)




…(答)
が1つの解となる2次方程式もになります.
これは,2次方程式の2つの解がになっていることに対応しています.



(式の値:複雑な無理数の代入)
【例】
のとき,の値を求めなさい
 この問題において,を直接代入すると,計算が大変で計算間違いも多くなります.
 このような問題においては,この頁の先頭の例で示したように,が0となることを利用して,式を簡単にしてから(次数を下げてから)代入する方法がよく利用されます.
(答案例)
x=2+√3 のとき,−4x+1=0・・・(1)

−2x+3x−13
=(−4x+1)(x+2)+10x−15・・・(2)だから
−2x+3x−13
=10x−15
=10(2+√3)−15
=5+10√3・・・(答)

(参考)
<1次式>  <定数=0次式>
x のかわりに 2+√3 を代入すると,次数が1次下がります.
<2次式>  <定数=0次式>
−4x+1 に 0 を代入すると,次数を一度に下げることができます.
 なお,x=4x−1 となるので,
<2次式>  <1次式>
 のかわりに 4x−1 を代入すると,次数は1次だけ下がります.
x=2+√3・・・(1)
=4x−1・・・(2) を繰り返し適用すると,何次式でも1次または定数まで下げることができます.
=x・x=x(4x−1)
=4x−x
=4(4x−1)−x=15x−4

=x・x=x(15x−4)
=15x−4x
=15(4x−1)−4x
=56x−15

−2x+3x−13
=(15x−4)−2(4x−1)+3x−13
=10x−15
 上記の答案では,少しずつ次数を下げる代わりに,「まとめて」下げていることになります.


(よくある質問)
−4x+1=0 なのに,x−4x+1 で割るのは0で割ることにならないのか?

(回答)

の割り算は,−4x+1が0以外のときに成り立ちますが
−2x+3x−13
=(x−4x+1)(x+2)+10x−15
は,x=2+√3 のときも含めて,すべてのxについて成り立ちます.
 したがって,答案の本文では0を掛けていることとなり,答案にはまちがいはありません.
 なお,x−2x+3x−13=10x−15
となるのはx=2+√3,2−√3のときだけで,他のxの値に対しては,この変形は成り立ちません.


【要点】

 複雑な無理数を,次数の高い式に代入するには

【例】
x=2+√3 のとき, x−2x+3x−13 の値を求めなさい.
(作業の手順)
(例)
(1) √nだけを右辺に残す. 
 x−2=√3
(2) 2乗する. 
 x−4x+4=3
(3) =0 の形の方程式にする.
 x−4x+1=0
(4) 求める式を,方程式の左辺で割る.
(5) 商と余りの関係に直す.
−2x+3x−13
=(−4x+1)(x+2)+10x−15
=10x−15
(なぜなら,−4x+1=0)
(6) xの値は,余りに代入する.
次数を下げてから代入するところがポイント)
10x−15
=10(2+√3)−15
=5+10√3
※ どうしても,単純に代入する方に魅力を感じる人へ:
以上に紹介した方法は,単に計算を楽にするだけのものでなく,この方法により「様々な問題に対する応用の道が開けてくる」と考えてください.


《問題》

x=2+√5のとき,x3−4x2-x+3の値はとなる.
2
 x=1−√5のとき,x4-5x2-14x+3の値はとなる.
3
 のとき,x−2x+3の値はとなる.
4 (正しいものを選んでください)
 x=5−√7のとき,x−8x+x+35の値は
 x-3 x+3 3x-1 3x+1 の値に等しい.

ヒント
5
 x−x=1のとき,x−2xの値はとなる.

...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る